2023—2024学年人教版数学八年级下册压轴专项十二：勾股压轴题（二）

2023—2024学年人教版数学八年级下册压轴 专项十二：勾股压轴题（二）（原卷） 1、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3.2，0），点B（1.8，0），点C在y轴上，且AC⊥BC，AC＝4，BC＝3，点P为线段AB上一动点，连接CP，过点P作PM⊥AC于点M，作PN⊥BC于点N，则当线段CP取最小值时，的值为 　　． 2、在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 　 　 ． 3、如图，线段AB的长为8，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个直角三角形△ACD和△BCE，其中∠A＝30°，∠B＝60°，那么DE长的最小值是 　 　． 4、如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A（5，0），点B在y轴上运动，以AB为边作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°（点A，B，C呈顺时针排列），当点B在y轴上运动时，点C也随之运动．在点C的运动过程中，OC+AC的最小值为　　． 5、如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）求△ABC的周长；（2）求证：∠ABC＝90°； （3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为　 　． 6、已知，△ABC中，BC＝8，AC＝6，AB＝10． （1）如图1，若点D是AB的中点，且∠B＝40°，求∠DCA的度数； （2）如图2，若点E是AB边上的动点，求线段CE的最小值． 7、如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝4，AD＝3，若点P在BC上运动． （1）求线段DP的最小值； （2）当DP最小时，求△CDP的面积． 学科网（北京）股份有限公司 8、[阅读理解] 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，求线段AD的长． 解：设BD＝x，则CD＝7﹣x． ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°． 在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2， 在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2， ∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2． 又∵AB＝4，AC＝6， ∴42﹣x2＝62﹣（7﹣x）2． 解得x＝，∴BD＝． ∴AD＝＝． [知识迁移] （1）在△ABC中，AB＝13，AC＝15，过点A作直线BC的垂线，垂足为D． i）如图1，若BC＝14，求线段AD的长； ii）若AD＝12，求线段BC的长． （2）如图2，在△ABC中，AB＝，AC＝，过点A作直线BC的垂线，交线段BC于点D，将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△ABD′，连接CD′，若AD＝，求线段CD′的长． 9、如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，DE，DF分别交AC于点E，交BC于点F，且DE⊥DF． （1）如果CA＝CB，连接CD． ①求证：DE＝DF； ②求证：AE2+BF2＝EF2； （2）如图2，如果CA＜CB，探索AE，BF和EF之间的数量关系，并加以证明． 10、如图，A（0，m），B（n，0），满足n2﹣10n+25＝0 （1）求点A，点B的坐标； （2）点P是第二象限内一点，过点A作AC⊥射线BP，连接CO，试探究BC，AC，CO之间的数量关系并证明． （3）在（2）的条件下，∠POC＝∠APC，PA＝4，求PB的长． 11、我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上高的差．如图1，△ABC中，CD为BA边上高，边BA的“线高差”等于BA﹣CD，记为h（BA）． （1）如图2，若△ABC中AB＝AC，AD⊥BC垂足为D，AD＝6，BD＝4，则h（BC）＝　 　； （2）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，则h（AC）＝ 　； （3）如图3，△ABC中，AB＝21，AC＝20，BC＝13，求h（AB）的值． 12、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处， （1）求∠ECF的度数； （2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积． 13、如图①，现有一张三角形ABC纸片，沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点D重合． （1）填空：△ADC是　 　三角形； （2）若AB＝15，AC＝13，BC＝14，求BC边上的高AE的长； （3）如图②，若∠DAC＝90°，试猜想：BC、BD、AE之间的数量关系，并加以证明． 14、已知∠MAN＝30°，点B在射线AN上，点C在射线AM上，且AB＝12． （1）若△ABC是直角三角形，求AC的长； （2）若BC＝8，求AC的长； （3）要使满足条件的△ABC唯一确定，直接写出BC的长度x的取值范围． 15、如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒2cm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒4cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒． （1）①Rt△ABC斜边AC上的高为 　 　； ②当t＝3时，PQ的长为 　　； （2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△BPQ是等腰三角形？ （3）当点Q在边AC上运动时，直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年人教版数学八年级下册压轴 专项十二：勾股压轴题（二）（解析） 1、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3.2，0），点B（1.8，0），点C在y轴上，且AC⊥BC，AC＝4，BC＝3，点P为线段AB上一动点，连接CP，过点P作PM⊥AC于点M，作PN⊥BC于点N，则当线段CP取最小值时，的值为 　　． 思路引领：先根据垂线段最短确定点P的位置，然后根据等积法分解求解PM，PN的值，进而可求解． 解：由垂线段最短可得当点P运动到点O时，CP最小， ∵点A（﹣3.2，0），点B（1.8，0）， ∴AB＝1.8﹣（﹣3.2）＝5，AO＝3.2，BO＝1.8， ∵AC＝4，BC＝3，AC⊥BC， ∴CP， ∵PM⊥AC，PN⊥BC， ∴PM， PN， ∴． 故答案为：． 总结提升：本题主要考查坐标与图形的性质，两点间的距离，注意等积法的运用，求解PM，PN的值是解题的关键． 2、在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 　 　． 思路引领：根据点与直线上各点的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长． 解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短， 过A作AD⊥BC，交BC于点D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点，又BC＝6， ∴BD＝CD＝3，在Rt△ADC中，AC＝5，CD＝3， 根据勾股定理得：AD4，又∵S△ABCBC•ADBP•AC，∴BP4.8． 故答案为：4.8． 总结提升：此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 3、如图，线段AB的长为8，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个直角三角形△ACD和△BCE，其中∠A＝30°，∠B＝60°，那么DE长的最小值是 　 　． 思路引领：设AC＝x，BC＝10﹣x，由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理得CDx，CE（8﹣x），再由勾股定理和配方法即可求解． 解：设AC＝x，BC＝8﹣x， ∵△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，∠A＝30°， ∴CDACx，∠ACD＝90°﹣∠A＝60°， ∵△BCE为直角三角形，∠BEC＝90°，∠B＝60°， ∴∠BCE＝90°﹣∠B＝30°， ∴BEBC， ∴CE（8﹣x）， ∴∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝90°， ∴DE2＝CD2+CE2＝（x）2+[（8﹣x）]2＝x2﹣12x+40＝（x﹣6）2+12， ∴当x＝6时，DE2取最小值为12， 此时DE的最小值为2， 故答案为：2． 总结提升：本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质以及最小值问题，熟练掌握勾股定理和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 4、如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A（5，0），点B在y轴上运动，以AB为边作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°（点A，B，C呈顺时针排列），当点B在y轴上运动时，点C也随之运动．在点C的运动过程中，OC+AC的最小值为　　． 思路引领：过点A作直线l⊥x轴，过点C，B作CD⊥l于点D，BE⊥l于点E，易证△CDA≌△AEB，从而得出AD＝BE＝OA＝5，作点A关于CD的对称点A′，由三角形三边长关系得：当O，C，A′三点共线时，OC+AC有最小值＝OA′，利用勾股定理即可求解． 解：如图，过点A作直线l⊥x轴，过点C，B作CD⊥l于点D，BE⊥l于点E， ∵∠DCA+∠CAD＝90°，∠EAB+∠CAD＝180°﹣90°＝90°， ∴∠DCA＝∠EBA， 在△CDA和△AEB中， ， ∴△CDA≌△AEB（AAS）， ∴BE＝AD， ∵A（5，0）， ∴AD＝BE＝OA＝5， 作点A关于CD的对称点A′，连接CA′，则点A′在直线l上，DA′＝DA＝5，AC＝A′C， ∴OC+AC＝OC+A′C， ∵OC+A′C≥OA′， ∴当O，C，A′三点共线时，OC+AC有最小值＝OA′， 此时，OA′5， ∴OC+AC最小值＝5． 故答案为：5． 总结提升：本题考查轴对称﹣最短路线问题、全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加合适的辅助线，构造直角三角形是解题关键． 5、如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）求△ABC的周长； （2）求证：∠ABC＝90°； （3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为　 　． 思路引领：（1）运用勾股定理求得AB，BC及AC的长，即可求出△ABC的周长． （2）运用勾股定理的逆定理求得AC2＝AB2+BC2，得出∠ABC＝90°． （3）过B作BP⊥AC，解答即可． 解：（1）AB，BC，AC， △ABC的周长＝25＝35， （2）∵AC2＝25，AB2＝20，BC2＝5， ∴AC2＝AB2+BC2， ∴∠ABC＝90°． （3）过B作BP⊥AC， ∵△ABC的面积， 即， 解得BP＝2， 故答案为：2 总结提升：本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理是解题的关键． 6、已知，△ABC中，BC＝8，AC＝6，AB＝10． （1）如图1，若点D是AB的中点，且∠B＝40°，求∠DCA的度数； （2）如图2，若点E是AB边上的动点，求线段CE的最小值． 思路引领：（1）先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得求出∠A的度数，最后根据直角三角形斜边上的中线性质可得CD＝DA，从而利用等腰三角形的性质即可解答； （2）利用面积法，进行计算即可解答． 解：（1）在△ABC中，BC＝8，AC＝6，AB＝10， ∴AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B＝40°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝50°， ∵点D是AB的中点， ∴CD＝DAAB， ∴∠A＝∠DCA＝50°， ∴∠DCA的度数为50°； （2）如图：当CE⊥AB时，线段CE最小， ∵△ABC的面积AB•CEAC•BC， ∴AB•CE＝AC•BC， ∴10CE＝6×8， ∴CE＝4.8， ∴线段CE的最小值为4.8． 总结提升：本题考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及垂线段最短是解题的关键． 7、如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝4，AD＝3，若点P在BC上运动． （1）求线段DP的最小值； （2）当DP最小时，求△CDP的面积． 思路引领：（1）由垂线段最短可知当DP⊥BC时，DP最短，根据角平分线的性质即可得出结论； （2）由勾股定理得BD＝5，当DP最小时，DP⊥BC，再由勾股定理得PB＝4，设PC＝x，CD＝y，则BC＝BP+PC＝4+x，AC＝AD+CD＝3+y，然后由勾股定理和三角形面积公式求出x的值，即可求解． 解：（1）当DP⊥BC时，线段DP的值最小， ∵BD平分∠ABC，∠A＝90°， 当DP⊥BC时，DP＝AD， ∵AD＝3， ∴DP的最小值是3； （2）∵∠A＝90°， ∴BD5， 当DP最小时，DP＝3，DP⊥BC， 则∠DPB＝∠DPC＝90°， ∴PB4， 设PC＝x，CD＝y， 则BC＝BP+PC＝4+x，AC＝AD+CD＝3+y， ∴CD2＝PD2+PC2， 即y2＝32+x2①， ∵△ABC的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积， ∴4×（3+y）4×3（4+x）×3， 整理得：4y＝12+3x②， 由①②得：， 解得：，或（舍去）， ∴PC， ∴△CDP的面积CP×DP3， 即当DP最小时，△CDP的面积为． 总结提升：本题考查了勾股定理、角平分线的性质、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和角平分线的在是解题的关键． 8、[阅读理解] 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，求线段AD的长． 解：设BD＝x，则CD＝7﹣x． ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°． 在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2， 在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2， ∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2． 又∵AB＝4，AC＝6， ∴42﹣x2＝62﹣（7﹣x）2． 解得x＝， ∴BD＝． ∴AD＝＝． [知识迁移] （1）在△ABC中，AB＝13，AC＝15，过点A作直线BC的垂线，垂足为D． i）如图1，若BC＝14，求线段AD的长； ii）若AD＝12，求线段BC的长． （2）如图2，在△ABC中，AB＝，AC＝，过点A作直线BC的垂线，交线段BC于点D，将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△ABD′，连接CD′，若AD＝，求线段CD′的长． 思路引领：（1）i）利用勾股定理得出AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，进而建立方程求BD，即可得出结论； ii）先利用勾股定理求出BC＝5，CD＝9，再分两种情况．即可得出结论； （2）先利用勾股定理求出BD，CD，再利用面积求出DN，进而求出DD'，再用勾股定理得出D'H2＝D'D2﹣HD2＝D'B2﹣HB2，进而建立方程求出HB，即可得出结论． 解：（1）i）设BD＝x，则CD＝14﹣x， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2， 在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2， ∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2， ∵AB＝13，AC＝15， ∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2， ∴x＝5， ∴BD＝5， ∴AD＝＝＝12； ii）在Rt△ABD中，BD＝＝＝5， 在Rt△ACD中，CD＝＝＝9， 当∠ABC为锐角时，如图1﹣1，BC＝BD+CD＝5+9＝14， 当∠ABC为钝角时，如图1﹣2，BC＝BD﹣CD＝9﹣5＝4； （2）如图2，连接DD'交AB于点N，则DD'⊥AB， 过点D'作D'H⊥BD于H， 在Rt△ABD中，BD＝＝＝； 在Rt△ACD中，CD＝＝＝5， ∵AB垂直平分DD'， ∴D'B＝DB＝，D'D＝2DN， ∵S△ABD＝AD•BD＝， ∴＝•DN， ∴DN＝， ∴D'D＝2DN＝5， 设HB＝m，则HD＝HB+BD＝m+， ∵D'H2＝D'D2﹣HD2＝D'B2﹣HB2， ∴（5）2﹣（m+）2＝（）2﹣m2， ∴m＝， ∴HB＝， ∴HC＝HB+BD+CD＝++4＝15，D'H＝＝＝5， ∴D'C＝＝＝5． 总结提升：此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，直角三角形的构造，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． 9、如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，DE，DF分别交AC于点E，交BC于点F，且DE⊥DF． （1）如果CA＝CB，连接CD． ①求证：DE＝DF； ②求证：AE2+BF2＝EF2； （2）如图2，如果CA＜CB，探索AE，BF和EF之间的数量关系，并加以证明． 思路引领：（1）①根据等腰直角三角形的性质可知，∠DCE＝∠DBF＝45°，∠CDB＝90°，CD＝BD．由DE⊥DF，可证明∠CDE＝∠BDF．即可利用“ASA”证明△DCE≌△DBF，即得出DE＝DF；②由全等三角形的性质可知BF＝CE，结合题意可求出AE＝CF．在Rt△ECF中，再由勾股定理，得CF2+CE2＝EF2，即得出AE2+BF2＝EF2； （2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接AM，EM．易证△ADM≌△BDF（SAS），得出AM＝BF，∠MAD＝∠B，从而判断AM∥BC，即证明∠MAE＝∠ACB＝90°．再根据线段垂直平分线的判定和性质可知EF＝EM．最后在Rt△AEM中，由勾股定理，得AE2+AM2＝EM2，即得出AE2+BF2＝EF2． （1）①证明：∵CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形． ∵点D是AB的中点， ∴∠DCE＝∠DBF＝45°，∠CDB＝90°，CD＝BD． 又∵DE⊥DF， ∴∠EDF＝∠CDB＝90°， ∵∠CDE＝∠EDF﹣∠CDF，∠BDF＝∠CDB﹣∠CDF， ∴∠CDE＝∠BDF． 在△DCE与△DBF中， ， ∴△DCE≌△DBF（ASA）， ∴DE＝DF； ②证明：由①可知△DCE≌△DBF， ∴BF＝CE， ∵CA＝CB， ∴CA﹣CE＝CB﹣BF，即AE＝CF． 在Rt△ECF中，由勾股定理，得CF2+CE2＝EF2， ∴AE2+BF2＝EF2； （2）解：结论：AE2+BF2＝EF2．理由如下： 如图，延长FD至点M，使DM＝DF，连接AM，EM． ∵点D为AB中点， ∴AD＝BD， ∵∠ADM＝∠BDF，DM＝DF， ∴△ADM≌△BDF（SAS）， ∴AM＝BF，∠MAD＝∠B， ∴AM∥BC， ∴∠MAE＝∠ACB＝90°． 又∵DE⊥DF，DM＝DF， ∴DE是FM的垂直平分线， ∴EF＝EM， 在Rt△AEM中，由勾股定理，得AE2+AM2＝EM2， ∴AE2+BF2＝EF2． 总结提升：本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质以及平行线的性质等知识．掌握三角形全等的判定条件和正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 10、如图，A（0，m），B（n，0），满足n2﹣10n+25＝0 （1）求点A，点B的坐标； （2）点P是第二象限内一点，过点A作AC⊥射线BP，连接CO，试探究BC，AC，CO之间的数量关系并证明． （3）在（2）的条件下，∠POC＝∠APC，PA＝4，求PB的长． 思路引领：（1）利用非负数的性质求得m、n的值，易得点A、B的坐标； （2）如图1，作OD⊥OC交PB于D，证△OAC≌△OBD（ASA）（提示AO，BC八字形），得证等腰Rt△OCD，故BC﹣AC＝CDCO； （3）作OM⊥OP交AC延长线于M，作AN⊥OP于N，连接PM．易证△OPB≌△OMA（ASA），故PB＝MA，且得证等腰Rt△OPM，又∠APO＝∠APC+∠OPC＝∠POC+∠OPC＝∠OCB＝45°，所以 ∠APM＝45°+45°＝90°，易求出OP＝PN+ON＝4+3＝7，（Rt△ANO，等腰Rt△APN），Rt△APM中，MA． 解：（1）∵n2﹣10n+25＝0， ∴|m﹣5|+（n﹣5）2＝0 ∴m﹣5＝0且n﹣5＝0， 则m＝5，n＝5， 故A（0，5）B（5，0）； （2）如图1，作OD⊥OC交PB于D， ∵AO⊥BO， ∴∠AOC＝∠BOD（同角的余角相等）． 又AC⊥PB，∠1＝∠2， ∴∠OAC＝∠OBD（等角的余角相等）． 在△OAC与△OBD中， ， ∴△OAC≌△OBD（ASA）， ∴OC＝OD， ∴CDCO， ∴BC﹣AC＝CDCO； （3）作OM⊥OP交AC延长线于M，作AN⊥OP于N，连接PM． 易证△OPB≌△OMA（ASA）， ∴PB＝MA，且得证等腰Rt△OPM， 又∠APO＝∠APC+∠OPC＝∠POC+∠OPC＝∠OCB＝45°， ∴∠APM＝45°+45°＝90°， 易求出OP＝PN+ON＝4+3＝7． 在Rt△APM中，由勾股定理得到：MA 即PB的长度为． 总结提升：考查了三角形综合题，涉及到了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，非负数的性质和配方法的应用，难度较大，难点是作出辅助线，构建全等三角形． 11、我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上高的差．如图1，△ABC中，CD为BA边上高，边BA的“线高差”等于BA﹣CD，记为h（BA）． （1）如图2，若△ABC中AB＝AC，AD⊥BC垂足为D，AD＝6，BD＝4，则h（BC）＝　 　； （2）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，则h（AC）＝ 　； （3）如图3，△ABC中，AB＝21，AC＝20，BC＝13，求h（AB）的值． 思路引领：（1）求出BC的长即可解决问题； （2）如图4中，求出高BH即可解决问题； （3）如图3中，作CD⊥AB于D，求出CD即可解决问题． 解：（1）如图2中， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝DC＝8， ∴h（BC）＝BC﹣AD＝8﹣6＝2． 故答案为2． （2）如图4中，作BH⊥AC于H． ∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC10， ∵•AC•BH•AB•BC， ∴BH， ∴h（AC）＝AC＝BH＝10． 故答案为． （3）如图3中，作CD⊥AB于D．设BD＝x，则AD＝21﹣x． ∵CD2＝AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2， ∴202﹣（21﹣x）2＝132﹣x2， 解得x＝5， ∴CD12， ∴h（AB）＝AB﹣CD＝21﹣12＝9． 总结提升：本题属于三角形综合题，考查了勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 12、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处， （1）求∠ECF的度数； （2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积． 思路引领：（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE∠ACD，∠BCF＝∠B'CF∠BCB'，再根据∠ACB＝90°，即可得出∠ECF＝45°； （2）在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC，设AE＝x，则AB＝x+5，根据勾股定理可得AE2+CE2＝AB2﹣BC2，即x2+42＝（x+5）2﹣41，求得x，得出AE的长和AB的长，再由三角形面积公式即可得出S△ABC． 解：（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE∠ACD，∠BCF＝∠B'CF∠BCB'， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCB'＝90°， ∴∠ECD+∠FCD90°＝45°， 即∠ECF＝45°； （2）由折叠可得：∠DEC＝∠AEC＝90°，BF＝B'F＝1， ∴∠EFC＝45°＝∠ECF， ∴CE＝EF＝4， ∴BE＝4+1＝5， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC， 设AE＝x，则AB＝x+5， ∵Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2， Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2， ∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2， 即x2+42＝（x+5）2﹣41， 解得：x， ∴AE，AB＝AE+BE5 ∴S△ABCAB×CE4． 总结提升：本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 13、如图①，现有一张三角形ABC纸片，沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点D重合． （1）填空：△ADC是　 　三角形； （2）若AB＝15，AC＝13，BC＝14，求BC边上的高AE的长； （3）如图②，若∠DAC＝90°，试猜想：BC、BD、AE之间的数量关系，并加以证明． 思路引领：（1）根据折叠得到AD＝AC，所以△ADC是等腰三角形； （2）设CE＝x，利用勾股定理得到方程132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2解得：x＝5，在Rt△AEC中，由勾股定理即可解答； （3）猜想BC、BD、AE之间的数量关系为：BC﹣BD＝2AE．由△ADC是等腰三角形，又∠DAC＝90°，得到△ADC是等腰直角三角形又AE是CD边上的高，所以△AED与△AEC都是等腰直角三角形，即可得到CD＝2AE．由BC﹣BD＝CD，即可解答． 解：（1）∵三角形ABC纸片，沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点D重合． ∴AD＝AC， ∴△ADC是等腰三角形； 故答案为：等腰． （2）设CE＝x，则BE＝14﹣x， 在Rt△AEC中，由勾股定理得：AE2＝AC2﹣CE2， ∴AE2＝132﹣x2 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2＝AB2﹣BE2， ∴AE2＝152﹣（14﹣x）2∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2解得：x＝5， 在Rt△AEC中，由勾股定理得：． （3）猜想BC、BD、AE之间的数量关系为：BC﹣BD＝2AE． 证明如下：由（1）得：△ADC是等腰三角形，又∠DAC＝90°，∴△ADC是等腰直角三角形 又AE是CD边上的高， ∴DE＝CE，， ∴△AED与△AEC都是等腰直角三角形， ∴DE＝AE＝EC，即CD＝2AE． ∵BC﹣BD＝CD ∴BC﹣BD＝2AE． 总结提升：本题考查了等腰三角形的性质定理与判定定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解决本题的根据是判定△ADC是等腰三角形和勾股定理的应用． 学科网（北京）股份有限公司 14、已知∠MAN＝30°，点B在射线AN上，点C在射线AM上，且AB＝12． （1）若△ABC是直角三角形，求AC的长； （2）若BC＝8，求AC的长； （3）要使满足条件的△ABC唯一确定，直接写出BC的长度x的取值范围． 思路引领：（1）分两种情形求解即可； （2）如图，作BH⊥AM于H，则BHAB＝6，AH＝6，分两种情形计算即可； （3）当BC≥12或BC＝6时，△ABC唯一确定． 解：（1）如图， ①当∠ACB＝90°，AC＝6． ②当∠ABC′＝90°时，AC′＝8． （2）如图，作BH⊥AM于H，则BHAB＝6，AH＝6， ∵BC＝8， ∴CH2． ∴AC＝AH+CH＝62或AC′＝62． （3）当BC≥12或BC＝6时，△ABC唯一确定． 总结提升：本题考查解直角三角形、三角形的三边关系、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 15、如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒2cm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒4cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒． （1）①Rt△ABC斜边AC上的高为 　 　； ②当t＝3时，PQ的长为 　　； （2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△BPQ是等腰三角形？ （3）当点Q在边AC上运动时，直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值． 思路引领：（1）①利用勾股定理可求解AC的长，利用面积法进而可求解Rt△ABC斜边AC上的高； ②可求得AP和BQ，则可求得BP，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ的长； （2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t； （3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ＝BC、CQ＝BC和CQ＝BQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 解：（1）①在Rt△ABC中，由勾股定理可得， ∴Rt△ABC斜边AC上的高为； ②当t＝3时，则AP＝6cm，BQ＝4t＝12cm， ∵AB＝16cm， ∴BP＝AB﹣AP＝16﹣6＝10（cm）， 在Rt△BPQ中，由勾股定理可得， 即PQ的长为， 故答案为：①9.6cm；②； （2）由题意可知AP＝2tcm，BQ＝4tcm， ∵AB＝16cm， ∴BP＝AB﹣AP＝16﹣2t（cm）， 当△BPQ为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣2t＝4t， 解得， ∴出发秒后△BPQ能形成等腰三角形； （3）在△ABC中，AC＝20cm， 当点Q在AC上时，AQ＝BC+AC﹣4t＝32﹣4t（cm），CQ＝4t﹣12（cm）， ∵△BCQ为等腰三角形， ∴有BQ＝BC、CQ＝BC和CQ＝BQ三种情况， ①当BQ＝BC＝12时，如图，过B作BE⊥AC于E， 则， 由（1）知BE＝9.6cm， 在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC2＝BE2+CE2， 即122＝9.62+（2t﹣6）2， 解得t＝6.6或t＝﹣0.6＜0（舍去）； ②当CQ＝BC＝12时，则4t﹣12＝12，解得t＝6； ③当CQ＝BQ时，则∠C＝∠QBC， ∴∠C+∠A＝∠CBQ+∠QBA， ∴∠A＝∠QBA， ∴QB＝QA， ∴，即4t﹣12＝10，解得t＝5.5； 综上可知当运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，△BCQ为等腰三角形． 总结提升：本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．熟练掌握这些知识点是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$