3.2.1函数的单调性与最值（2知识点+8题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第一册）

3.2.1 函数的单调性与最值 课程标准 学习目标 （1）借助函数图象, 会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值, 理解它们的作用和实际意义。 （1）掌握函数单调性的概念; （2） 会利用函数的单调性概念证明函数的单调性； （3）会判断函数的单调性； （4）会求函数的最值.（难点) 知识点01 函数的单调性 (1)增函数和减函数 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(左图).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(右图).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 注 ① 在上单调递减，但它不是减函数. ② 的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的有三个特征：一是任意性，即任意取，“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定；三是同属一个单调区间，三者缺一不可． (2) 单调性 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性．区间叫做函数的单调区间． 注 ① 这个区间可以是整个定义域也可以是定义域的一部分. ② 有的函数无单调性．如函数，它的定义域是，但无单调性可言． 2 单调性概念的拓展 ① 若递增，，则. ② 若递增，，则. 递减，有类似结论！ 3 判断函数单调性的方法 ① 定义法 解题步骤 (1) 任取，且； (2) 作差； (3) 变形(通常是因式分解和配方)； (4) 定号(即判断差的正负)； (5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)． ② 数形结合 ③ 性质法 增函数+增函数增函数，减函数+减函数减函数； 但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是. ④ 复合函数的单调性 (1)如果则称为的复合函数； 比如： (和的复合函数)； (和的复合函数)； (和的复合函数). (2) 同增异减 设函数的值域是，函数 若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增； 若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减. 【即学即练1】 函数在（    ） A．上是增函数 B．上是减函数 C．和上是增函数 D．和上是减函数 知识点02 函数的最值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： (1) ，都有；(2)，使得； 那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义) 简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值. 【即学即练2】 已知，设，则函数的最小值是（    ） A．－2 B．－1 C．2 D．3 【题型一：函数单调性的概念】 例1．下列说法中正确的有（    ） ①若x1，x2∈I，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数； ②函数y＝x2在R上是增函数； ③函数y＝－在定义域上是增函数； ④函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞). A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式1-1．若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上（    ） A．一定是增函数 B．没有单调性 C．不可能是减函数 D．存在减区间 变式1-2．函数的递增区间是，则函数的递增区间是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 理解函数单调性的概念，要注意单调区间中的任意性. 【题型二：定义法判断或证明具体函数单调性】 例2．已知函数，且. (1)求. (2)用定义证明函数在上是增函数. 变式2-1．已知函数，，．若不等式的解集为. (1)求的值及； (2)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【方法技巧与总结】 定义法判断或证明函数单调性的解题步骤 (1) 任取，且； (2) 作差； (3) 变形(通常是因式分解和配方)； (4) 定号(即判断差的正负)； (5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)． 【题型三：求函数的单调区间】 例3．下列函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．下列函数在上不是增函数的是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．增区间是 B．减区间是 C．增区间是 D．增区间是 【方法技巧与总结】 判断函数单调性的方法 ① 定义法 ② 数形结合 ③ 性质法 增函数+增函数增函数，减函数+减函数减函数； 但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是. 【题型四：求复合函数的单调性】 例4．下列结论正确的是（    ） A．函数的单调增区间是 B．函数在定义域内单调递减 C．函数 的单调递增区间是 D．函数的单调递减区间是 变式4-1．已知，若，则（    ） A．在区间内是减函数 B．在区间内是减函数 C．在区间内是增函数 D．在区间内是增函数 变式4-2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 变式4-3．函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1复合函数的概念 如果则称为的复合函数； 比如： (和的复合函数)； (和的复合函数)； (和的复合函数). 2 复合函数的单调性：同增异减. 【题型五：根据函数的单调性求参数】 例5．已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 变式5-3．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 根据函数单调性求参数的值或范围，可采取数形结合的方法，此时要特别注意一些临界值的位置；要分类讨论的话，抓好分类讨论的标准，做到不重不漏！ 【题型六：利用函数单调性求最值】 例6．函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式6-1．已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【方法技巧与总结】 求函数的最值或值域，可以利用函数的单调性进行求解. 【题型七：根据函数最值求参数】 例7．已知函数，记函数，其中实数，若的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式7-1．若的最小值是4，则实数的值为（    ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 变式7-2．已知函数在区间上的最大值是4，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式7-3．已知函数在区间[0，2]上的最大值是1，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 处理函数最值或值域的参数问题，可先结合函数图象了解函数的单调性，要特别注意取到最值的临界值位置，若要分类讨论，要抓好分类的标准！ 【题型八：抽象函数的单调性综合问题】 例8．定义在上的函数满足，，且时，. (1)求； (2)判断在上的单调性并证明； (3)若，求的取值范围. 变式8-1．已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，求不等式的解集． 变式8-2．已知定义在上函数同时满足如下三个条件： ①对任意都有； ②当时，； ③． (1)计算的值； (2)证明在上为减函数； (3)有集合，问：是否存在点使？ 【方法技巧与总结】 1 抽象函数的赋值，往往令，，等，多尝试下； 2 判断或证明抽象函数的单调性，采取定义法证明； 3 求解类似这种涉及函数的不等式，往往不会直接求出，而利用最好利用函数的单调性，得到变量的不等式！ 一、单选题 1． 下列结论正确的是（    ） A．在定义域内是单调递减函数 B．若在区间上满足，则在上是单调递增的 C．若在区间上单调递减，则在上单调递减 D．若在区间，上分别单调递减，则在上单调递减 2.函数的递增区间为（    ） A． B． C． D． 3.已知函数是定义在上的单调函数，且时，都有，则（    ） A．-4或-1 B．-4 C．-1 D．0 4.已知函数的值域为，且在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.已知函数，若对于任意，，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.已知函数＝在区间[2，5]的最大值为2，则t的值为（    ） A．2 B． C．2或3 D．-1或6 7.若对，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.已知函数，当时设的最大值为，则当取到最小值时（    ） A．0 B．1 C．2 D． 二、多选题 9．已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在上单调递减 C． D．的值域是 10.若二次函数在区间上的最大值为6，则a等于（    ） A． B． C． D．5 11.已知函数的定义域为，若存在区间，使得满足：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是，则称区间为函数的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．函数的单调递增区间是 ． 13.已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 14.小明在研究函数时，发现具有其中一个性质：如果常数，那么函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．请你根据以上信息和所学知识解决问题：若函数的定义域为，值域为，则实数a的值是 ． 四、解答题 15．已知函数的图像经过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)当时，的最小值为3，求的值. 16. 设函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； (2)若，求函数的值域． 17. 已知是定义在R上的函数，且对任意实数， . (1)若，求，的值. (2)若时恒有，试判断函数单调性，并说明理由. 18.已知函数 (1)写出的单调区间以及在每个单调区间上的单调性（无需证明） (2)解不等式 (3)若满足，且，求证： 19．若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”． (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由： (2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.1 函数的单调性与最值 课程标准 学习目标 （1）借助函数图象, 会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值, 理解它们的作用和实际意义。 （1）掌握函数单调性的概念; （2） 会利用函数的单调性概念证明函数的单调性； （3）会判断函数的单调性； （4）会求函数的最值.（难点) 知识点01 函数的单调性 (1)增函数和减函数 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(左图).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(右图).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 注 ① 在上单调递减，但它不是减函数. ② 的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的有三个特征：一是任意性，即任意取，“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定；三是同属一个单调区间，三者缺一不可． (2) 单调性 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性．区间叫做函数的单调区间． 注 ① 这个区间可以是整个定义域也可以是定义域的一部分. ② 有的函数无单调性．如函数，它的定义域是，但无单调性可言． 2 单调性概念的拓展 ① 若递增，，则. ② 若递增，，则. 递减，有类似结论！ 3 判断函数单调性的方法 ① 定义法 解题步骤 (1) 任取，且； (2) 作差； (3) 变形(通常是因式分解和配方)； (4) 定号(即判断差的正负)； (5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)． ② 数形结合 ③ 性质法 增函数+增函数增函数，减函数+减函数减函数； 但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是. ④ 复合函数的单调性 (1)如果则称为的复合函数； 比如： (和的复合函数)； (和的复合函数)； (和的复合函数). (2) 同增异减 设函数的值域是，函数 若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增； 若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减. 【即学即练1】 函数在（    ） A．上是增函数 B．上是减函数 C．和上是增函数 D．和上是减函数 【答案】C 【分析】分离常数，作出函数图象，观察即可得出结果. 【详解】， 函数的定义域为， 其图象如下： 由图象可得函数在和上是增函数. 故选：C 知识点02 函数的最值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： (1) ，都有；(2)，使得； 那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义) 简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值. 【即学即练2】 已知，设，则函数的最小值是（    ） A．－2 B．－1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据题意，将问题转化为分段函数的最小值问题，然后根据函数的单调性求解． 【详解】由，即，解得或； 由，即，解得. 由题意， 则在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 故函数的最小值是． 故选：A． 【题型一：函数单调性的概念】 例1．下列说法中正确的有（    ） ①若x1，x2∈I，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数； ②函数y＝x2在R上是增函数； ③函数y＝－在定义域上是增函数； ④函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞). A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】对于①，定义中的x1，x2必须是任意的；对于②，在整个定义域上不具有单调性；对于③，举特值可知错误；对于④，单调区间的写法错误. 【详解】对于①，函数单调性的定义中的x1，x2是任意的，强调的是任意，①不对； 对于②，y＝x2，当x≥0时是增函数，当x<0时是减函数，从而y＝x2在其整个定义域上不具有单调性；②错误； 对于③，y＝－在整个定义域内不是单调递增函数.如－3<5，而f(－3)>f(5)；③错误； 对于④，y＝，的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法. ④错误. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数单调性的定义，函数单调性的判断，属于基础题. 变式1-1．若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上（    ） A．一定是增函数 B．没有单调性 C．不可能是减函数 D．存在减区间 【答案】C 【分析】利用函数的单调性分析即可得解. 【详解】因为函数在区间和上均为增函数， 对于A，符合条件的图像如图所示， 函数在区间上不是增函数，，但，故A错误； 对于B，符合条件的图像如图所示， 函数在区间和上连续，此时在区间上是增函数，故B错误； 对于CD，函数在区间和上不论是否连续，都不可能是减函数，所以不存在减区间，故C正确，D错误； 故选：C 变式1-2．函数的递增区间是，则函数的递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数是函数向左平移5个单位得到的，利用函数在区间是增函，即可得到结论． 【详解】解：函数是函数向左平移5个单位得到的， ∵函数在区间上是增函数， ∴增区间为向左平移5个单位，即增区间为， 故选B． 【点睛】本题考查图象的变换，考查函数的单调性，属于基础题． 【方法技巧与总结】 理解函数单调性的概念，要注意单调区间中的任意性. 【题型二：定义法判断或证明具体函数单调性】 例2．已知函数，且. (1)求. (2)用定义证明函数在上是增函数. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意列式计算，即可求得答案； （2）根据函数单调性的定义，即可证明结论； （3）根据函数的单调性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知函数，且， 故，则 （2）证明：由（1）知， 任取且， 则， 因为且，可得，则， 所以，即， 所以函数在上为单调递增函数. 变式2-1．已知函数，，．若不等式的解集为. (1)求的值及； (2)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1) ， (2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）首先由一元二次不等式的解集结合韦达定理确定参数值，进一步可得函数的表达式. （2）直接由函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由题意，即， 即的解集为， 所以，解得， 所以. （2）函数在区间上单调递增，理由如下： ，不妨设， 则， 因为，且，故, 所以，即， 所以函数在区间上单调递增. 【方法技巧与总结】 定义法判断或证明函数单调性的解题步骤 (1) 任取，且； (2) 作差； (3) 变形(通常是因式分解和配方)； (4) 定号(即判断差的正负)； (5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)． 【题型三：求函数的单调区间】 例3．下列函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求出各选项中函数的单调区间，从而可得正确的选项. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，故A错. 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，故B对. 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，故C错. 对于D，因为在上单调递减，在上单调递增，故D错. 故选：B. 【点睛】本题考查具体函数的单调性，此类问题一般根据函数解析式的具体形式求出单调区间即可，本题属于基础题. 变式3-1．下列函数在上不是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可. 【详解】解：对于A：在定义域上单调递增，故A错误； 对于B：在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于C：在定义域上单调递减，故C正确； 对于D：，函数在上单调递减，在上单调递增，故D错误； 故选：C 变式3-2．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．增区间是 B．减区间是 C．增区间是 D．增区间是 【答案】D 【解析】根据题意，将写成分段函数的形式，结合二次函数的性质分段讨论的单调性和单调区间，综合可得答案． 【详解】根据题意，函数， 当时，，在区间上为减函数，在区间上为增函数； 当时，，在区间上为增函数，在区间上为减函数； 综合可得：在区间和上为减函数，在区间上为增函数， 故选：D. 【方法技巧与总结】 判断函数单调性的方法 ① 定义法 ② 数形结合 ③ 性质法 增函数+增函数增函数，减函数+减函数减函数； 但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是. 【题型四：求复合函数的单调性】 例4．下列结论正确的是（    ） A．函数的单调增区间是 B．函数在定义域内单调递减 C．函数 的单调递增区间是 D．函数的单调递减区间是 【答案】C 【分析】 根据反比例函数、二次函数以及分段函数的单调性，结合图形，依次判断即可求解. 【详解】 对A，由，解得或， 则函数的定义域为或，如图， 所以函数的单调增区间为，故A错误； 对B，， 函数的定义域为 ，所以在和上分别为减函数， 但不能说定义域内单调递减，故B错误； 对C，函数，如图， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为，故C正确； 对D，当时，函数的图象开口向下，对称轴为， 所以的单调减区间为， 又当时，为减函数，但中间不能用“”这个符号，故D错误. 故选：C 变式4-1．已知，若，则（    ） A．在区间内是减函数 B．在区间内是减函数 C．在区间内是增函数 D．在区间内是增函数 【答案】A 【分析】直接利用复合函数单调性得到答案. 【详解】在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性： 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 故选：A. 【点睛】本题考查了复合函数单调性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 变式4-2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性，在定义域内求出 的减区间，即为所求增区间. 【详解】因为 所以，即该函数的定义域为 又因为的增区间是，减区间是 所以函数的单调递增区间是 故选：D 【点睛】本题考查了函数的单调性及单调区间的求解，对于复合函数的单调性要根据“同增异减”来判断，特别要注意单调区间为定义域的子集. 变式4-3．函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解函数的定义域，然后根据二次函数的性质判断函数的增减区间即可； 【详解】由函数有意义得，解得. 函数图象的对称轴为直线 在上单调递增，在上单调递减， 的单调递减区间是. 故选：C. 【方法技巧与总结】 1复合函数的概念 如果则称为的复合函数； 比如： (和的复合函数)； (和的复合函数)； (和的复合函数). 2 复合函数的单调性：同增异减. 【题型五：根据函数的单调性求参数】 例5．已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对勾函数的性质以及反比例函数的性质，即可由分类讨论，结合分段函数的单调性求解. 【详解】因为函数，在上单调递增， 当时，由于和均在单调递增函数， 故在上单调递增， 所以，解得， 当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增， 则，解得， 当时，，此时，显然满足在上单调递增， 综上，． 故选：B 变式5-1．已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由函数的单调性列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数是上的增函数， 则，解得. 故选：B 变式5-2．若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化，利用二次函数和反比例函数的性质分析单调性，列出不等关系控制范围求解即可 【详解】由题意，函数为开口向下的二次函数，对称轴为 故在单调递减，即 函数，在区间上是减函数 故，且或，即或 综上的取值范围是 故选：D 变式5-3．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形换元得到，，考虑，和三种情况，结合对勾函数性质得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】， 令，故，， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增， 故，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：C 【方法技巧与总结】 根据函数单调性求参数的值或范围，可采取数形结合的方法，此时要特别注意一些临界值的位置；要分类讨论的话，抓好分类讨论的标准，做到不重不漏！ 【题型六：利用函数单调性求最值】 例6．函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，利用基本不等式求得，构造函数，证明出函数在上为增函数，由此可求得函数的最小值. 【详解】令，则，因为，所以， 又，令，其中， 任取、且，即， 则， ，，，，即， 所以，函数在上为增函数，因此，. 故选：C. 变式6-1．已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法求得的解析式，进而结合二次函数的性质求解即可. 【详解】设，则， ， ，， 函数在上单调递减， 当时，， 函数的值域为. 故选：C. 变式6-2．已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】令，利用基本不等式可得，进而转化为对勾函数的单调性求最值． 【详解】因为，，为正数且满足， 所以，当且仅当时等号成立， 令，，则， 令，， 又在上单调递增， 所以当时，取得最小值为， 所以的最小值为，当且仅当时取得． 故选：D． 【方法技巧与总结】 求函数的最值或值域，可以利用函数的单调性进行求解. 【题型七：根据函数最值求参数】 例7．已知函数，记函数，其中实数，若的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得的表达式，结合对勾函数的单调性，分类讨论a的取值范围，即分和两种情况，根据的值域列式求解，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 根据对勾函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 因为， 当时，在上单调递减且的值域为， 则，， 解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以为此时的最小值，， 因为的值域为， 所以，即， 解得，所以， 综上，a的取值范围为． 故选：B． 变式7-1．若的最小值是4，则实数的值为（    ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 【答案】A 【分析】分，，三种情况，得出每种情况下的最小值，令其为4，解出的值. 【详解】当时，， ，解得，符合题意； 当时，， ，解得，符合题意； 当时，，，舍掉. 故选：A. 变式7-2．已知函数在区间上的最大值是4，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论，去掉绝对值分析函数的最大值，根据最大值为4即可得出的取值范围. 【详解】当时，， 当时，在上单调递减， 在上单调递增， 当或时，，满足题意； 当时，在上单调递增， ，不符合题意； 当时，，不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 故选：C 变式7-3．已知函数在区间[0，2]上的最大值是1，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数左移，函数变得简单，使得解的过程也变得简单；再分类讨论去绝对值，最后根据函数的值域算出实属a的取值范围. 【详解】将函数的图象向左平移一个单位，得到函数.则在区间[0，2]上的最大值是1，只需函数在区间[-1，1]上的最大值是1. 由，， 当，时，，此时函数的最小值为1，不合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，化简得 又由当时，根据二次函数的性质，的值域为， 当时，，必有，可得. 综上，实数a的取值范围是. 故选：B. 【方法技巧与总结】 处理函数最值或值域的参数问题，可先结合函数图象了解函数的单调性，要特别注意取到最值的临界值位置，若要分类讨论，要抓好分类的标准！ 【题型八：抽象函数的单调性综合问题】 例8．定义在上的函数满足，，且时，. (1)求； (2)判断在上的单调性并证明； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)在上的单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据条件，通过赋值，即可求出结果； （2）根据条件，利用证明函数单调性的定义法，再结合条件，即可求出结果； （3）利用（2）中结果，根据条件得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为，令，得到，所以. （2）在上的单调递增，证明如下， 任取，且， 则， 又时，，且，所以，得到， 所以在上的单调递增. （3）因为， 由（2）知，解得， 又由，得到，所以的取值范围为. 变式8-1．已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)，证明见解析； (2)在上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）令，可得，令，结合已知即可得证； （2）设，令，结合的范围即可判断，得证； （3）利用赋值法求出，然后根据单调性去掉函数符号，解一元二次不等式可得. 【详解】（1）令，则，又，所以． 证明：当时，，所以， 又，所以，所以； （2）在上单调递减． 证明：设，则 ， 又，所以，所以， 又当时，，当时，， 所以，即， 所以在上单调递减； （3）因为，所以， 所以，即， 又在上单调递减，所以， 解得，所以不等式的解集为． 变式8-2．已知定义在上函数同时满足如下三个条件： ①对任意都有； ②当时，； ③． (1)计算的值； (2)证明在上为减函数； (3)有集合，问：是否存在点使？ 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)不存在 【分析】（1）运用赋值法，结合题中条件分别令，，即可求解； （2）设，令，结合时，即可证明； （3）代入得到，化简得到一元二次不等式，根据判别式符号即可判断. 【详解】（1）由， ， 得． （2）对任意，有．根据条件②有． 所以． 所以在上为减函数． （3）联立， 将，代入上式得， 因为在上是减函数， 所以消去得． 因为，所以无实数解．所以不存在满足题设的点． 【方法技巧与总结】 1 抽象函数的赋值，往往令，，等，多尝试下； 2 判断或证明抽象函数的单调性，采取定义法证明； 3 求解类似这种涉及函数的不等式，往往不会直接求出，而利用最好利用函数的单调性，得到变量的不等式！ 一、单选题 1． 下列结论正确的是（    ） A．在定义域内是单调递减函数 B．若在区间上满足，则在上是单调递增的 C．若在区间上单调递减，则在上单调递减 D．若在区间，上分别单调递减，则在上单调递减 【答案】C 【分析】依次根据函数单调性的定义分析四个选项，推理论证，构造反例，即得解. 【详解】选项A，在分别单调递减，故A不正确； 选项B，如函数满足，但在上不是单调递增，故B不正确; 选项C，，故说法正确； 选项D，如函数，在区间，上分别单调递减，但在上不单调递减，不正确. 故选：C 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题. 2.函数的递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合二次函数的性质得出增区间． 【详解】，显然在是递增．在上是增函数， 由得，所以的增区间是（也可写为）． 故选：A． 3.已知函数是定义在上的单调函数，且时，都有，则（    ） A．-4或-1 B．-4 C．-1 D．0 【答案】C 【分析】根据题意，采用换元法，求出的解析式，从而得到. 【详解】由题意得，设，是一个大于0的常数， 因为， 由，得，则有， 因为，所以，， 所以， 故选：C. 4.已知函数的值域为，且在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，结合单调区间确定的取值，再由值域确定的取值即可. 【详解】函数中，，即，则函数的定义域为， 由在上单调递减，得，因此， 由函数的值域为，得，， 显然，否则与在上单调递减矛盾， 因此，此时在上单调递减，符合题意， 所以的取值范围是. 故选：C 5.已知函数，若对于任意，，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用换元法分析求出的解析式，对变形分析可得在区间上为增函数，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，已知函数， 设，则，有，故， 不妨设，则，都有，即， 变形可得， 设，则在区间上为增函数， 当时，在和上单调递减，不符合要求，舍去， 当时，在和上单调递增，要使在区间上为增函数，则必有或，解可得或， 当时，为常函数，不符合要求， 综上，的取值范围为 故选：C． 6.已知函数＝在区间[2，5]的最大值为2，则t的值为（    ） A．2 B． C．2或3 D．-1或6 【答案】C 【分析】根据绝对值函数的特性对进行讨论即可得到答案. 【详解】由函数，令，得， 当，即时，去绝对值后的函数在区间上为单调递增函数， 函数的最大值，解得（舍）或（舍）， 当，即，去绝对值后的函数在区间上为单调递减函数， 函数的最大值，解得（舍）或（舍）， 当，即， 在区间上的最大值为或， 解得或. 综上：的值为或. 故选：C. 【点睛】本题考查绝对值函数的最值，利用单调性是关键，属于中档题. 7.若对，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，利用对勾函数的单调性可求得，从而将问题再转化为恒成立，然后分情况求的取值范围. 【详解】， 即对，使不等式成立， ∴， ∵对勾函数在上单调递增，． 恒成立， 的对称轴， ∴，解得， 或，无解， 或，无解， 综上， 即的取值范围为． 故选：C． 8.已知函数，当时设的最大值为，则当取到最小值时（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】由二次函数的性质，求出，结合选项取不同值时的不同情况，进而求出结果. 【详解】， 当时设的最大值，在端点处或最低点处取得 ，最小值为2 ，最小值为 ，最小值为4.5 ，最小值 综上可得，取到最小值时0. 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了理解辨析能力和逻辑推理能力，分类讨论的数学思想，属于难题. 二、多选题 9．已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在上单调递减 C． D．的值域是 【答案】ABC 【分析】对于A：根据分式的意义运算求解；对于B：根据单调性的性质分析判断；对于C：直接代入运算即可；对于D：分析可知，分类讨论即可得结果. 【详解】对于选项A：令，解得， 所以的定义域为，则A正确； 对于选项B：若，则， 因为在上单调递增，且， 可知在上单调递减，故B正确； 对于选项C：因为，所以，故C正确； 对于选项D：因为，则，且，可得， 当时，； 当时，； 所以的值域是，故D错误； 故选：ABC． 10.若二次函数在区间上的最大值为6，则a等于（    ） A． B． C． D．5 【答案】BC 【分析】对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上单调性，结合可求得实数的值. 【详解】由题意可知：， 当时，二次函数图象的对称轴为直线， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以，，解得，合乎题意； 当时，二次函数图象的对称轴为直线， 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，，解得，合乎题意. 故选：BC. 11.已知函数的定义域为，若存在区间，使得满足：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是，则称区间为函数的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据“倍值区间”的定义分别判断各选项. 【详解】根据题意，函数中存在“倍值区间”，则满足在上是单调函数，其次有或， 依次分析选项： 对于A，，在区间在上是增函数，其值域是，则区间为函数的“倍值区间”； 对于B，，在区间上是增函数，其值域为，则区间是函数的“倍值区间”； 对于C，，在区间上是减函数，其值域为，则区间是函数的“倍值区间”； 对于D，，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 若函数存在倍值区间，则有或， 对于，有，解可得，不符合题意， 对于，有，变形可得且，必有，不符合题意， 故当时，不存在“倍值区间”；同理可得当时，不存在“倍值区间”， 故在定义域内不存在“倍值区间”， 故选：ABC. 三、填空题 12．函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求出结果. 【详解】函数， 由，解得或， 函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递增区间为. 故答案为：. 13.已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将解析式进行分离变形，即可结合反比例函数的单调性求解. 【详解】因为， 所以， 所以在上严格增函数 所以，． 故答案为： 14.小明在研究函数时，发现具有其中一个性质：如果常数，那么函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．请你根据以上信息和所学知识解决问题：若函数的定义域为，值域为，则实数a的值是 ． 【答案】或 【分析】当判断单调性，进而确定最值即可求范围，当再讨论的大小关系，结合的性质，判断上的单调性，进而确定最值，结合已知值域求参数范围. 【详解】当时，即，在上递增， 故当时，，解得：，满足题设； 当，即， 若，即时，函数在上递减，在上递增， 故， 可得或（舍去）； 若，即时，函数在上递增， ，解得：，不满足题设. 故答案为：或. 四、解答题 15．已知函数的图像经过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)当时，的最小值为3，求的值. 【答案】(1) (2)在上单调递减；证明见解析 (3)1 【分析】（1）代入已知点坐标求得参数值得函数解析式； （2）根据单调性定义证明； （3）结合单调性得最小值从而可求解． 【详解】（1）由题意知函数的图像经过点， 故，解得， 故； （2）函数在上单调递减； 证明：设，且， 则 ， 因为，故， 即，故函数在上单调递减. （3）由（2）知在是减函数， 因此，解得或， 又，所以． 16. 设函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； (2)若，求函数的值域． 【答案】(1)函数在上单调递增；证明见解析 (2) 【分析】 （1）通过定义法作差判断正负求解； （2）由，由复合函数的单调性知函数在上单调递增，在上单调递减，即可求解． 【详解】（1）函数在上单调递增； 证明：任取，且， 则 因为， 所以， 所以， 得， 所以函数在上单调递增； （2）解：因为， 则，， 所以， 由（1）的证明过程知，函数在上单调递减， 所以由复合函数的单调性可得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又， 显然，故， 所以函数的值域为： 17. 已知是定义在R上的函数，且对任意实数， . (1)若，求，的值. (2)若时恒有，试判断函数单调性，并说明理由. 【答案】(1)， . (2)为上的减函数，理由见解析. 【分析】（1）取，可得，取，，解得，取，解得，即可得出答案. （2）由题意可知，设，令，则，作差，进而可得答案. 【详解】解：（1）取，则，， 取，则，， 取，解得,则， 取，则，解得， （2）由题意可知， 设，令，则， 所以， 所以， 所以函数在R上为减函数. 18.已知函数 (1)写出的单调区间以及在每个单调区间上的单调性（无需证明） (2)解不等式 (3)若满足，且，求证： 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）分类讨论得出在不同区间函数的表达式，即可得出单调性； （2）通过分类讨论即可求出不等式的解； （3）做出函数图象，结合函数单调性进行分类讨论，即可证明结论 【详解】（1）由题意， 在中， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ∴在上单调递增，在上单调递减； （2）由题意及（1）得， 在中，， ， ①，由不等式可得， ，， 所以； ②，不等式即； 综上，； （3）由题意（1）及（2）得， 在中，大致图象如图： 当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 则若满足，则， 由图象知 ①若，则显然， ②若，要证明，则要证， 注意到，且在上递减， 则可证明， ，则可证明， 构造函数，则， 对任意的 ， ，， 在上单调递减， 时，即， ，从而得证. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的单调性，解不等式和单调性证明，考查学生的分类讨论和证明能力，具有较强的综合性. 19．若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”． (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由： (2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析； (2)1； (3). 【分析】（1）根据给定的定义，取，判断 在没有实数解，即可得解. （2）根据给定的定义，当时，用表示并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即得. （3）根据给定的定义，函数在区间,上的值域包含函数在区间,上的值域，再结合二次函数的性质，分类讨论即可求解． 【详解】（1）假定函数是区间上的“2阶自伴函数”， 取，，由，得，显然此方程无实数解， 所以函数不是区间上的“2阶自伴函数”. （2）函数为区间上的“1阶自伴函数”， 则对任意，总存在唯一的，使得， 即，整理得，显然函数在上单调递减， 且当时，，当时，， 因此对内的每一个，在内有唯一值与之对应，而， 于是，则有，解得，即， 所以的值是1. （3）由函数在上单调递减，得函数的值域为， 由函数是在区间上的“2阶伴随函数”， 得对任意的，总存在唯一的时，使得成立， 于是，则在区间上的值域必定包含区间， 且的值域在对应的自变量是唯一的，而函数图象开口向上，对称轴为， 显然，， ①当时，在上单调递增，则， 即，解得； ②当时，在上单调递减，则， 即，解得； ③当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 即，解得； ④当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 即，解得， 所以a的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题首先要理解“m阶自伴函数”或“m阶伴随函数”的意义，然后根据每一小问函数的类型设计出解决问题的思路，对于第三问，存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当时，要考虑对称轴在区间时，二次函数的图像的形状，以此来建立不等式求出a的范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$