3.1.1对函数概念的再认识（3知识点+7题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第一册）

3.1.1 对函数概念的再认识 课程标准 学习目标 （1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数, 建立完整的函数概念; （2）体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用； （3）了解构成函数的要素, 能求简单函数的定义域。 （1）理解函数的概念，会判断两个函数是否同一函数; （2）会求具体函数或抽象函数的定义域； （3）掌握求函数的值域的方法.（难点) 知识点01 函数的概念 设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 对函数概念的理解 ① 是非空的数集，一方面强调了只能是数集，即中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集． ② 函数中，集合间元素的对应可以是一对一、一对多，不能多对一，集合中的元素可以在集合没元素对应. ③ 函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集中的任意一个(任意性)元素，在非空数集中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数． 【即学即练1】 （多选）对于集合，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（    ）    A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ABC 【分析】根据题意，由函数的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】图①中能看到函数的值域不是集合B的子集，不符合函数定义： 图②和③中，从集合A到集合B存在一对多的对应关系，不符合函数的定义： 图④符合函数的定义. 故选：ABC 知识点02 函数的定义域 ① 概念：函数自变量的取值范围. ② 求函数的定义域主要应考虑以下几点 若为整式，则其定义域为实数集． 若是分式，则其定义域是使分母不等于的实数的集合． 若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于的实数的集合． 若是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．[来源:Zxxk.Com] 实际问题中，定义域要受到实际意义的制约． 【即学即练2】 函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由解析式中根号下为非负数，分母不为零，解不等式即可求得结果. 【详解】根据函数解析式可得，解得； 所以该函数的定义域为. 故选：C 知识点03 函数的值域 1 概念：函数值的取值范围 2 求值域的方法 配方法 数形结合 换元法 函数单调性法 分离常数法 基本不等式法 【即学即练3】 （多选）如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分别计算各选项函数的定义域与值域，再根据“交汇函数”的定义可判断各选项. 【详解】由“交汇函数”定义可知，“交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集为， A选项：的定义域，值域， 则，A选项错误； B选项：的定义域，值域， 则，B选项正确； C选项：的定义域，值域， 则，C选项错误； D选项：的定义域，值域， 则，D选项正确； 故选：BD. 【题型一：函数概念的理解】 例1．给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD选项，可举出反例；B选项，利用函数的定义作出判断. 【详解】A选项，，当时，，由于，故A选项不合要求； B选项，，存在唯一确定的，使得，故B正确； CD选项，对于，不妨设，此时，解得， 故不满足唯一确定的与其对应，不满足要求，CD错误. 故选：B 变式1-1．（多选）下列各图象中，是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的定义逐个分析判断. 【详解】对于A，由图可知，有一部分的有两个的值与其对应，所以不是函数图象，所以A错误， 对于B，由图可知，定义域内的每一个都只有一个和它对应，所以是函数图象，所以B正确， 对于C，由图可知，有一部分的有两个的值与其对应，所以不是函数图象，所以C错误， 对于D，由图可知，定义域内的每一个都只有一个和它对应，所以是函数图象，所以D正确. 故选：BD 变式1-2．若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数定义判断即可得. 【详解】由函数定义可排除C，由值域为可排除A、B， 只有D选项为定义域为，值域为的函数的图象. 故选：D. 变式1-3．已知函数的定义域为，值域为的子集，则满足的函数的个数为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】D 【分析】对、、的取值进行分类讨论，计算出不同情况下函数的个数，即可得解. 【详解】解：分以下几种情况讨论： ①当、、全为时，只有种； ②当、、中有两个为，一个为时，有种； ③当、、中有两个为，一个为时，有种； ④当、、三者都不相等时，可分别取值为、、，有种； ⑤当、、三者都不相等时，可分别取值为、、，有种. 综上所述，满足条件的函数的个数为个. 故选：D. 【方法技巧与总结】 对函数的理解，注意自变量的任意性和函数值的唯一性！ 【题型二：具体函数的定义域】 例2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 变式2-1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域化简集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】，而 ， ， 故选：C 变式2-2．的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据具体函数定义域的要求列不等式组求解. 【详解】要使函数有意义， 必须满足，解得， 函数的定义域为. 故选；B. 变式2-3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据被开方数为非负数得到不等式，解得即可. 【详解】函数，令， 等价于，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：D 【方法技巧与总结】 1 函数定义域的概念：函数自变量的取值范围. 2 求函数的定义域主要应考虑以下几点 若为整式，则其定义域为实数集． 若是分式，则其定义域是使分母不等于的实数的集合． 若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于的实数的集合． 若是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．[来源:Zxxk.Com] 【题型三：抽象函数的定义域】 例3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】函数的定义域为，所以， ， 所以的定义域为， 对于函数，由， 得，所以函数的定义域为. 故选：C 变式3-1．已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可. 【详解】由题可知的定义域为， 则为使有意义必须且只需， 解得， 所以的定义域为. 故选：D 变式3-2．已知函数定义域为，则函数的定义域为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用复合函数的定义域的意义列式求解即得. 【详解】函数定义域为，由函数有意义，得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 【方法技巧与总结】 函数定义域的概念：函数自变量的取值范围. 【题型四：判断两个函数是否相等】 例4．中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，A不是； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域 为或，两个函数定义域不同，B不是； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，且， 两个函数定义域相同，对应法则也相同，C是； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，D不是. 故选：C 变式4-1．（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（    ） A．； B．． C．． D．． 【答案】AB 【分析】只需逐一判断所比较的函数定义域及其对应法则是否均相同即可求解. 【详解】对于A，，其对应法则、定义域均相同，且与函数名用的哪个字母没有关系，故A符合题意； 对于B，，其对应法则、定义域均相同，且与自变量、函数名用的哪个字母没有关系，故B符合题意； 对于C，的定义域为，的定义域为，即的定义域不同，故C不符合题意； 对于D，，这表明对应法则不同，故D不符合题意. 故选：AB. 变式4-2．（多选）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BD 【分析】结合同一函数的定义，判断两个函数的定义域与对应关系是否一致即可得. 【详解】对A：对的定义域为，则， 故与不是同一函数，故A错误； 对B：，， 故与是同一函数，故B正确； 对C：定义域为，即，定义域为， 即或，故与不是同一函数，故C错误； 对D：与定义域与对应关系都相同， 故与是同一函数，故D正确. 故选：BD. 【方法技巧与总结】 若两个函数是同一函数，必须满足定义域和解析式均相同. 【题型五：函数赋值问题】 例5．已知函数，，下表列出了时各函数的取值，则（    ） x m 8 4 n A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据表格列出关于等式并解出，代入求出即可. 【详解】由表知，，，解得， 所以， 所以. 故选：B 变式5-1．已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数，代入解方程即得. 【详解】函数，由，得，则，解得， 所以的值等于. 故选：C 变式5-2．函数，f(a)＝3，则f(－a)的值为（    ） A．－3 B．－1 C．1 D．2 【答案】B 【分析】通过计算后可得． 【详解】由题意得, ∴, 故选：B． 变式5-3．已知，定义域为，任意，点组成的图形为正方形，则实数的值为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：要使函数有意义，则a（x-1）（x-3）≥0， ∵a＜0，∴不等式等价为（x-1）（x-3）≤0，即1≤x≤3， ∴定义域D=[1，3]， ∵任意m，n∈D，点P（m，f（n））组成的图形为正方形， ∴正方形的边长为2， ∵f（1）=f（3）=0， ∴函数的最大值为2， 即a（x-1）（x-3）的最大值为4， 设f（x）=a（x-1）（x-3）=ax2-4ax+3a， ∴当x=2时，f（2）=-a=4， 即a=-4， 故选D． 考点：函数的定义域及其求法． 【方法技巧与总结】 对于函数，而函数值相当于时对应的值. 【题型六：函数的值域】 方法1 数形结合 例6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的值域，再要注意，进而可以求解． 【详解】解：令， 当时，，又， 所以，，即 所以， 故选：D． 变式6-1．已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可得到值域. 【详解】， 因为，所以的值域为，即， 故选：A. 变式6-2．已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数整理成，然后利用二次函数的性质即可求解 【详解】，， 故，故函数值域为. 故选：B 方法2 换元法 例7．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【详解】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C 变式7-1．函数的值域是（    ） A．(－∞，1 B．(－∞，－1 C．R D．［1，+∞ 【答案】A 【分析】令，化简函数，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】令，则，所以， 当时，此时函数取得最大值1， 所以函数的值域为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了函数的值域的求解，以及二次函数的图象与性质和换元法点应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 变式7-2．已知函数则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求得函数的定义域，换元后利用配方法求函数的值域． 【详解】， 由，解得. . 令， 函数. 当时，； 当时，， 函数的值域为. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的定义域、值域及其求法，训练了利用换元法与配方法求函数的值域，是中档题． 变式7-3．函数，则的值域为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，求函数的值域，再求函数的值域即可. 【详解】因为，令； 则，其中， 故的值域为， .故选：A. 方法3 分离常数法 例8．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数后，利用二次函数的性质求解最值，即可结合不等式的性质求解. 【详解】由可得， 由于函数，所以， 故， 故选：B 变式8-1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得答案. 【详解】， ，， 从而可知函数的值域为. 故选：D. 变式8-2．函数y的值域是（　　） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞） C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞） 【答案】D 【分析】分离常数即可得出，从而得出，进而得出该函数的值域． 【详解】解：， ∴y， ∴该函数的值域为． 故选：D． 变式8-3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可. 【详解】结合题意：， 当时，； 当时，，当且仅当， 即，原式取得最小值； 另一方面，因为，所以，即; 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值; 另一方面因为， 令，则，所以，所以 所以，即; 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 【方法技巧与总结】 1 求值域的方法有很多种，常见如下： 配方法 数形结合 换元法 函数单调性法 分离常数法 基本不等式法 2 使用换元法时，要注意新变量的取值范围； 3 对于，等分式函数，求其值域常用分离常数法结合基本不等式求解. 【题型七：根据函数的值域求定义域】 例9．已知函数f（x）=x2-2x-3的定义域为[a，b]，值域为[-4，5]，则实数对（a，b）的不可能值为（    ） A．（-2，4） B．（-2，1） C．（1，4） D．（-1，1） 【答案】D 【分析】先画出的图象，再根据其值域为，结合选项即可判断. 【详解】画出的图象如图所示： 由图可知：，， 根据选项可知：当的定义域为，值域为时， 的可能值为，，，所以D错误. 故选：D. 变式9-1．若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论解不等式即可. 【详解】由函数的值域是， 所以当时，， 当时， 即，解得， 所以函数的定义域为：， 故选：D 变式9-2．若函数f（x）＝x2﹣8x+15的定义域为[1，a]，值域为[﹣1，8]，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，4） B．（4，7） C．[1，4] D．[4，7] 【答案】D 【分析】先根据值域确定函数自变量取值范围，再结合二次函数图象确定实数a的取值范围. 【详解】由，所以， 由得，所以 故选：D 【点睛】本题考查根据值域求参数取值范围，考查基本分析求解能力，属中档题. 变式9-3．已知函数在闭区间上的值域为，则的最大值为 . 【答案】3 【分析】画出函数图像,分析要使函数在闭区间上的值域为,必有,,或,再根据求的最大值最好是正值,可得, ,即的最大值为. 【详解】   画出函数的图像可知,要使其在闭区间上的值域为, 由于有且仅有,所以, 而,所以有,或, 又∵,的最大值为正值时,, ∴, 所以,当取最小值时,,有最大值. 又∵, ∴的最大值为； 故答案为：3. 【点睛】本题考查了二次函数的图像和定义域与值域之间的关系,分析双变量的最值时,可先确定正负,再看是否有办法将其中一值取到定值,以此消元.本题为中等题. 【方法技巧与总结】 根据函数的值域求定义域，多数形结合. 一、单选题 1.已知是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A可能情况数为（    ） A．9 B．10 C．31 D．32 【答案】C 【分析】由题意转化为求集合的非空子集个数问题. 【详解】由题意可知，是集合A到集合B的函数， 令，得，令，得，令，得， 所以集合是集合的非空子集，并且非空子集的个数为个. 故选：C 2.已知函数的值域为，关于其定义域，下面说法正确的是（    ）． A． B．不可能是无穷多个闭区间的并集 C．任取中两个元素，乘积一定非负 D．可能是所有有理数以及负无理数所成集合 【答案】D 【分析】对于ABC：找反例即可判断；对于D：所有非正有理数以及负无理数所成集合为,即可判断. 【详解】对于A：取时，函数的值域为，A错误； 对于B：可能是无穷多个闭区间的并集，比如，B错误； 对于C：当函数的值域为，取其定义域，取，则，C错误； 对于D：所有非正有理数以及负无理数所成集合为，此时函数的值域为.而函数在上为偶函数，所以当为正有理数时，函数值大于0，D正确. 故选：D 3.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质即可求出函数的值域. 【详解】因为， 所以， 故函数的值域为， 故选： 4.已知，则下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．函数的图象与x轴有两个交点 D．点在函数的图象上 【答案】A 【分析】运用函数的定义与性质逐一判断. 【详解】解：选项A：由，可得，解得，故选项A正确； 选项B：由，可得，所以，故选项B错误； 选项C：因为，所以函数的图象与轴没有交点，故选项C错误； 选项D：因为，所以点在函数的图象上，故选项D错误. 故选：A. 5.若对任意恒成立，，则（    ） A．189 B．190 C．464 D．465 【答案】D 【分析】由递推公式依次求解即可． 【详解】依题意，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：D 6.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用定义域就是求自变量的取值范围进行求解即可. 【详解】由函数的定义域为，可得函数的定义域为， 则函数的定义域是， 故选：C. 7.函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，转化为二次函数在定区间的值域，即得解 【详解】由题意，函数的定义域为 令 故 由于为开口向下的二次函数，对称轴为 故当时，，无最小值 故函数的值域是 故选：C 8.设，，若对于任意，总存在，使得 成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对函数分和，运用二次函数的值域求法，可得的值域，运用一次函数的单调性求出函数的值域，由题意可得的值域包含在的值域内，可得的不等式组，解不等式可得的取值范围． 【详解】∵， 当时，， 当时，， 由，即，所以， ∴，故， 又因为，且，． 由递增，可得， 对于任意，总存在，使得成立， 可得， 可得 ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数恒成立问题以及函数值域的求法，注意运用转化思想，是对知识点的综合考查，属于中档题． 二、多选题 9．下列对应关系是从到的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【分析】根据函数定义进行判断即可． 【详解】根据函数定义，集合中的每一个元素，对应集合中唯一元素． 对于A，符合函数的定义，是从A到B的函数，故A正确； 对于B，A中有元素0，在对应关系下，不在集合B中，不是函数，故B错误； 对于C，A中元素时，B中没有元素与之对应，不是函数，故C错误； 对于D，A中任意元素，在对应关系下，都在集合B中，是从A到B的函数，故D正确； 故选：AD． 10.南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”.已知圆周率，如果记圆周率小数点后第位数字为，则下列说法正确的是（    ） A．，是一个函数 B．当时， C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题中定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：对于任意，均存在唯一的与之对应， 符合函数的定义，可知，是一个函数，故A正确； 对于选项BC：因为，故B错误，C正确； 对于选项D：由定义可知，故D正确； 故选：ACD. 11.对于函数：，若使得，我们称为函数的一个不动点.则（    ） A．若有无数多个不动点，则 B．若为二次函数，且无不动点，则无不动点 C．若有唯一不动点，则有唯一不动点 D．若有且仅有两个不动点，，则，都是的不动点 【答案】BC 【分析】根据题意函数的定义即可判定. 【详解】A：显然不正确,如； B：因为二次函数，故或，当时，，当时，，故无不动点； C：若，其中唯一存在，记，则，若，则， 从而也为的不动点，故只能，即为的不动点， 又易知的不动点显然为的不动点，所以有唯一不动点. D：由C不难知且，故D不正确. 故选：BC. 三、填空题 12．已知函数，且，则 ． 【答案】/0.5 【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【详解】令 . 故答案为：. 13.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有     个. 【答案】27 【分析】先确定自变量可能所取值，再利用乘法原理求结果. 【详解】当时，；当时，；当时，；当时，； 所以“孪生函数”共有： 故答案为：27 【点睛】本题考查函数定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 14.若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数的定义域为,转化为恒成立,然后通过分类讨论和两种情况分别求得a的取值范围，可得解. 【详解】的定义域为，是使在实数集上恒成立. 若时,要使恒成立,则有 且, 即,解得. 若时，化为，恒成立，所以满足题意， 所以 故答案为：. 四、解答题 15．已知函数， (1)求的定义域； (2)求，的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）满足二次根式下大于等于零和分母有意义即可； （2）直接带入可求. 【详解】（1）因为， 所以， 所以的定义域为 （2）因为， 所以， 16.已知函数，其中. (1)若，求实数的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，由，列出方程，即可求解； （2）根据题意，得到，结合一元二次不等式不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）由函数，因为，可得，解得. （2）因为，可得，即， 当时，解得，所以不等式的解集为； 当时，解得或，所以不等式的解集为， 综上可得，当时，解集为；当时，解集为. 17.求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）判断函数的单调性，求出区间端点函数值，即可得解； （2）首先求出函数的定义域，即可求出的取值范围，从而得解； （3）利用分离常数法及反比例函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以在上单调递增， 又，， ∴函数，的值域为． （2）令，即，解得， 所以的定义域为， 又∵，∴， 故， ∴的值域为． （3）因为， 又，所以， ∴函数的值域为． 18.已知函数 (1)求的值． (2)求证：是定值． (3)求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数解析式代入运算可得解； （2）根据函数解析式列式运算可得证； （3）由（2）的结论，组合运算即可得解. 【详解】（1）因为， 所以； （2）证明：为定值； （3）由（2）可知，，， 所以 ． 19．已知函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围 (3)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程根的关系列出方程组并求解出结果； （2）先通过分离参数将不等式变形，然后结合基本不等式求解出的取值范围； （3）根据条件先分析出的值域关系，然后再进行分类讨论求解出的取值范围. 【详解】（1）原不等式可化为，因为该不等式解集为， 可知的两根为和3， 则，即， 故解得； （2）若对任意的恒成立， 所以对任意的，恒成立， 即对任意的恒成立，所以， 又因为，， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以实数的取值范围是； （3）当时，，因为，所以函数的值域是， 因为对任意的，总存在，使成立， 所以的值域是的值域的子集， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得， 当时，，显然不成立， 综上所述，实数的取值范围是或． 【点睛】结论点睛：本题考查函数与不等式的综合运用，其中着重考查了一元二次不等式恒成立以及函数值域相关问题，难度较难. 一般地，已知函数，, （1）若任意，任意，有成立，故； （2）若任意，存在，有成立，故； （3）若存在，存在，有成立，故； （4）若任意，存在，有，则的值域是值域的子集． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.1 对函数概念的再认识 课程标准 学习目标 （1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数, 建立完整的函数概念; （2）体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用； （3）了解构成函数的要素, 能求简单函数的定义域。 （1）理解函数的概念，会判断两个函数是否同一函数; （2）会求具体函数或抽象函数的定义域； （3）掌握求函数的值域的方法.（难点) 知识点01 函数的概念 设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 对函数概念的理解 ① 是非空的数集，一方面强调了只能是数集，即中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集． ② 函数中，集合间元素的对应可以是一对一、一对多，不能多对一，集合中的元素可以在集合没元素对应. ③ 函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集中的任意一个(任意性)元素，在非空数集中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数． 【即学即练1】 （多选）对于集合，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（    ）    A．① B．② C．③ D．④ 知识点02 函数的定义域 ① 概念：函数自变量的取值范围. ② 求函数的定义域主要应考虑以下几点 若为整式，则其定义域为实数集． 若是分式，则其定义域是使分母不等于的实数的集合． 若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于的实数的集合． 若是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．[来源:Zxxk.Com] 实际问题中，定义域要受到实际意义的制约． 【即学即练2】 函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 知识点03 函数的值域 1 概念：函数值的取值范围 2 求值域的方法 配方法 数形结合 换元法 函数单调性法 分离常数法 基本不等式法 【即学即练3】 （多选）如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（    ） A． B． C． D． 【题型一：函数概念的理解】 例1．给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（多选）下列各图象中，是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（    ） A． B．C． D． 变式1-3．已知函数的定义域为，值域为的子集，则满足的函数的个数为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【方法技巧与总结】 对函数的理解，注意自变量的任意性和函数值的唯一性！ 【题型二：具体函数的定义域】 例2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2．的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式2-3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 函数定义域的概念：函数自变量的取值范围. 2 求函数的定义域主要应考虑以下几点 若为整式，则其定义域为实数集． 若是分式，则其定义域是使分母不等于的实数的集合． 若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于的实数的集合． 若是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．[来源:Zxxk.Com] 【题型三：抽象函数的定义域】 例3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．已知函数定义域为，则函数的定义域为（   ）. A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 函数定义域的概念：函数自变量的取值范围. 【题型四：判断两个函数是否相等】 例4．中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式4-1．（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（    ） A．； B．． C．． D．． 变式4-2．（多选）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【方法技巧与总结】 若两个函数是同一函数，必须满足定义域和解析式均相同. 【题型五：函数赋值问题】 例5．已知函数，，下表列出了时各函数的取值，则（    ） x m 8 4 n A．， B．， C．， D．， 变式5-1．已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 变式5-2．函数，f(a)＝3，则f(－a)的值为（    ） A．－3 B．－1 C．1 D．2 变式5-3．已知，定义域为，任意，点组成的图形为正方形，则实数的值为 A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 对于函数，而函数值相当于时对应的值. 【题型六：函数的值域】 方法1 数形结合 例6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式6-1．已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 方法2 换元法 例7．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式7-1．函数的值域是（    ） A．(－∞，1 B．(－∞，－1 C．R D．［1，+∞ 变式7-2．已知函数则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式7-3．函数，则的值域为（　　　） A． B． C． D． 方法3 分离常数法 例8．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式8-1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 变式8-2．函数y的值域是（　　） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞） C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞） 变式8-3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 求值域的方法有很多种，常见如下： 配方法 数形结合 换元法 函数单调性法 分离常数法 基本不等式法 2 使用换元法时，要注意新变量的取值范围； 3 对于，等分式函数，求其值域常用分离常数法结合基本不等式求解. 【题型七：根据函数的值域求定义域】 例9．已知函数f（x）=x2-2x-3的定义域为[a，b]，值域为[-4，5]，则实数对（a，b）的不可能值为（    ） A．（-2，4） B．（-2，1） C．（1，4） D．（-1，1） 变式9-1．若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式9-2．若函数f（x）＝x2﹣8x+15的定义域为[1，a]，值域为[﹣1，8]，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，4） B．（4，7） C．[1，4] D．[4，7] 变式9-3．已知函数在闭区间上的值域为，则的最大值为 . 【方法技巧与总结】 根据函数的值域求定义域，多数形结合. 一、单选题 1.已知是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A可能情况数为（    ） A．9 B．10 C．31 D．32 2.已知函数的值域为，关于其定义域，下面说法正确的是（    ）． A． B．不可能是无穷多个闭区间的并集 C．任取中两个元素，乘积一定非负 D．可能是所有有理数以及负无理数所成集合 3.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4.已知，则下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．函数的图象与x轴有两个交点 D．点在函数的图象上 5.若对任意恒成立，，则（    ） A．189 B．190 C．464 D．465 6.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 7.函数的值域是（    ） A． B． C． D． 8.设，，若对于任意，总存在，使得 成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列对应关系是从到的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10.南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”.已知圆周率，如果记圆周率小数点后第位数字为，则下列说法正确的是（    ） A．，是一个函数 B．当时， C． D． 11.对于函数：，若使得，我们称为函数的一个不动点.则（    ） A．若有无数多个不动点，则 B．若为二次函数，且无不动点，则无不动点 C．若有唯一不动点，则有唯一不动点 D．若有且仅有两个不动点，，则，都是的不动点 三、填空题 12．已知函数，且，则 ． 13.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有     个. 14.若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．已知函数， (1)求的定义域； (2)求，的值； 16.已知函数，其中. (1)若，求实数的值；(2)求不等式的解集. 17.求下列函数的值域： (1)，；(2)；(3)． 18.已知函数 (1)求的值． (2)求证：是定值． (3)求的值． 19．已知函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围 (3)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$