第5章 二次函数 单元总复习讲义 2024-2025学年苏科版数学九年级下册

第5章 二次函数单元总复习 讲义 知识模块1 一丶二次函数的定义: 一般地形如(、、是常数,且)的函数叫做二次函数。其中x是_,a是_,b是_,c是_ 注意:是一个整式方程 是一个自变量的二次式 二次项系数不为0 函数的坐标——是使函数成立的未知数的值,可以选择代入函数进行思考. 1、在下列关于x的函数中,一定是二次函数的是( ) A. B. C. D. 2、长方形的周长为,其中一边为,面积为.那么与的关系是( ) A. B. C. D. 3、已知函数是关于的二次函数,则的值是( ) A.0或4 B.0 C.2 D.4 4、如果是关于x的二次函数,则m的取值范围是( ) A. B. C.且 D.全体实数 5、二次函数的一次项系数是( ) A.1 B. C.2 D. 6、下列函数关系中,是二次函数的是( ) A.在弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B.当距离一定时,火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D.半圆面积S与半径R之间的关系 7.据省统计局公布的数据,合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币,若我市第三季度总值为y千亿元人民币,平均每个季度GDP增长的百分率为x,则y关于x的函数表达式是( ) A. B. C. D. 8.已知抛物线与x轴的一个交点为,则代数式的值为 . 9.二次函数的图象经过点,则代数式的值为 10.二次函数的二次项系数是 . 知识模块2 二、二次函数的图象和性质: 1、二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象是一条 ,其定点坐标为 对称轴是 2、在抛物y=ax 2+bx+c(a≠0)中: ①、当a>0时,y口向 ,当x<时,y随x的增大而 ,当x 时,y随x的增大而增大, ②、当a<0时,开口向 当x<时,y随x增大而增大,当x 时,y随x增大而减小 注:注意几个特殊形式的抛物线的特点 1、y=ax2 ,对称轴 顶点坐标 2、y= ax2 +k,对称轴 顶点坐标 a>0 a<0 图象 开口方向 对称轴 过点且平行于y轴的直线 顶点坐标 有最高(低)点 最低点 最高点 最大(小)值 当_时,函数有最_值,为_ 当_时,函数有最_值,为_ 增减性 当时,y随x的增大而_ 当时,y随x的增大而_ 当时,y随x的增大而_ 当时,y随x的增大而_ 3、y=a(x-h) 2对称轴 顶点坐标 4、y=a(x-h) 2 +k对称轴 顶点坐标 三、二次函数图象的平移 注:二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移,固然要掌握整抛物线的平移,只要关键的顶点平移即可 1.(2024 内蒙古包头 中考真题)将抛物线向下平移2个单位后,所得新抛物线的顶点式为( ) A. B. C. D. 2.抛物线,,的图象开口最大的是( ) A. B. C. D.无法确定 3.下列关于二次函数图象的性质,说法正确的是( ) A.抛物线的开口向下 B.抛物线 的对称轴为直线 C.抛物线 在对称轴左侧,即时,y随x的增大而减小 D.抛物线 的顶点坐标为 4.二次函数的图象是( ) A. B. C. D. 5.在平面直角坐标系中,将抛物线绕点旋转,在旋转后所得的抛物线上,当时,随的增大而减小,则的最大值是( ) A.3 B. C.5 D. 6..如果二次函数图象的形状与的形状相同,且顶点坐标是,那么这个函数的解析式为( ) A. B.或 C. D.或 7.如图所示,已知抛物线,抛物线关于原点中心对称.如果抛物线的解析式为,那么抛物线的解析式为 . 8.关于二次函数,下列说法中正确的是( ) A.函数图象的对称轴是直线 B.函数的有最小值,最小值为 C.点在函数图象上,当时, D.函数值y随x的增大而增大 9.已知点在抛物线上,则的大小关系是( ) A. B. C. D. 10.若点都在二次函数的图象上,则( ) A. B. C. D. 11.将二次函数y=x2﹣4x﹣4化为y=a(x﹣h)2+k的形式,正确的是( ) A.y=(x﹣2)2 B.y=(x+2)2﹣8 C.y=(x+2)2 D.y=(x﹣2)2﹣8 12.已知二次函数的图象,如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是( ) A.有最小值0,有最大值3 B.有最小值,有最大值0 C.有最小值,有最大值3 D.有最小值,无最大值 13.已知二次函数. x … … y … (1)请在坐标系中画出二次函数的图像; ①列表②描点③连线 (2)观察图像,回答下列问题: ①直接写出方程的解是 ; ②当时,x的取值范围是 知识模块3 四、二次函数y= ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系: a:开口方向 向上则a 0,向下则a 0 , |a|越大,开口越 b:对称轴位置,与a联系一起,用 判断b=0时,对称轴是 c:与y轴的交点:交点在y轴正半轴上,则c 0负半轴上则c 0,当c=0时,抛物点过 点 注:在抛物线y= ax2+bx+c中,当x=1时,y= 当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号 五、用待定系数法求二次函数 求二次函数的关系式,就是要确定关系式中的待定系数,每一种形式中都含有三个待定系数。所以用待定系数法求二次函数的关系式时,需要已知三个独立条件。 一般步骤是:设二次函数表达式 列方程组求待定系数 解待定系数 ④还原 2、一般式:当已知抛物线上任意三点的坐标时,通常设函数关系式为(其中为常数),然后列出三元一次方程组求解; 2、 顶点式:当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点的坐标时,通常设函数关系式为(其中为常数,为顶点坐标),求解; 3、 交点式:当已知抛物线与轴交点坐标或交点的横坐标时,通常设函数关系式为求解,(其中,为常数,为抛物线与轴交点的横坐标。 1、(2024 陕西 中考真题)已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表, x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是( ) A.图象的开口向上 B.当时,y的值随x的值增大而增大 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线 2、(2024 贵州 中考真题)如图,二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是,顶点坐标为,则下列说法正确的是( ) A.二次函数图象的对称轴是直线 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C.当时,y随x的增大而减小 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 3、(2024 黑龙江绥化 中考真题)二次函数的部分图象如图所示,对称轴为直线,则下列结论中: ① ②(m为任意实数) ③ ④若、是抛物线上不同的两个点,则.其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4、 4.(2024 四川广元 中考真题)如图,已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为,,且,,则下列结论: ①; ②方程有两个不相等的实数根; ③; ④; ⑤.其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5、(2024 湖北武汉 中考真题)抛物线(a,b,c是常数,)经过,两点,且.下列四个结论: ①; ②若,则; ③若,则关于x的一元二次方程 无实数解; ④点,在抛物线上,若,,总有,则. 其中正确的是 (填写序号). 6、如图,二次函数的图象与x轴负半轴交于,对称轴为,有以下结论:①;②;③若点,均在函数图象上,则;④对于任意实数m,都有.其中结论正确的有( ) A.1个 B.4个 C.3个 D.2个 7.已知二次函数y=﹣ax2+2ax+3(a>0),若点P(m,3)在该函数的图象上,且m≠0,则m的值为 . 8.一个二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上,且其对称轴左侧的部分是上升的,那么这个二次函数的解析式可以是 9.如图二次函数的图象与轴交于点A(-3,0),B(1,0)两点,与轴交于点C(0,3),点C,D是二次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象经过B,D (1)求二次函数的解析式; (2)写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围; (3)若直线与轴的交点为点,连结,,求的面积 10.如图,抛物线的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点,该抛物线的顶点C的坐标为. (1)求该抛物线的表达式; (2)若点E为该抛物线的对称轴上的一个动点,在什么情况下,的周长最小; 知识模块4 六、二次函数与二元一次方程 一般地,二次函数的图象与x轴交点个数与一元二次方程的根的个数有如下关系: (1) 如果二次函数的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程有_实数根; (2) 如果二次函数的图象与x轴有且只有一个公共点,那么一元二次方程有_实数根; (3) 如果二次函数的图象与x轴没有公共点,那么一元二次方程有_实数根。 反之,根据一元二次方程的根的情况,可以知道二次函数的图形与x轴的交点情况。 七、二次函数与一元二次不等式的关系 设抛物线与x轴交点坐标为且 当时,一元二次不等式的解集为或;一元二次不等式的解集为 当时,一元二次不等式的解集为;一元二次不等式的解集为或 1.(2024 吉林长春 中考真题)若抛物线(是常数)与轴没有交点,则的取值范围是 . 2.(2023•霍林郭勒市模拟)若函数y=mx2+(m+2)xm+1的图象与x轴只有一个交点,那么m的值为 . 3.如图是二次函数(,a,b,c为常数)的部分图象,该图象的对称轴是直线,与轴的一个交点的坐标是,则方程的解是( ) A., B., C., D., 4.在平面直角坐标系中,抛物线如图所示,则关于的方程根的情况为( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法准确判断 5.二次函数v的图象如图所示,则函数值时,x的取值范围是( ) A. B. C. D.或 6.小星利用表格中的数据,估算一元二次方程的根, x … 0 1.1 1.2 1.3 1.4 … … -2 -0.68 -0.32 0.08 0.52 … 由此可以确定,方程的一个根的大致范围是( ) A. B. C. D. 7.若抛物线与轴分别交于、两点,则的长为 . 8.如图是二次函数的部分图象,由图象可知不等式的解是 . 9.如图,抛物线与直线交于,两点,则不等式的解集是 . 10.如图,直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0),B(3,2). (1)求m的值和抛物线的解析式; (2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集.(直接写出答案) 11.请阅读下列解题过程: 解一元二次不等式:x2-5x>0. 解:设x2-5x=0,解得:x1=0,x2=5,则抛物线y=x2-5x与x轴的交点坐标为(0,0)和(5,0).画出二次函数y=x2-5x的大致图象(如图所示).由图象可知:当x<0或x>5时函数图象位于x轴上方,此时y>0,即x2-5x>0. 所以一元二次不等式x2-5x>0的解集为:x<0或x>5. 通过对上述解题过程的学习,按其解题的思路和方法解答下列问题: (1)上述解题过程中,渗透了下列数学思想中的 和 .(只填序号) ①转化思想;②分类讨论思想;③数形结合思想. (2)用类似的方法解一元二次不等式:x2-2x-3<0. 知识模块5 二次函数的应用: 1.利用平面直角坐标系二次函数模型,利用二次函数求解实际问题,以及求解实际问题的最大值或最小值 1.2023年杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人,由琮琮、莲莲、宸宸共同组成“江南忆”组合,“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆,最忆是杭州”,融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因.三个吉祥物造型形象生动,深受大家的喜爱,某商店以每件38元的价格购进吉祥物造型的钥匙扣,以每件66元的价格出售,经统计,7月份的销售量为256件,9月份的销售量为400件. (1)求该款钥匙扣7月份到9月份销售量的月平均增长率; (2)从10月份起,商场决定采用降价促销的方式回馈顾客,根据销售经验预测,该钥匙扣每降价1元,月销售量就会增加20件.当该钥匙扣售价为多少元时,月销售利润最大,最大利润是多少元? 2、某企业计划每天生产甲、乙两种品牌的电器分别为台和台,且当天生产的电器均能在市场上售出.根据市场调查反馈,在一段时间内乙电器的需求量较大,该企业决定在保持目生产总量不变的条件下,每天增加生产乙电器台,这样发现:日销售两种电器的总利润元与台满足如下函数关系式:,在生产销售过程中,还可以获得如下数据: 台 台 (1)求、的值; (2)若实际每天生产乙种电器的台数不低于甲种电器的倍,求的最大值. (3)若在生产过程中,每台电器均可以节约元为整数的成本,设此时日销售总利润为元,该企业的财务部门,经过核算发现.当大于元时,有种不同的生产方案,求的值. 3.(2024 湖北 中考真题)学校要建一个矩形花圃,其中一边靠墙,另外三边用篱笆围成.已知墙长42m,篱笆长.设垂直于墙的边长为米,平行于墙的边为米,围成的矩形面积为. (1)求与与的关系式. (2)围成的矩形花圃面积能否为,若能,求出的值. 4.(2024 四川内江 中考真题)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元,某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中,该商家发现猪肉粽每盒售价52元时,可售出180盒;每盒售价提高1元时,少售出10盒. (1)求这两种粽子的进价; (2)设猪肉粽每盒售价元,表示该商家销售猪肉粽的利润(单位:元),求关于的函数表达式并求出的最大值. 5.(2024 贵州 中考真题)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售,经市场调查发现:销售单价不低于进价时,日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系,下表是y与x的几组对应值. 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式; (2)糖果销售单价定为多少元时,所获日销售利润最大,最大利润是多少? (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品,赠送礼品后,为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元,求m的值. 6.某宾馆拥有客房100间,经营中发现:每天入住的客房数y(间)与房价x(元)(180≤x≤300)满足一次函数关系,部分对应值如下表: x(元) 180 260[来源:学科网ZXXK] 280 300 y(间) 100 60 50 40 (1) 求y与x之间的函数表达式; (2) 已知每间入住的客房,宾馆每日需支出各种费用100元;每间空置的客房,宾馆每日需支出60元。当房价为多少元时,宾馆当日利润最大?求出最大利润。(宾馆当日利润=当日房费收入-当日支出) 7.如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥,按如图所示建立坐标系,得到函数,在正常水位时水面宽AB=30米,当水位上升5米时,则水面宽CD=( ) A.20米 B.15米 C.10米 D.8米 8.如图,隧道的截面由抛物线BEC和矩形ABCD构成,矩形的长AD为8m,宽AB为2m,以AD所在直线为x轴,线段AD的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,抛物线顶点E到坐标原点O的距离为5m. (1)求这条抛物线的解析式; (2)如果隧道是双向通道,现有一辆货车高3.6m,宽2.4m,这辆货车能否通过该隧道?请通过计算进行说明. 9.如图,一位篮球运动员投篮时,球从A点出手后沿抛物线行进,篮球出手后距离地面的高度y(m)与篮球距离出手点的水平距离(m)之间的函数关系式是y(x)2.下列说法正确的是 ① (填序号). ①篮球行进过程中距离地面的最大高度为3.5m; ②篮球出手点距离地面的高度为2.25m. 10.如图,不考虑空气阻力,以一定的速度将小球沿斜上方击出时,小球飞行的高度是飞行时间的二次函数.现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球,小球在各自击出后2秒到达相同的最大飞行高度,若整个过程中,保持空中始终有1或2个小球(不考虑小球落地后再弹起),则t的取值范围是( ) A.0<t<2 B.2≤t<4 C.1≤t<3 D.3≤t<5 10.某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼,由销售经验可知,这种淡水鱼的日销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)(30≤x<60)存在一次函数关系,部分数据如表所示: 销售价格x(元/千克) 50 40 日销售量y(千克) 100 200 (1)试求出y关于x的函数表达式. (2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元,如果不考虑其他因素,求当销售价格x为多少时,日销售利润W最大?最大的日销售利润是多少元? 11.某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售,销售价格不低于22元/kg,不高于45元/kg.经市场调查发现每天的销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间的函数关系如图所示. (1)求y关于x的函数表达式; (2)当销售价格定为多少时,该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大?最大销售利润是多少?【销售利润=(销售价格﹣采购价格) 销售量】 12.如图是一款抛物线型落地灯筒示意图,防滑螺母C为抛物线支架的最高点,灯罩D距离地面1.5米,最高点C距灯柱的水平距离为1.6米,灯柱AB=1.5米,若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几到灯柱的距离AE为多少米( ) A.3.2 B.0.32 C.2.5 D.1.6 13.为了使居住环境更加美观,某小区建造了一个小型喷泉,水流从地面上的点O喷出,在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面,某方向上抛物线的形状如图所示,落点A到点O的距离为4,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数关系式,则水流喷出的最大高度为( ) A. B.5m C. D.6m 15. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题,请解答这道题. 如图,在平面直角坐标系中,一个单位长度代表1m长.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包(看成点)抛出,其运动路线为抛物线C1:y=a(x﹣3)2+2 的一部分,淇淇恰在点B(0,c)处接住,然后跳起将沙包回传,其运动路线为抛物线C2:的一部分. (1)写出C1的最高点坐标,并求a,c的值; (2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上,且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包,求符合条件的n的整数值. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $$