第05讲 用空间向量研究距离、夹角问题（2个知识点+3种题型+过关检测）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第05讲 用空间向量研究距离、夹角问题（2个知识点+3种题型+过关检测） 知识点1：用向量法求空间距离 一、点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. 注意点： 如果两条直线l，m互相平行，可在其中一条直线l上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到直线m的距离求解 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的单位方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 二、点、直线、平面到平面的距离 点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ＝. 注意点： (1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 用向量法求点面距离的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)． (4)求距离d＝. 知识点2：用向量法求空间角 一、两异面直线所成的角 若异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝. 注意点： 两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 求异面直线所成角的步骤 (1)确定两条异面直线的方向向量． (2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值． (3)得出两条异面直线所成的角． 二、直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. 注意点： (1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角． (2)线面角的范围为. (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 利用平面的法向量求直线与平面所成角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量u. (3)求平面的法向量n. (4)设线面角为θ，则sin θ＝. 三、两个平面的夹角 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝. 注意点： (1)求两平面的夹角问题转化为两平面法向量的夹角问题． (2)两平面的夹角的范围是. (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念． 求两平面夹角的两种方法 (1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同． (2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉. 题型1：利用空间向量求空间距离 【例题1】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·江苏泰州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若点到平面的距离为，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知空间直角坐标系中的三点、、，则点A到直线BC的距离为 ． 【变式3】（21-22高二上·安徽芜湖·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点．    (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 题型2：利用空间向量求空间角 【例题2】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）直线的方向向量与共线，平面的一个法向量为，则直线和平面的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·广东中山·期中）如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，，分别为母线、的中点，则异面直线和所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·上海·随堂练习）若平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，则平面α与平面β所成的锐二面角的余弦值为 ． 【变式3】（23-24高二上·安徽合肥·期中）在正方体中，已知为中点，如图所示．    (1)求证：平面 (2)求异面直线与夹角大小． 题型3：空间角的探索性问题 【例题3】（23-24高二上·北京顺义·期中）如图，在正方体中，点是线段的中点，点是线段上的动点，下列结论中错误的是（    ）    A．对于任意的点，均有 B．存在点，使得平面 C．存在点，使得与所成角是 D．不存在点，使得与平面的所成角是 【变式1】（23-24高二上·山东青岛·期末）如图，在底面是菱形的四棱锥中，底面分别在梭上，为的中点.    (1)若为中点，证明：面； (2)若，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式2】（23-24高二下·江苏连云港·期中）在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点． (1)点到平面的距离； (2)若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由． 【变式3】（23-24高二上·湖南郴州·期末）如图，在正三棱柱中，底面为的中点，为上一个动点. (1)若为靠近点线段的三等分点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角等于？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知空间向量，，则B点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江宁波·期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为2的正方体中，直线与之间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 3．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知平面的一个法向量为，点在平面内．若点P的坐标为，则直线PA与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东江门·阶段练习）直线l过点，，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 5．（23-24高二上·山东日照·期末）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D．1 6．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 7．（22-23高二上·北京·期中）如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，已知，，垂足，为两个不同的点，且，设直线与所成的角为，二面角的大小为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论错误的是（    ） A．直线与所成的角不可能是 B．当时，点到平面的距离为 C．当时， D．若,则二面角的平面角的正弦值为 二、多选题 9．（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中（    ） A．与的夹角为 B．平面与平面夹角的正切值为 C．与平面所成角的正切值 D．点到平面的距离为 10．（23-24高二上·贵州安顺·阶段练习）设，分别是直线，的方向向量，，分别是平面，的一个法向量，则（    ） A．若，则 B．若，，且，则与的夹角为 C．若，则直线与平面所成的角为 D．若，且，则 11．（23-24高二·河北衡水·期末）如图所示，已知正方体的边长为2，E、F、G、H分别为、BC、CD、的中点，则下列结论正确的是（    ）    A． B．平面AEF C．点到平面AEF的距离为2 D．二面角的大小为 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正方体的棱长为2，E、F分别为上底面和侧面的中心，则点D到平面的距离为 ． 13．（24-25高二上·上海·随堂练习）在长方体中，已知异面直线与AD，与AB所成角的大小分别为60°和45°，则直线和平面所成的角的余弦值为 ． 14．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形．平面，且，则平面与平面所成的角的大小为 ． 四、解答题 15．（24-25高二·上海·随堂练习）如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥，其中． (1)求证：； (2)求点B到平面的距离． 16．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知在棱长为4的正方体中，.    (1)求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离； (3)在此正方体中，，则称线段的长为异面直线与的公垂线段长，也称为异面直线与的距离.试求异面直线与的距离. 17．（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）如图，已知菱形中，，直角梯形中，，，，分别为中点，平面平面. (1)求证：平面； (2)异面直线与所成角的余弦值大小； (3)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 18．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且. (1)证明：； (2)当取何值时，直线与平面所成角最小? (3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 19．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图1，，，且，D是中点，沿将折起到的位置（如图2），使得． (1)求证：面面； (2)若线段上存在一点M，使得平面与平面夹角的余弦值是，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 用空间向量研究距离、夹角问题（2个知识点+3种题型+过关检测） 知识点1：用向量法求空间距离 一、点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. 注意点： 如果两条直线l，m互相平行，可在其中一条直线l上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到直线m的距离求解 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的单位方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 二、点、直线、平面到平面的距离 点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ＝. 注意点： (1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 用向量法求点面距离的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)． (4)求距离d＝. 知识点2：用向量法求空间角 一、两异面直线所成的角 若异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝. 注意点： 两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 求异面直线所成角的步骤 (1)确定两条异面直线的方向向量． (2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值． (3)得出两条异面直线所成的角． 二、直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. 注意点： (1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角． (2)线面角的范围为. (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 利用平面的法向量求直线与平面所成角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量u. (3)求平面的法向量n. (4)设线面角为θ，则sin θ＝. 三、两个平面的夹角 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝. 注意点： (1)求两平面的夹角问题转化为两平面法向量的夹角问题． (2)两平面的夹角的范围是. (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念． 求两平面夹角的两种方法 (1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同． (2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉. 题型1：利用空间向量求空间距离 【例题1】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量法求出点到直线距离即可. 【详解】，， . 故选：A. 【变式1】（23-24高二下·江苏泰州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若点到平面的距离为，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点到平面距离的向量求法逐项检验可得答案. 【详解】对于A，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故A错误； 对于B，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故B错误；     对于C，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故C错误；     对于D，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故D正确. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知空间直角坐标系中的三点、、，则点A到直线BC的距离为 ． 【答案】/ 【分析】求出直线的方向向量，再利用点到直线距离公式计算即得. 【详解】依题意，， 所以点A到直线BC的距离. 故答案为： 【变式3】（21-22高二上·安徽芜湖·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点．    (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可求解； （2）结合直线到平面的距离公式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）   ，，． 又，，平面， 面ABCD， 故建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，， ，，， 设为面PEF的法向量，， 令，则，，，， 设点D到平面PEF的距离为d，则． （2）因为，平面，平面， 所以平面，所以直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离， 设点A到平面PEF的距离为，，则 题型2：利用空间向量求空间角 【例题2】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）直线的方向向量与共线，平面的一个法向量为，则直线和平面的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量求出直线与平面夹角的正弦即可. 【详解】设直线和平面的夹角为，则， 所以直线和平面的夹角的余弦值是. 故选：B 【变式1】（23-24高二上·广东中山·期中）如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，，分别为母线、的中点，则异面直线和所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出，，利用线线角的向量法，即可求出结果. 【详解】取中点，连接，如图，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则, 又，分别为母线、的中点，所以， 则，， 设异面直线和所成角的， 则，又，所以. 故选：C 【变式2】（24-25高二上·上海·随堂练习）若平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，则平面α与平面β所成的锐二面角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】根据二面角的向量求法计算即可. 【详解】设平面α与平面β所成的锐二面角为， 则, 所以平面α与平面β所成的锐二面角的余弦值为， 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·安徽合肥·期中）在正方体中，已知为中点，如图所示．    (1)求证：平面 (2)求异面直线与夹角大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行即可； （2）利用向量法求异面直线的夹角. 【详解】（1）在正方体中，因为，，两两垂直， 故以为原点，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系如图：    不妨设正方体的棱长为1， 则， 故，，， 设平面的一个法向量为， 由，得， 令，则，所以． 从而， 又平面，所以平面. （2）设、分别为直线与的方向向量， 则由， 得, 所以， 所以两异面直线与的夹角的大小为 题型3：空间角的探索性问题 【例题3】（23-24高二上·北京顺义·期中）如图，在正方体中，点是线段的中点，点是线段上的动点，下列结论中错误的是（    ）    A．对于任意的点，均有 B．存在点，使得平面 C．存在点，使得与所成角是 D．不存在点，使得与平面的所成角是 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量研究空间中线线、线面关系即可. 【详解】设正方体棱长为，如图所示建立空间直角坐标系， 则,    设， 则，， 所以，故A正确； 易知平面的一个法向量为， 则，即点是线段的中点时， 满足平面，故B正确； 由上可知， 所以当， 即时，使得与所成角是，故C正确； 由上可知，设平面的一个法向量为， 则有，令，即， 若与平面的所成角是， 则有， 即存在点，使得与平面的所成角是，故D错误. 故选：D 【变式1】（23-24高二上·山东青岛·期末）如图，在底面是菱形的四棱锥中，底面分别在梭上，为的中点.    (1)若为中点，证明：面； (2)若，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，且或 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用法向量证明线面平行即可； （2）设，利用向量法求出求出线面角的正弦，由正弦值得出参数，即可得解. 【详解】（1），所以为等边三角形， 为中点，， 又，所以 以为原点，分别头轴，建立空间直角坐标系，如图，    则 ， 设平面的一个法向量， 则，，令，可得， ，， 又面，面. （2）设， 则, , 设平面的法向量， 则，即， 令，得平面的一个法向量， 设与平面所成的角为， 则， 解得或， 即存在点，且或 【变式2】（23-24高二下·江苏连云港·期中）在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点． (1)点到平面的距离； (2)若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点在处或在靠近的三等分点处 【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量后利用点面距公式可求点到平面的距离； （2）求出直线与的方向向量后可求它们夹角的余弦值； （3）设，求出面和平面法向量后利用夹角公式可求参数的值，从而可得所求的位置关系. 【详解】（1）过作直线平面， 则可以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有，，，，，， 则，， 设面的一个法向量为，则， 令，则，，所以， 所以点到面的距离. （2）因为为的中点，所以，所以，， 所以 所以异面直线与AE所成角的余弦值为． （3）设，其中， 则，， 设面的一个法向量为， 则有，令，则，， 所以，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 所以， 若存在点，使得二面角的余弦值为， 则，所以，解得或， 故存在或满足题意，即存在点在处或在靠近的三等分点处． 另解： 连接，则，易得，所以， 又平面，， 所以，，所以两两互相垂直， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，，则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，，所以， 同理可得平面的一个法向量， 所以，即， 解得或，所以存在点在处或在靠近的三等分点处 【变式3】（23-24高二上·湖南郴州·期末）如图，在正三棱柱中，底面为的中点，为上一个动点. (1)若为靠近点线段的三等分点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角等于？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由平面，得，由三角形内角和得，然后根据线面垂直的判定可得. （2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决. 【详解】（1）证明如图，连接，因为为正三棱柱， 所以为正三角形， 又因为为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，所以平面， 所以. 因为底面，解得：，所以， 所以在直角中，， 在直角中，， 所以，即，又平面， 所以平面， （2）假设存在点满足条件，设. 取的中点，连接，则平面，所以， 分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，， 令，得， 同理，设平面的一个法向量为， 则，， 令， 所以. 所以， 所以，所以无解. 故不存在点，使平面与平面的夹角等于. 一、单选题 1．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知空间向量，，则B点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点到直线的空间向量距离公式求出答案. 【详解】，，故在上的投影向量的模为， 故B点到直线的距离为. 故选：A 2．（23-24高二上·浙江宁波·期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为2的正方体中，直线与之间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】建系，求利用空间向量设两条直线上的点为，根据题意结合空间中的两点间距离公式运算求解. 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则， 可得， 设，则， 可得，即， 故， 同理可得：， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 对，当且仅当时，等号成立， 故，当且仅当，即时等号成立， 即直线与之间的距离是. 故选：B    【点睛】方法点睛：利用空间直角坐标系处理问题的基本步骤： （1）建立适合的坐标系并标点； （2）将图形关系转化为数量关系； （3）代入相应的公式分析运算. 3．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知平面的一个法向量为，点在平面内．若点P的坐标为，则直线PA与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面夹角的向量表示运算求解. 【详解】由题得，则， 设直线PA与平面所成的角为，则， 因为，所以． 故选：B． 4．（23-24高二上·广东江门·阶段练习）直线l过点，，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据空间中点到线的距离公式求解即可. 【详解】因为，，，故，. 故在方向上的投影， 则点到直线l的距离为. 故选：C 5．（23-24高二上·山东日照·期末）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出平面的法向量，由即可求解. 【详解】由题意以为原点，所在直线分别为轴所在直线建立如图所示的空间直角坐标系： 所以， 所以， 不妨设平面的法向量为， 则，令，解得，即取平面的法向量为， 所以点到平面的距离为. 故选：A. 6．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角的向量公式代入即可求解． 【详解】如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．    设，则,0,，,1,，,0,，,1,， 所以，，， 设平面的法向量为,,， 由，令，则， 所以，设直线与平面所成的角为， ， 所以直线与平面所成的正弦值为． 故选：C． 7．（22-23高二上·北京·期中）如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，已知，，垂足，为两个不同的点，且，设直线与所成的角为，二面角的大小为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由直线与直线夹角和二面角的范围求解即可. 【详解】由题意可知，， . 且由图可知二面角为锐角，. 故选：A 8．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论错误的是（    ） A．直线与所成的角不可能是 B．当时，点到平面的距离为 C．当时， D．若,则二面角的平面角的正弦值为 【答案】D 【分析】建立如图的空间直角坐标系，利用反证法可判断A的正误，利用空间中的距离公式计算BC后可判断它们的正误，利用向量法可求面面角的余弦值后结合同角的三角函数基本关系式计算后可判断D的正误. 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 对于A，设，故， 故，而， 设直线与所成的角为，则， 若直线与所成的角是，则， 整理得到：，此方程在上无实数解， 故直线与所成的角不可能是，故A正确. 对于B，当时，结合A中分析可得，故， 故，而，设平面的法向量为， 则即，取，则，， 故， 又，故到平面的距离为， 故B正确. 对于C，当时，又B的分析可得，故， 故，故C正确. 对于D，当时，结合的分析可得，此时， 故，而，设此时平面的法向量为， 则即，取，则，， 故， 又，， 设平面的法向量为， 则即，取，则，， 故， 故，故二面角的平面角的正弦值为， 故D错误. 故选：D. 【点睛】方法点睛：立体几何中，与角、距离等有关的计算，可以利用综合法构造几何对象并利用解三角形的方法进行相关的计算，也可以利用几何体的特征构建空间直角坐标系，把角、距离的计算问题归结向量的坐标运算. 二、多选题 9．（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中（    ） A．与的夹角为 B．平面与平面夹角的正切值为 C．与平面所成角的正切值 D．点到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】如图，以为原点，所在有直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量逐个求解判断即可. 【详解】如图，以为原点，所在有直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 对于A，设与的夹角为，因为，， 所以， 因为，所以，所以A错误， 对于B，设平面的法向量为， 因为，, 所以，令，则， 因为平面， 平面的一个法向量为， 所以， 设平面与平面夹角为（为锐角），则， 所以，所以， 所以平面与平面夹角的正切值为，所以B正确， 对于C，，平面的法向量为， 设与平面所成角为，则 因为为锐角，所以， 所以， 所以与平面所成角的正切值，所以C正确， 对于D，因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离为 ，所以D正确， 故选：BCD 10．（23-24高二上·贵州安顺·阶段练习）设，分别是直线，的方向向量，，分别是平面，的一个法向量，则（    ） A．若，则 B．若，，且，则与的夹角为 C．若，则直线与平面所成的角为 D．若，且，则 【答案】AC 【分析】利用直线方向向量与平面法向量的位置关系，逐一分析各选项即可得解. 【详解】，分别是直线，的方向向量，，分别是平面，的一个法向量， 对于A，易知若，则，故A正确； 对于B，由，可知，直线，， 显然当与平行时，直线可以满足，故B错误； 对于C，当时，直线与平面所成的角为，故C正确； 对于D，若， 则直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为， 又，则直线所成角可以为，即直线与不平行，故D错误. 故选：AC. 11．（23-24高二·河北衡水·期末）如图所示，已知正方体的边长为2，E、F、G、H分别为、BC、CD、的中点，则下列结论正确的是（    ）    A． B．平面AEF C．点到平面AEF的距离为2 D．二面角的大小为 【答案】ABC 【分析】建系标点，对于AB：利用空间向量判断空间中线、面关系；对于C：利用空间向量求点到面的距离；对于D：利用空间向量求二面角. 【详解】以D为原点，DA，DC，所在直线分别为为x，y，z轴所在直线，建立空间直角坐标系，    则,,,,,,,，， 对于选项A：可得,． 因为，则，故A正确； 对于选项B：可得，， 设为平面AEF的一个法向量，则， 令，则，可得， 因为，即， 且平面AEF，所以平面AEF，故B正确； 对于选项C：因为， 所以点到平面AEF的距离为，故C正确； 对于选项D：由题意可知：是平面AFC的一个法向量， 则， 所以二面角的大小不是，所以D不正确． 故选：ABC. 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正方体的棱长为2，E、F分别为上底面和侧面的中心，则点D到平面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法得出点到平面的距离． 【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， 则有，，， 设平面的法向量为， 则， 可取， 所以点到平面的距离为． 故答案为：． 13．（24-25高二上·上海·随堂练习）在长方体中，已知异面直线与AD，与AB所成角的大小分别为60°和45°，则直线和平面所成的角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】设，由题意求出长方体的棱，的长，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【详解】设，，，则， 由于，所以异面直线与AD所成角为，而，从而， 由于，所以异面直线与AB所成角为，从而， 所以，． 如图，以D为原点，分别以DA、DC、所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，    则，，，，， ，，． 设平面的法向量为， 则，取， 所以直线和平面所成的角的正弦值为， 从而直线和平面所成的角的余弦值为． 故答案为： 14．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形．平面，且，则平面与平面所成的角的大小为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求平面与平面所成的角的大小. 【详解】 因为平面，底面为正方形，， 所以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 由题知，平面PAD的法向量为， 设平面PBC的法向量为， 则，令，则， 所以， 设平面与平面所成的角为，则， 又，所以， 所以平面与平面所成的角的大小为， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二·上海·随堂练习）如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥，其中． (1)求证：； (2)求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理求得，结合已知条件得，从而，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论； （2）取中点，则．以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解即可． 【详解】（1）连接， 因为在等腰直角三角形中，， 在中，，同理得， 因为， 所以，所以 所以平面， 所以平面． （2）取中点，则， 以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为，， 所以，令，则，则， 又，， 所以点到平面的距离为． 16．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知在棱长为4的正方体中，.    (1)求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离； (3)在此正方体中，，则称线段的长为异面直线与的公垂线段长，也称为异面直线与的距离.试求异面直线与的距离. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】建立空间直角坐标系，然后运用点到线，点到面，线线之间的距离公式求解即可. 【详解】（1）   如图根据正方体性质，可以如图建立空间直角坐标系，， 可以得到各点坐标．，，，，． ，，， 则点到直线的距离. （2），，， 设平面法向量为，则， 令，则，则. 则到平面的距离. （3），，， 设与的公垂线方向向量为.则， 解得，则. 则异面直线与的距离. 17．（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）如图，已知菱形中，，直角梯形中，，，，分别为中点，平面平面. (1)求证：平面； (2)异面直线与所成角的余弦值大小； (3)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据正三角形性质证明，即可根据面面垂直的性质定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出，的坐标，根据空间角的向量求法，即可求得答案； （3）假设线段上存在一点，确定平面的法向量，根据空间线面角的向量求法，结合直线与平面所成角的正弦值即可得出结论，继而求得的长. 【详解】（1）证明：连接AC，因为在菱形中，，所以为等边三角形， 因为为中点，所以 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面. （2）设H为EF的中点，连接OH，则； 因为平面平面，平面平面， 直角梯形中，，故,平面， 故平面，又平面， 所以，以点为坐标原点，以所在直线为轴，如图建立空间直角坐标系， 因为， 所以，，，，，，， 所以，， 所以， 而异面直线所成角的范围为大于小于等于， 故异面直线与所成角的余弦值为； （3）假设线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 设， 则， 由（1）知平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则，解得， 所以线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时. 18．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且. (1)证明：； (2)当取何值时，直线与平面所成角最小? (3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，点为上靠近的四等分点 【分析】（1）建系标点，利用空间向量证明线线垂直； （2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角，结合二次函数分析求解； （3）假设存在，利用空间向量处理面面夹角，列式求解即可. 【详解】（1）因为，，则，即， 如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系， 则， 可得，， 即，， 又因为，可得， 所以无论取何值，. （2）由（1）可知：， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，可得， 可得， 令，则， 所以当，即时，取得最小值，此时. （3）假设存在，易知平面的一个法向量为 因为，， 设是平面的一个法向量，则， 令，可得，可得， 则， 化简得，解得或， 因为，可得， 所以存在点使平面与平面所成二面角正弦值为，点为上靠近的四等分点. 19．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图1，，，且，D是中点，沿将折起到的位置（如图2），使得． (1)求证：面面； (2)若线段上存在一点M，使得平面与平面夹角的余弦值是，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）因为，，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面． （2）面面，面面， 故以D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，在平面内过D点作的垂线所在直线为z轴，建立空间直角坐标系． ， ，，， 则平面的一个法向量， 设，则， ， 设面的一个法向量为， ，即， 令，得， 平面与平面夹角记为， 则，解得． 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$