5.3　抛物线的标准方程和性质教案-2023-2024学年高二上学期语文版(2021)中职数学拓展模块一

5.3　抛物线的标准方程和性质 教学内容：抛物线的标准方程和性质 教学目标： 1．理解和掌握抛物线的标准方程和性质． 2．掌握抛物线的几何性质，在习题中灵活运用． 教学重难点： 重点：抛物线的标准方程和性质． 难点：灵活运用抛物线的定义和性质解决问题． 核心素养：数学抽象 教具准备：PPT 教学环节： 意图 复备 （一）引例导入 如图5-21所示，将一直尺固定在图板上，取一个直角三角板，将它的一条直角边靠紧直尺的一边l,再取一条与另一直角边等长的无伸缩性的细绳，一端固定在三角板的锐角顶点A处,另一端固定在图板上的F点，用笔尖紧靠三角板把绳拉紧，并将三角板靠紧直尺上下滑动，笔尖画出的图形就是抛物线. （二）抛物线的标准方程 从引例的画图过程中，不难看出： (1) 笔尖在不停地移动； (2) 在三角板的滑动过程屮,MF与MC的长度始终保持相等； (3) 点F和直尺的位置保持不变. 根据上面的分析，可以得到抛物线的定义： 平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. 在初中，我们学习过二次函数y=ax2+bx+ c(aO),它的图像就是抛物线.抛物线是我们经常接触到的图形，如向上抛出的一个物体所行进的路线.建筑中的拱 提出问题， 引例导入，为学习新知识打基础。 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。 教学环节： 意图 复备 桥有的就是抛物线形. 下面，我们根据抛物线的几何特征，选择适当的坐标系，来求抛物线的方程. 如图5-22所示，以过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，垂足为K,以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系. 设M(x,y)为抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，设|KF|=p，则焦点F的坐标为,准线l的方程为 根据抛物线的定义，点M满足条件|MF|=d. ∵|MF|=|, ∴| 两边平方，得-px++=+px+，化简，得. 这个方程叫作抛物线的标准方程，它所表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是，准线方程是 抛物线的焦点位置也可以分别设在x轴的负半轴，y轴的正半轴和y轴的负半轴上.因此，抛物线的标准方程有四种形式.其他三种形式如下： =-2px(p>0),=2py(p>0),=-2py(p>0). 现在把四种形式的抛物线的图形、标准方程、焦点坐标和准线方程汇总如下，见表5-4. 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。 教学环节： 意图 复备 （三）例题讲解 例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程. (1) y2=2x； (2) x2=-4y； (3) y=2； (4)x=-y2. 解：(1)由已知得，2p=2,则p=1,=，焦点在x轴正半轴, 所以，焦点坐标是(,0),准线方程是x=-. (2) 由已知得，2p=4,则p=2,=1,焦点在y轴负半轴,所以，焦点坐标是(0, -1)，准线方程是y=1. (3) 原方程化为x2=y.由于2p=，则p=，=，焦点在y轴正半轴, 所以，焦点坐标是(0,),准线方程是y=-. (4) 原方程化为y2=-x. 由于2p=1,则p=，=，焦点在x轴负半轴, 所以，焦点坐标是(-,0),准线方程是x=. 例2 求适合下列条件的抛物线的标准方程. （1） 焦点坐标是（-,0）；（2）准线方程是y = 3. 解：(1)由已知得，抛物线的焦点（-,0）在x轴的负半轴上，且p=3, 因此，所求抛物线的方程为 =-6x. （2）由已知得，抛物线的焦点在y轴负半轴上，且p=6, 因此，所求抛物线的方程为x2 =-12y. （四）抛物下的几何性质 类比讨论椭圆和双曲线的几何性质的方法，来研究抛物线y2=2px(p>0)的几何性质. （1） 范围. 由抛物线的标准方程可知，抛物线上任意一点的坐标(x,y)都满足 2px0，即x0，yR. 因此，抛物线在y轴的右侧.当x的值增大时，丨y丨的值增大，说明这个抛物线向右上方和右下方无限延伸. （2）对称性. 在抛物线的标准方程中，把y换成-y,方程不变， 巩固新知，通过例题深入理解。 类比讨论椭圆和双曲线的几何性质的方法，来研究抛物线y2=2px(p>0)的几何性质，解决教学重点。 教学环节： 意图 复备 说明这个抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫作抛物线的轴. （3）顶点. 在抛物线的标准方程中，令x=0,得y=0，可知这个抛物线与x轴的交点是(0, 0)，我们把这个点叫作抛物线的顶点. （4）离心率. 抛物线上的点M到焦点的距离与到准线的距离之比，叫作抛物线的离心率.由定义可知，e = l. （五）例题讲解 例3 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，且经过点M(-,),求这个抛物线的标准方程. 解：由已知条件，可设抛物线的标准方程为y2=-2px.因为点M(-,)在抛物线上，=-2p(-),解得p=3. 所以抛物线的标准方程为y2=-6x. 例4 如图5-23所示，一条直线经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且垂直于x轴，交抛物线于A, B两点，求线段AB的长. 解：在抛物线y2=2px(p>0)中，焦点坐标为F(,0).将x=代入方程y2=2px,得y=图5-23 即A, B的坐标分别为(, p), (,-p),因此，线段AB的长为|p-(-p)|=2p. 在抛物线y2=2px(p>0)中，过焦点且垂直于对称轴的直线，被抛物线所截得的线段叫作抛物线的通径，它的长度为2p,这就是在抛物线的标准方程中2p的一种几何意义.利用抛物线的几何性质和其通径的两个端点(,p), (，-p)，可以方便地画出反映抛物线基本特征的草图. 例5 要建一座抛物线形拱桥，其跨度为52米，高为6.5米.在建桥时, 需要在拱下每隔1米处竖一支柱(图5-24),求离桥中心线13米处的支柱MN的长.(精确到小数点后一位) 类比讨论椭圆和双曲线的几何性质的方法，来研究抛物线y2=2px(p>0)的几何性质，解决教学重点。 巩固新知，通过例题深入理解。 教学环节： 意图 复备 解：如图5-24所示，以抛物线形拱桥的轴为y轴，拱顶为顶点，建立直角坐标系.设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0). 将B点坐标(26,-6.5)代入上述方程，得 262 = -2p•(- 6.5), 解得p=52. 故所求抛物线方程为x2=-104y. 又设M点坐标为(13,)，代入方程，得132 =-104, 解得=-1.625. 所以|MN|=6.5-1.625=4.8754.9. 故支柱MN的长为4.9米. （六）深化练习 教材P180 练习三 （七）课堂小结 巩固新知，通过例题深入理解。 巩固新知。 总结归纳本节课内容，强调学习重难点。 作业： 板书设计： 学科网（北京）股份有限公司 $$