6.2　直线与平面平行的判定与性质教案-2023-2024学年高二下学期语文版(2021)中职数学拓展模块一

6.2　直线与平面平行的判定与性质 教学内容：直线、平面平行的判定与性质 教学目标： 1．通过实例，理解和掌握直线、平面平行的判定与性质． 2．培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力． 教学重难点： 重点：理解和掌握直线、平面平行的判定与性质． 难点：理解和掌握直线、平面平行的判定与性质． 核心素养：数学抽象 教具准备：PPT 教学环节： 意图 复备 （一）引例导入 在同一平面内，我们知道两条直线有相交和平行两种位置关系，那么在空间中,两条直线是不是也只有这两种位置关系呢？ 如图6-13所示，在高速公路上，我们经常会看到纵横交错的立交桥.桥上公路与桥下公路所在的两条直线既不平行又不相交.显然，这两条直线存在一种新的位置关系. （2） 直线与直线 思考：如图6-14所示，在正方体中，直线l1与l2的位置关系如何？直线l1与l3和直线l1与l4的位置关系如何？图6-14 通过观察，我们发现直线l1与l4既不相交也不平行，它们不同在任何一个平面内. 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线.这样，空间中两条直线有且只有以下三种位置关系： (1)相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点； （2）平行直线：在同一平面内，没有公共点； （3）异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. 其中，相交直线与平行直线又可叫作共面直线. 画异面直线时，为了显示它们不共面的特点，通常 提出问题， 引例导入，为学习新知识打基础。 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。 教学环节： 意图 复备 用一个或两个平面来衬托，如图6-15所示. 图6-15 在平面几何中，我们学过这样一个定理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.那么，在空间中，这个结论是否成立昵？ 思考：观察图6-16,在正方体ABCD-A'B'C'D'中 A'B'//AB, CD//AB, A'B'与CD平行吗? 显然，上面的定理在空间中仍然成立，我们把它称为公理. 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 这个公理表明，平行于空间一条已知直线的所有直线都互相平行.它给出了判断空间两条直线平行的依据. 公理4表述的性质叫作空间平行线的传递性. （3） 例题讲解 例1 如图6-17所示，在空间四边形ABCD中， E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.试说明四边形EFGH是一个平行四边形. 分析：我们知道，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.因此，只要得到EH//FG, 且EH=FG即可.因为E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，所以EH，FG分别是△ABD和△CBD的中位线. 解：连结BD,图6-17 ∵EH是△ABD的中位线， ∴EH//BD，且EH=BD. 同理,FG//BD,且FG=BD. ∴EH//FG,且EH=FG， ∴四边形EFGH是平行四边形图 6-17 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。 巩固新知，通过例题深入理解。 教学环节： 意图 复备 在平面几何中，我们知道“如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”.在空间中，这个结论是否仍然成立昵？ 思考：观察图6-18,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何? 从图6-18中我们很容易得到： ∠ADC=∠A'D'C', ∠ADC+∠A'B'C'=180°图6-18 因此，我们有以下定理： 定理 一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补. （4） 直线与直线所成的角 在初中，我们学习了平面内两条直线的夹角的概念，它刻画了一条直线相对于另一条直线的倾斜程度. 在空间中，两条异面直线之间的倾斜程度又该怎样刻画呢？ 为此，我们引入“两条异面直线所成的角”这一概念. 如图6-22 (1)和图6-22 (2)所示，已知两条异面直线a与b，经过空间任意一点O作直线a'// a，b'//b，我们把a'与b'所成的锐角(或直角)叫作两条异面直线a与b所成的角. 为了简便，我们经常将点O取在两条异面直线中的一条上，见图6-22 (3). 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们 /两条直线互相垂直 就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b . 显然，两条异面直线所成的角的变化范围是0°<90°. （5） 直线与平面 思考：如图6-25所示，在长方体ABCD-A'B'C'D' 中，线段BB'所在的直线与长方体的六个面所在的平面有哪些位置关系？图6-25 巩固新知，通过例题深入理解。 根据初中所学，引入“两条异面直线所成的角”这一概念，学习新知。 教学环节： 意图 复备 通过观察，我们可以发现直线与平面的位置关系有以下三种： （1）直线在平面内：直线与平面有无数个公共点，如直线B'B在平面BCC'B'内，也在平面A'ABB'内. （2）直线与平面相交：直线与平面有且只有一个公共点，如直线B'B与平面ABCD相交于点B ,与平面A'B'C'D'相交于点B'. (3)直线与平面平行：直线与平面没有公共点，如直线B'B与平面 ADD'A'平行，也与平面DCC'D'平行. 其中，直线与平面相交或平行统称为直线在平面外. 直线与平面的三种位置关系如图6-26所示，其中直线a与平面a相交于点A,记作aa=A ；直线a与平面a平行，记作a//a. （1） 图6-26 直线与平面平行是一种很重要的关系，它在实际生活中的应用非常广泛. 那么，我们怎样判定直线与平面平行昵？ 观察教室中的门，显然，门扇的两边是平行的.在门扇绕着一边转动的过程中，另一边始终与门框所在的平面没有交点，即给人一种平行的印象. 一般地，我们有下面的直线与平面平行的判定定理. 如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行. 由判定定理可知，对于直线与平面平行这样的空间问题，可以转化为直线与直线之间平行的平面问题来解决. （6） 例题讲解 例2 如图6-28所示，已知空间四边形ABCD, E, F分别是AB , AD的中点.根据判定定理说明：EF//平面BCD. 分析：根据直线与平面平行的判定定理可知，要判 巩固新知，通过例题深入理解。 教学环节： 意图 复备 定EF//平面BCD，只要证明EF与平面BCD内的一条直线平行即可.而EF是△ABD的中位线，所以EF//BD. 解：连结BD, ∵AE=EB, AF=FD, ∴EF//BD. ∵EF⊄平面BCD,BD⫋平面BCD，图6-28 由直线与平面平行的判定定理可知，EF//平面BCD. 由于直线a与平面α平行，因此直线a与平面α没有公共点.这样,平面α内的直线与平面α外的直线a只能是平行直线或者是异面直线. 在什么条件下，平面α内的直线与直线a平行昵？由例2,我们可以得到直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 这个性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，因此它给出了一种作平行线的重要方法. 例3在图6-29所示的一块木料中，棱BC平行于平面A1B1C1D1,要经过平面A1B1C1D1内一点P和直线BC将木料锯开，应怎样画线？ 分析：由于BC//平面A1B1C1D1,平面A1B1C1D1平面BCC1B1=B1C1,从而BC//B1C1，因此问题转化成在平面A1B1C1D1内过点P作一直线EF与B1C1平行，由EF//BC就可以确定平面BCFE,沿此平面将木料锯开就可满足要求. 解：在平面A1B1C1D1内，过点P画直线EF, 使 EF//B1C1, EF分别交棱A1B1, C1D1于点 E,F. 连结BE,CF,则EF,BE,CF就是应画的线.图6-29 （7） 平面与平面 观察教室的天花板与地面，它们所在的平面无论怎样延展，都不会有公共点，而墙面与地面则相交于一条直线. 由此反映出空间不重合的两个平面之间的位置关系有且只有以下两种： (1)两个平面平行：两个平面没有公共点. (2)两个平面相交：两个平面有且只有一条公共直线. 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，如图6-32所示. 通过生活实际，观察周围事物，锻炼学生观察能力。 教学环节： 意图 复备 图6-32 平面与平面平行，记作.判定两个平面是否平行，关键在于判定它们有没有公共点.如果一个平面内的所有直线都与另一个平面平行，那么这两个平面一定平行.否则，这两个平面就会有公共点，并且有一条经过该点的公共直线，显然这条公共直线不平行于另一个平面. 如图6-33所示，在长方体ABCD- A'B'C'D'中，平面ABCD内的两条相交直线AC，BD分别与平面A'B'C'D'内的两条相交直线A'C',B'D'平行.由直线与平面平行的判定定理可知，相交直线AC，BD都与平面A'B'C'D'平行，所以平面ABCD平行于平面A'B'C'D'.图6-33 一般地，我们有下面的两个平面平行的判定定理:如果在一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行. 由判定定理可知，可以利用直线与平面平行来判定平面与平面平行. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的一条直线l与另一个平面内的任意一条直线有怎样的位置关系？如何在另一个平面内找一条与直线l平行的直线？ （8） 例题讲解 例4 如图6-35所示，已知平面满足. 求证：a//b. 分析：因为直线a,b分别在两个平行平面内，所以它们没有交点，又因为直线a,b同在平面内，由平行线的定义可得a//b. 证明：∵,图 6-35 ∴a⫋,又∵ ∴a, b没有公共点， 又∵a, b同在平面内, 巩固新知，通过例题深入理解。 教学环节： 意图 复备 ∴a//b. 由例4的条件和结论，我们得到两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线互相平行. 根据前面的讨论可知，利用直线与平面平行可以判定平面与平面平行；而由平面与平面平行的定义以及性质定理可以得出直线与平面平行、直线与直线平行.这便进一步揭示出直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化. （9） 深化练习 教材P208 习题二 （10） 课堂小结 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理 一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么 这两个角相等或者互补. 直线与平面品平行的判定定理:如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行. 两个平面平行的判定定理:如果在一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行. 巩固新知，通过例题深入理解。 巩固新知。 总结归纳本节课内容，强调学习重难点。 作业： 板书设计： 学科网（北京）股份有限公司 $$