精品解析：安徽省亳州市涡阳县蔚华中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

2023~2024春学期高二年级第三次月考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章~第七章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列是等差数列，若，则（ ） A. 14 B. 21 C. 28 D. 42 2. 展开式中的常数项为（ ） A. -20 B. -15 C. 15 D. 20 3. 设随机变量，若，则（ ） A B. C. D. 4. 已知随机变量，则（ ） 注：若，则. A. B. C. D. 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数至少有2个极值点 C. 函数在上单调递减 D. 函数在处取得极大值 6. 已知正项数列满足，的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 7. 2024年5月3日，嫦娥六号搭乘长征五号遥五运载火箭在海南文昌发射场发射升空，并进入地月转移轨道，发射任务圆满成功，由此开启了预计为期53天的全球首次月球背面取样返回之旅.某科研所有六位地质学家应邀去甲､乙､丙､丁四所中学开展月球土壤有关知识的科普活动，要求每所中学至少有一名地质学家，每名地质学家去一所中学，则不同的派遣方法的种数为（ ） A. 288 B. 376 C. 1560 D. 1520 8. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量X的数学期望，则 B. 若随机变量Y的方差，则 C. 将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布 D. 从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布 10 甲、乙、丙、丁4人每人随机选取VisualBasie、VisualC＋＋，VisualFoxpro三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习VisualBasic编程语言”；B表示事件“乙学习VisualBasic编程语言”；C表示事件“乙学习VisualC＋＋编程语言”，则（ ） A. 事件A与B相互独立 B. 事件A与C不是互斥事件 C. D. 11. 等差数列的前n项和为，公差为d，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则当时，最小 C. ， D. 若，d为整数，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的图象在点处的切线方程是，则__________. 13. 某食品加工厂生产一种食品的生产线有甲、乙、丙三个，其次品率分别为，假设这三个生产线的产量之比为，则从这三个生产线生产的食品中随机抽取1件食品为次品的概率为______． 14. 被除的余数是______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式，且． （1）求的展开式中的第5项； （2）求二项式系数最大的项． 16. 在等差数列中，是和的等比中项． （1）求的通项公式； （2）若，求的前n项和． 17. 某校准备从报名7位教师（其中男教师4人，女教师3人）中选3人去边区支教． （1）设所选3人中女教师的人数为X，写出X的分布列，求X的数学期望及方差； （2）若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率． 18. 为了迎接即将到来的生物实验操作考试，小李同学每天都要去实验室做两次实验.某天，他来到实验室，决定做实验或实验，已知小李同学做实验成功的概率为，做实验成功的概率为，假设每次做实验是否成功相互独立. （1）小李每次都随机等可能的从实验与实验中选择一个实验进行操作，求他两次实验恰好成功一次的概率； （2）小李同学决定进行2次实验操作，有以下两种方案， 方案一:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，若第一次实验成功，则第二次继续做第一次的实验，若第一次实验不成功，则第二次做另一个实验； 方案二:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，无论第一次实验是否成功，第二次都继续做第一次的实验. 若方案选择以及实验操作互不影响，以实验成功次数的期望值作为决策依据，你认为哪个方案更好? 19. 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的.“固点”.经研究发现所有的三次函数都有“固点”，且该“固点”也是函数的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知函数. （1）当时，试求的对称中心. （2）讨论单调性； （3）当时，有三个不相等的实数根，当取得最大值时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024春学期高二年级第三次月考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章~第七章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列是等差数列，若，则（ ） A. 14 B. 21 C. 28 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】由等差中项的性质即可求解. 【详解】因为数列是等差数列，所以，解得， 所以. 故选：B 2. 展开式中的常数项为（ ） A. -20 B. -15 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】写出二项展开通项，再令的指数为0，得到相应的项数，从而算出常数项. 【详解】因为的展开式通项公式为， 令，得，所以，即展开式的常数项为15. 故选：C. 3. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据二项分布方差的计算公式求，再根据求解. 【详解】由题意知，，解得， 所以. 故选：D 4. 已知随机变量，则（ ） 注：若，则. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质求出和即可求出. 【详解】因为，即，， 所以， ， 所以. 故选：C. 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数至少有2个极值点 C. 函数在上单调递减 D. 函数在处取得极大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据的图象判断其符号，进而可知的单调性和极值，结合选项分析判断即可. 【详解】由的图象可知：当或时，；当时，； 可知在，上单调递增，在上单调递减， 则函数有且仅有两个极值点， 结合选项可知：ABC正确；D错误； 故选：D. 6. 已知正项数列满足，的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由,得，由为正项数列，可得，得出数列是等比数列，且公比，设首项为，由等比数列的通项公式和前n项和公式，代入可得选项. 【详解】由,得，又为正项数列，所以，所以数列是等比数列，且公比，设首项为，则，，则. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，关键在于由已知的递推式，分解因式得出数列是等比数列，属于基础题. 7. 2024年5月3日，嫦娥六号搭乘长征五号遥五运载火箭在海南文昌发射场发射升空，并进入地月转移轨道，发射任务圆满成功，由此开启了预计为期53天的全球首次月球背面取样返回之旅.某科研所有六位地质学家应邀去甲､乙､丙､丁四所中学开展月球土壤有关知识的科普活动，要求每所中学至少有一名地质学家，每名地质学家去一所中学，则不同的派遣方法的种数为（ ） A. 288 B. 376 C. 1560 D. 1520 【答案】C 【解析】 【分析】先将六名科学家分成四组，分类讨论分组分法后再分配即可. 【详解】先将六位地质学家分为4组， 若分为的四组，有种分组方法， 若分为的四组，有种分组方法，则共有种分组方法； 再将4组分配到4所中学，有24种分派方法，则共有种不同的派遣方法. 故选：C 8. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，通过在上单调递减，列出不等式然后通过函数的最值求解实数的取值范围. 【详解】由题意知在上恒成立， 所以在上恒成立. 令，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递琙， 所以，所以，解得， 即的取值范围是. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量X的数学期望，则 B. 若随机变量Y的方差，则 C. 将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布 D. 从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的期望，方差的性质，可判断正确，错误；根据二项分布的概念可判断正确；根据超几何分布的概念可判断正确. 【详解】对于，因为，故正确； 对于，因为，故错误； 对于，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故正确； 对于，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故正确. 故选：. 10. 甲、乙、丙、丁4人每人随机选取VisualBasie、VisualC＋＋，VisualFoxpro三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习VisualBasic编程语言”；B表示事件“乙学习VisualBasic编程语言”；C表示事件“乙学习VisualC＋＋编程语言”，则（ ） A. 事件A与B相互独立 B. 事件A与C不是互斥事件 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由古典概率公式求出，再利用相互独立事件和互斥事件的定义判断A，B；用条件概率公式计算判断C，D. 【详解】4人选择3种编程语言之一，每种编程语言至少有1人学习，共有种安排方案， 甲学习VisualBasic编程语言、乙学习VisualBasic编程语言、乙学习VisualC+＋编程语言， 各有种方案，∴； 甲、乙均学习VisualBasic编程语言，有种方案，∴； 甲学习VisualBasic编程语言且乙学习VisualC＋＋编程语言，有种方案，∴， 对于A，∵，∴事件A与B不相互独立，故A错误； 对于B，∵，∴事件A与C不是互斥事件，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 11. 等差数列的前n项和为，公差为d，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则当时，最小 C. ， D. 若，d为整数，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，求得，对d进行分类讨论，结合数列的单调性，逐个判断即可判断出答案. 【详解】因为， 所以，即， 即 若，等差数列为递减数列， 则得，，则，故A正确; 若，等差数列为递增数列， 则，，则，最小，故B正确; 由，得，所以， 所以，，故C错误； 若，结合，知，则必有，则， 由，， 解得，又d为整数，所以，故D正确， 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的图象在点处的切线方程是，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用导数的几何意义得，将代入切线方程得 【详解】根据题意，函数的图象在点处的切线方程是，即，且，所以. 故答案：3 13. 某食品加工厂生产一种食品的生产线有甲、乙、丙三个，其次品率分别为，假设这三个生产线的产量之比为，则从这三个生产线生产的食品中随机抽取1件食品为次品的概率为______． 【答案】0.047## 【解析】 【分析】根据全概率公式可得结果. 【详解】记事件“B=选取的食品为次品”，记事件“=此件次品来自甲生产线”， 记事件“=此件次品来自乙生产线”，记事件“=此件次品来自丙生产线”， 由题意可得，，， ，，，由全概率的公式可得: ， 所以从这三条生产线上随机任意选取1件食品为次品的概率为0.047． 故答案为：0.047. 14. 被除的余数是______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得原式，再根据二项式的展开式计算可得. 【详解】 . 所以被除的余数是. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式，且． （1）求展开式中的第5项； （2）求的二项式系数最大的项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据组合数公式求，再利用二项展开式的通项公式求第5项； （2）根据（1）的结果可知，是最大的二项式系数，代入通项公式求解. 【小问1详解】 由，得，即，解得或（舍去）． 的二项式通项为， 当时，，所以的展开式中第5项为． 【小问2详解】 因为是中最大的，所以第4项的二项式系数最大， ，所以的二项式系数最大的项是． 16. 在等差数列中，是和的等比中项． （1）求的通项公式； （2）若，求的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比中项的性质得到方程解出公差则得到通项； （2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 设数列的公差为d,由，得, 因为是和的等比中项， 所以,化简，得, 解得,或（舍）， 所以． 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 两边同乘以，得， 两式相减，得 ， 所以． 17. 某校准备从报名的7位教师（其中男教师4人，女教师3人）中选3人去边区支教． （1）设所选3人中女教师的人数为X，写出X的分布列，求X的数学期望及方差； （2）若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率． 【答案】（1）分布列详见解析，，； （2） 【解析】 【分析】（1）确定X的所有可能取值，求出相应的概率，由此能求出X的分布列，E(X)和D(X)； （2）设事件A为“甲地是男教师”，事件B为“乙地是女教师”，利用条件概率公式，即可求出概率. 【小问1详解】 解：(1)X的所有可能取值为0，1，2，3， 且，， ，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故， 【小问2详解】 设事件A为“甲地是男教师”，事件B为“乙地是女教师”， 则，， 所以. 18. 为了迎接即将到来的生物实验操作考试，小李同学每天都要去实验室做两次实验.某天，他来到实验室，决定做实验或实验，已知小李同学做实验成功的概率为，做实验成功的概率为，假设每次做实验是否成功相互独立. （1）小李每次都随机等可能的从实验与实验中选择一个实验进行操作，求他两次实验恰好成功一次的概率； （2）小李同学决定进行2次实验操作，有以下两种方案， 方案一:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，若第一次实验成功，则第二次继续做第一次的实验，若第一次实验不成功，则第二次做另一个实验； 方案二:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，无论第一次实验是否成功，第二次都继续做第一次的实验. 若方案选择以及实验操作互不影响，以实验成功次数的期望值作为决策依据，你认为哪个方案更好? 【答案】（1） （2）方案一略好 【解析】 【分析】（1）记选择实验为事件，选择实验为事件，实验成功为事件，利用全概率公式求出，再由独立重复试验的概率公式计算可得； （2）记和分别是方案一与方案二中实验成功的次数，则、的取值均为，，，求出相应的概率，计算出期望，即可判断. 【小问1详解】 记选择实验为事件，选择实验为事件，实验成功为事件， 则 所以. 所以两次实验恰好成功一次的概率. 【小问2详解】 记和分别是方案一与方案二中实验成功的次数，则、的取值均为，，， 所以， ， ， 所以. ， ， ， 所以. 因为，所以方案一略好. 19. 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的.“固点”.经研究发现所有的三次函数都有“固点”，且该“固点”也是函数的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知函数. （1）当时，试求的对称中心. （2）讨论的单调性； （3）当时，有三个不相等的实数根，当取得最大值时，求的值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导得到导函数，再求导取为0，计算得到对称中心. （2）求导得到导函数，考虑，，三种情况，分类讨论得到答案. （3）确定函数对称中心，根据对称性和常数项得到，，计算，得到答案. 【小问1详解】 ，，， 令，，， 故的对称中心为. 【小问2详解】 ， 令，则，， 当时，，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，，在，上，，函数在，上单调递增，在上，，所以函数在上单调递减； 当时，，，上，，函数在，上单调递增，在上，，函数在上单调递减. 综上所述： 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 ，， 令，，，所以对称中心为， 当和时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； ； ， 要使得有三个解，故，， 且，，是方程的根， 由于对称性，为了简化研究，只研究的情况， ， 根据常数项知：，根据对称性知：， ，且， 故，即， . 当时，取得最大值，此时. 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义问题，利用导数求函数的单调性，参数范围问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据对称性将，转为为的函数关系，再根据二次函数性质求解是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$