专题2.1 不等式的基本性质及区间（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（河北专用）

专题2.1 不等式的基本性质及区间 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：比较实数的大小 3 考点二：不等式性质的应用 4 考点三：区间的应用 5 【考纲要求】 1．了解不等式的性质． 2．理解区间的含义。 3．掌握一元一次不等式、一元二次不等式、及含绝对值不等式(如：|ax+b|<c)的解法)，在此基础上，会解其它的一些简单的不等式. 4.能够利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题． 【考向预测】 1.不等式性质的应用 2.集合的区间表示. 【知识导图】 【知识清单】 1.实数的大小与运算性质的关系 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 2.比较大小的常用方法 作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论． 其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差． 3.不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒_a>c__； (3)同向可加性：a>b⇔a＋c>__b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>__b＋d； (4)同向同正可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<__bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)可乘方性：a>b>0⇒an_>__bn(n∈N，n≥2)； (6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 4. 区间及有关概念 (1)一般区间的表示． 设a，b∈R，且a＜b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 __[a，b]__ {x|a＜x＜b} 开区间 __(a，b)__ {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 __[a，b)__ {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 __(a，b]__ (2)特殊区间的表示． 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞)__ [a，＋∞)__ (a，＋∞)__ (－∞，a]__ (－∞，a)__ 【考点分类剖析】 考点一：比较实数的大小 例1．已知，，则a，b的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 例2．已知，设，则与的值的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 例3．设，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【方法规律】作差法的依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b． 步骤：作差—变形—判断差的符号—得出结论． 注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式． 【变式探究】1. 已知则的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法判断 2．若．则P，Q的大小关系 （用“”，“”，“”连接两者的大小关系） 3．设，，则，的大小关系是 . 考点二：不等式性质的应用 例1．已知，则（   ） A． B． C． D． 例2．“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【方法规律】判断关于不等式的命题真假的两种方法 (1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断． (2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断． 【变式探究】1．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．如果，则有（用“>”或“<”填空）： （1） ；                        （2） ． （3） ；                    （4） 1． 3．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点三：区间的应用 例1. 集合且用区间表示为 ． 例2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1. 集合{x|0<x<1或2≤x≤11}用区间表示为 . 2．已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 3. 用区间表示下列数集： （1）；            （2）； （3）；        （4）R； （5）；        （6）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 不等式的基本性质及区间 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：比较实数的大小 3 考点二：不等式性质的应用 5 考点三：区间的应用 8 【考纲要求】 1．了解不等式的性质． 2．理解区间的含义。 3．掌握一元一次不等式、一元二次不等式、及含绝对值不等式(如：|ax+b|<c)的解法)，在此基础上，会解其它的一些简单的不等式. 4.能够利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题． 【考向预测】 1.不等式性质的应用 2.集合的区间表示. 【知识导图】 【知识清单】 1.实数的大小与运算性质的关系 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 2.比较大小的常用方法 作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论． 其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差． 3.不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒_a>c__； (3)同向可加性：a>b⇔a＋c>__b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>__b＋d； (4)同向同正可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<__bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)可乘方性：a>b>0⇒an_>__bn(n∈N，n≥2)； (6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 4. 区间及有关概念 (1)一般区间的表示． 设a，b∈R，且a＜b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 __[a，b]__ {x|a＜x＜b} 开区间 __(a，b)__ {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 __[a，b)__ {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 __(a，b]__ (2)特殊区间的表示． 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞)__ [a，＋∞)__ (a，＋∞)__ (－∞，a]__ (－∞，a)__ 【考点分类剖析】 考点一：比较实数的大小 例1．已知，，则a，b的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】 利用作差法并结合不等式的性质，可得答案. 【详解】 因为 所以，所以，即. 故选：A. 例2．已知，设，则与的值的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故. 故选：D 例3．设，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】应用作差法比较大小即可. 【详解】， 所以. 故选：A 【方法规律】作差法的依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b． 步骤：作差—变形—判断差的符号—得出结论． 注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式． 【变式探究】1. 已知则的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】把平方比较即得解. 【详解】解：由题得. 故选：B 2．若．则P，Q的大小关系 （用“”，“”，“”连接两者的大小关系） 【答案】 【分析】通过平方的方法来判断的大小关系. 【详解】依题意可知， 所以，所以. 故答案为： 3．设，，则，的大小关系是 . 【答案】. 【分析】利用作差法比较式子的大小. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 考点二：不等式性质的应用 例1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 对A利用作差法即可证明，对BCD举反例即可. 【详解】对A，，因为，所以， 所以，则，故A正确； 对B，举例，则，，则，故B错误； 对C，举例，则，故C错误； 对D，举例，则，故D错误； 故选：A. 例2．“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】ABD可以举出反例，C选项可以利用不等式的基本性质进行证明出是的充分不必要条件. 【详解】A选项，若，，满足，但，故推导不出，A错误； B选项，也是如此，若，，满足，但，B错误； C选项，因为，故，，不等式两边同乘以（），不等号方向不改变，故，是的充分条件，当时，令，，推导不出；综上：是的充分不必要条件，C选项正确； D选项，若，，满足，但，D选项错误 故选：C. 【方法规律】判断关于不等式的命题真假的两种方法 (1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断． (2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断． 【变式探究】1．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】举反例判断AB；利用不等式的性质可判断C；做差可判断D. 【详解】对于A，当时，则，故A错误； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，，则，所以，故C错误； 对于D，若，，则，所以， 所以，故D正确. 故选：D. 2．如果，则有（用“>”或“<”填空）： （1） ；                        （2） ． （3） ；                    （4） 1． 【答案】 > > > < 【分析】根据不等式的性质求解. 【详解】（1）由可得； （2），，，即； （3），，； （4），，即. 故答案为：>；>；>；<. 3．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可. 【详解】由，可得， 则是的必要不充分条件. 故选：B 考点三：区间的应用 例1. 集合且用区间表示为 ． 【答案】 【分析】由区间的定义可得答案. 【详解】集合且用区间表示为． 故答案为：． 例2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式解法可得，再由交集运算可得结果. 【详解】解不等式可得，即； 又， 因此. 故选：D 【变式探究】1. 集合{x|0<x<1或2≤x≤11}用区间表示为 . 【答案】(0，1)∪[2，11] 【分析】根据区间的定义以及表示即可求解. 【详解】由集合{x|0<x<1或2≤x≤11}， 所以区间表示为(0，1)∪[2，11]. 故答案为：(0，1)∪[2，11] 2．已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得集合，结合集合间的基本运算即可求解. 【详解】因为或 所以 所以或，即. 故选：A. 3. 用区间表示下列数集： （1）；            （2）； （3）；        （4）R； （5）；        （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】按照区间的定义以及书写方式进行转换即可,注意区间的开闭和集合中的不等号和等号相对应. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）R=； （5）； （6）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$