第一章 集合与充分必要条件（测）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（河北专用）

第一章 集合与充分必要条件（测） 一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．已知集合，集合，则的子集个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 3．已知全集，，，则（　　） A． B． C． D． 4. 下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 5．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 6.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 8．已知，：“”，：“”，则是的（   ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．设a，b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．“”是“数列为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 二、填空题(把答案填在题中的横线上) 1.下列说法中： ①集合与集合是同一个集合； ②集合中的元素都是集合中的元素； ③集合中的元素都是集合中的元素； ④集合 中的元素都是集合中的元素. 其中正确的有 (填序号). 2．已知集合，，则 3．已知集合，，则这两个集合的关系是 . 4．已知集合，则 . 5．已知集合，，若，则 ． 6. 已知，则 7．已知集合，，则 ． 8.“”是“直线与直线垂直”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1．下列“若，则”形式的命题中，判断条件是结论的什么条件？ (1)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； (2)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (3)若，则； (4)若，则； (5)若，为无理数，则为无理数． 2．已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 3．已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 4．设集合. (1)当时，求的非空真子集的个数； (2)若，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与充分必要条件（测） 一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的定义和性质判断可得答案． 【详解】对于①，很小的实数是个不确定的概念，不可以构成集合，故错误； 对于②，R表示一切实数组成的集合，故正确； 对于③，给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是无限集，故错误； 对于④，2023年联合国常任理事国有中国、俄罗斯、英国、法国、美国，能组成一个集合，故正确． 故选：C． 2．已知集合，集合，则的子集个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【分析】根据并运算可得，即可根据子集个数公式求解. 【详解】,所以子集个数为， 故选：A 3．已知全集，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】因为全集，，， ∴，则． 故选：D． 4. 下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义，结合选项即可求解. 【详解】对于A,集合中有一个元素，故不是空集， 对于B,方程无实数解，∴集合为空集， 对于C，是无限集，所以不是空集， 对于D, ，不是空集. 故选：B． 5．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用列举法表示集合A，再利用补集的定义求解即得. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 6.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合，再求两集合的交集即可. 【详解】由，得， 所以， 因为，所以. 故选：C 7．方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 8．已知，：“”，：“”，则是的（   ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】首先解一元二次方程，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，即，解得或， 所以：“或”， 故由推不出，即充分性不成立， 由推得出，即必要性成立， 所以是的必要但不充分条件. 故选：B 9．设a，b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义判断即可. 【详解】当a与b无公共点时，a与b可能平行或异面，反之，当a与b是异面直线时，a与b无公共点. 故选：B. 10．“”是“数列为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质结合充分条件与必要条件的证明即可得出答案. 【详解】如果数列是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有， 反之成立，不一定有数列是等差数列， 故选：B. 二、填空题(把答案填在题中的横线上) 1.下列说法中： ①集合与集合是同一个集合； ②集合中的元素都是集合中的元素； ③集合中的元素都是集合中的元素； ④集合 中的元素都是集合中的元素. 其中正确的有 (填序号). 【答案】② ④ 【分析】根据集合间的关系判断即可. 【详解】解：对于①，集合中有元素，集合没有元素，故错误； 对于②，集合中的元素都是集合中的元素，满足，故正确； 对于③，集合中的元素不一定都是整数，不满足，故错误； 对于④，集合 中的元素都是集合中的元素，满足，故正确. 因此正确的有：② ④ 故答案为：② ④ 2．已知集合，，则 【答案】 【分析】根据并集运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 3．已知集合，，则这两个集合的关系是 . 【答案】 【分析】求出集合、，进而可判断这两个集合的包含关系. 【详解】，，因此，. 故答案为：. 4．已知集合，则 . 【答案】 【分析】解不等式得到，由补集和交集的概念求出答案. 【详解】，解得， 故， 其中，故. 故答案为： 5．已知集合，，若，则 ． 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得. 【详解】集合，，由，得，又， 因此，所以. 故答案为：3 6. 已知，则 【答案】 【分析】根据集合交集运算求解. 【详解】联立，解得，， 所以， 故答案为：. 7．已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】根据交集概念进行求解. 【详解】. 故答案为： 8.“”是“直线与直线垂直”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【分析】求出无论为何值，均满足两条直线垂直，从而得到答案. 【详解】当时，两条直线方程分别为和，两条直线垂直； 当时，直线的斜率，直线的斜率， ，两直线垂直， 综上，无论为何值，均满足两条直线垂直， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1．下列“若，则”形式的命题中，判断条件是结论的什么条件？ (1)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； (2)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (3)若，则； (4)若，则； (5)若，为无理数，则为无理数． 【答案】(1)充要条件 (2)充分非必要 (3)必要非充分 (4)充分非必要 (5)既非充分又非必要 【分析】由充分条件、必要条件定义逐一判断即可得出结论. 【详解】（1）这是一条相似三角形的判定定理，，所以是的充分条件. 再由三角形相似，，所以是的必要条件，即是的充要条件. （2）这是一条菱形的性质定理，，所以是的充分条件. 若对角线垂直的四边形不一定为菱形，必要性不成立，即是的充分非必要条件. （3）由于，但，所以不能推出，即不是的充分条件. 若，则，必要性成立，即即是的必要非充分条件. （4）由等式的性质知，，所以是的充分条件. 若，则，但，必要性不成立，即是的充分非必要条件. （5）为无理数，但为有理数，所以不能推出，即不是的充分条件. 为无理数，但，1为有理数，所以不能推出，即不是的必要条件.所以是的既非充分又非必要条件. 2．已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据补集的概念直接求补集即可. （2）根据集合之间的关系，可求参数的取值范围. 【详解】（1）因为全集，集合， 所以或． （2）因为，所以，故实数a的取值范围是． 3．已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）将代入集合，然后在计算； （2）由，从而由包含关系求参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 又， 所以或， 所以，. （2）（2）因为， 所以， ①当，即时，，满足． ②当时，由得 ， 解得， 综合①②可知的取值范围． 4．设集合. (1)当时，求的非空真子集的个数； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)254 (2) 【分析】（1）由题得即可解决.（2）根据得，即可解决. 【详解】（1）由题知，， 当时，共8个元素， 的非空真子集的个数为个； （2）由题知， 显然， 因为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$