4.4.2 平面与平面垂直课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第4章　立体几何初步 4.4　平面与平面的位置关系 4.4.2　平面与平面垂直 湘教版 数学 必修第二册 课 程 标 准 1.理解二面角及其平面角的概念. 2.掌握两个平面互相垂直的定义和画法. 3.理解并掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理,并能解决有关面面垂直的问题. 基础落实•必备知识全过关 重难探究•能力素养全提升 目录索引 成果验收•课堂达标检测 基础落实•必备知识全过关 知识点1　二面角及其度量 1.二面角 概念 从一条直线出发的两个__________所组成的图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的________,这两个半平面叫作二面角的________ 图示   半平面 棱 面 文字 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为________,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角  图示   符号 OA⊂α,OB⊂β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角 规定 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.特别地,平面角是直角的二面角叫作_______.一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相________.若平面α,β互相垂直,则记作α⊥β  记法   棱为l,面分别为α,β的二面角记为_________.如图所示,也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角_______ 垂足 直二面角 垂直 α-l-β P-l-Q 过关自诊 1.平面几何中,“角”是如何定义的? 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-D的平面角的大小是__________.  提示 从一点出发的两条射线所组成的图形叫作角. 45° 解析　∵AB⊥平面ADD1A1, ∴AB⊥AD,AB⊥AD1,∴∠D1AD为二面角D1-AB-D的平面角. 易知∠D1AD=45°. 3.[北师大版教材习题]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过A,B,D三个点作一个平面,请画出二面角A-BD-A1的平面角,并说明画图的根据. 解 如图,连接AC,交BD于点O,连接A1O,则∠AOA1就是二面角A-BD-A1的平面角.根据:正方形ABCD中,AO⊥BD且O为BD的中点.又正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B=A1D,所以A1O⊥BD.所以∠AOA1就是二面角A-BD-A1的平面角. 知识点2　平面与平面垂直的判定定理 文字 语言 如果一个平面过另一个平面的_______,那么这两个平面垂直  图形 语言   符号 语言 若_______,a⊥α,则α⊥β  作用 判断两个平面垂直 垂线 a⊂β 名师点睛 1.过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直,过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直. 2.若一条直线与已知平面相交但不垂直,则过该直线有且仅有一个平面与已知平面垂直. 过关自诊 [人教A版教材习题]如图,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,你能发现哪些平面互相垂直,为什么? 解 平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面ACD. 理由:因为AB⊥平面BCD,AB⊂平面ABC,AB⊂平面ABD, 所以平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD. 因为AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,所以AB⊥CD. 又BC⊥CD,AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC. 因为CD⊂平面ACD,所以平面ABC⊥平面ACD. 知识点3　平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的___________,那么这条直线与另一个平面垂直  符号语言 若α⊥β,α∩β=CD,AB⊂α,AB⊥CD,则AB⊥β 图形语言   作用 证明直线与平面垂直 交线 过关自诊 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)已知两个平面垂直,则一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线.(　　) (2)已知两个平面垂直,则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.(　　) (3)已知两个平面垂直,则过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.(　　) × √ × 重难探究•能力素养全提升 探究点一 证明两个平面垂直 【例1】 如图,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求证:平面ABC⊥平面SBC. 证明∵∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC, ∴△ASB和△ASC是等边三角形, 则有SA=SB=SC=AB=AC, 令其值为a,则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D,如图,连接AD,SD,则AD⊥BC,SD⊥BC, ∴∠ADS为二面角A-BC-S的平面角. 在Rt△BSC中,∵SB=SC=a, 在△ADS中,∵SD2+AD2=SA2, ∴∠ADS=90°,即二面角A-BC-S为直二面角, 故平面ABC⊥平面SBC. 规律方法　证明平面与平面垂直的方法 (1)利用定义:证明二面角的平面角为直角,其判定的方法是: ①找出两相交平面的平面角; ②证明这个平面角是直角; ③根据定义,这两个相交平面互相垂直. (2)利用面面垂直的判定定理:要证面面垂直,只需证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法,其基本步骤是: 变式训练[人教A版教材例题]如图,AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点.求证:平面PAC⊥平面PBC. 证明 ∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, ∴PA⊥BC. ∵点C是圆周上不同于A,B的任意一点,AB是☉O的直径, ∴∠BCA=90°,即BC⊥AC. 又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC, ∴BC⊥平面PAC. 又BC⊂平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC. 探究点二 平面与平面垂直的性质的应用 【例2】 如图,已知V是△ABC外一点,VA⊥平面ABC,平面VAB⊥平面VBC.求证:AB⊥BC. 证明在平面VAB内,过点A作AD⊥VB于点D. ∵平面VAB⊥平面VBC,且交线为VB,∴AD⊥平面VBC.∴AD⊥BC. ∵VA⊥平面ABC,∴VA⊥BC. ∵AD∩VA=A,且VA⊂平面VAB,AD⊂平面VAB, ∴BC⊥平面VAB.∵AB⊂平面VAB,∴AB⊥BC. 变式探究本例中的已知换为:平面VAB⊥平面ABC,平面VAC⊥平面ABC, CA⊥AB.试证:VA⊥BC. 证明 ∵平面VAB⊥平面ABC, 平面VAB∩平面ABC=AB,AC⊂平面ABC,CA⊥AB, ∴CA⊥平面VAB,∴CA⊥VA.同理,BA⊥VA. 又AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,∴VA⊥平面ABC, ∵BC⊂平面ABC,∴VA⊥BC. 规律方法　1.在运用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题. 2.平面与平面垂直的其他性质: (1)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. (2)如果两个平面垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面. (3)如果两个平面垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内. 探究点三 求二面角的平面角的大小 【例3】 如图,已知四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD. (1)二面角B-PA-D的平面角的大小为　　　;  (2)二面角B-PA-C的平面角的大小为　　　.  90° 45° 解析 (1)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AD⊥PA. ∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角. 又由题意∠BAD=90°,∴二面角B-PA-D的平面角的大小为90°. (2)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA. ∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角. 又四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=45°. 即二面角B-PA-C的平面角的大小为45°. 变式探究在题设条件不变的情况下,若PA=AD,求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小. 解 ∵CD∥平面PAB,过P作CD的平行线l,如图, ∴l为平面PAB和平面PCD的交线. 由PA⊥CD,CD⊥AD,PA∩AD=A,PA, AD⊂平面PAD,知CD⊥平面PAD, ∴CD⊥PD.又CD∥l,∴l⊥PD. 又PA⊥CD,∴PA⊥l. ∴∠DPA为平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角,为45°. 规律方法　 1.求二面角的平面角的大小的步骤如下:       2.作二面角的平面角的常用方法: (1)定义法.在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角. (2)垂面法.过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角. (3)垂线法.过二面角的一个棱以外的半平面部分的A点向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB为二面角α-l-β的平面角. 转化思想在线线、线面、面面垂直中的应用 【典例】 已知α,β,γ是三个不同的平面,l为直线,α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.求证:l⊥γ. 分析 根据直线和平面垂直的判定定理,可在平面γ内构造两相交直线分别与平面α,β垂直;或者由面面垂直的性质易在平面α,β内作出平面γ的垂线,再设法证明l与其平行. 证明 (方法1)在γ内取一点P,作PA垂直α与γ的交线于点A,PB垂直β与γ的交线于点B,则PA⊥α,PB⊥β. ∵l=α∩β, ∴l⊥PA,l⊥PB. 又PA∩PB=P,且PA⊂γ,PB⊂γ, ∴l⊥γ. (方法2)在α内作直线m垂直于α与γ的交线,在β内作直线n垂直于β与γ的交线, ∵α⊥γ,β⊥γ,∴m⊥γ,n⊥γ.∴m∥n. 又n⊂β,m⊄β,∴m∥β. 又m⊂α,α∩β=l, ∴m∥l.∴l⊥γ. 规律方法　线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想,其转化关系如下: 成果验收•课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 级 必备知识基础练 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.在三棱锥A-BCD中,若AD⊥BC,AD⊥BD,那么必有(　　) A.平面ADC⊥平面BCD B.平面ABC⊥平面BCD C.平面ABD⊥平面ADC D.平面ABD⊥平面ABC A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=CC1=6,M是棱CC1的中点. 求证:平面AB1M⊥平面ABB1A1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 级 关键能力提升练 CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足_____________________________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)  DM⊥PC(或BM⊥PC,答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)求点B到平面PAD的距离; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)求二面角P-BD-A的平面角的正切值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD? ∴SD=a,BD=a.在Rt△ABD中,AD=a, 1.[2023湖北高一统考期末]已知不同的直线m,n与不同的平面α,β,γ,则能使α⊥β成立的一个充分条件是 (　　) A.α⊥γ,β⊥γ B.α∩β=m,n⊥m,n⊂β C.m⊥n,m⊂α,n⊂β D.m∥α,m⊥β 解析 对于A,平面间的垂直关系,不具有传递性,故A错误; 对于B,α∩β=m,n⊥m,n⊂β,但平面α与β可能垂直,也可能不垂直,无法判断垂直关系,故B错误; 对于C,m⊥n,m⊂α,n⊂β,同样的α与β可能垂直,也可能不垂直,依然无法判断空间中的位置关系,故C错误; 对于D,若m∥α,则在平面α中存在直线l∥m,因为m⊥β,则l⊥β,故α⊥β,故D正确.故选D. 2.(多选题)对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是(　　) A.m⊥n,m⊥α,n⊥β B.m⊥n,α∩β=m,n⊂α C.m∥n,n⊥β,m⊂α D.m∥n,m⊥α,n⊥β 解析 A中,α⊥β;B中,α与β相交但不一定垂直;C中, ∵m∥n,n⊥β, ∴m⊥β.又m⊂α, ∴α⊥β;D中,α∥β. 3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,AA1=1,则二面角D1-BC-D的余弦值为(　　) A. B. C. D. 4.[2023四川武侯校级模拟]在Rt△ABC中,C=90°,CA=,CB=,CD是斜边的高,现将△ACD沿CD折起,使平面ACD⊥平面BCD,则折叠后AB的长度为(　　) A.2 B. C. D.3 解析 在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=,CB=, 可得AB==3. 由射影定理可得AC2=AD·AB,即6=3AD,解得AD=2, 则BD=AB-AD=3-2=1. 折叠后,由于平面ACD⊥平面BCD,AD⊥CD,AD⊂平面ACD,平面ACD∩平面BCD=CD,所以AD⊥平面BCD.又BD⊂平面BCD,则AD⊥BD,所以AB=. 故选C. 5.如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=________.  解析取AB的中点E,连接DE,CE. 因为△ADB是等边三角形, 所以DE⊥AB. 当平面ADB⊥平面ABC时, 因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥AB, 所以DE⊥平面ABC, 故DE⊥CE. 由已知可得DE=,EC=1,在Rt△DEC中,CD==2. 证明连接A1B交AB1于点O,连接MO,易得O为A1B,AB1的中点. ∵CC1⊥平面ABC,AC⊂平面ABC, ∴CC1⊥AC. 又M为CC1中点,AC=CC1=6, ∴AM==3. 同理可得B1M=3,∴MO⊥AB1. 连接MB,同理可得A1M=BM=3, ∴MO⊥A1B.又AB1∩A1B=O,AB1,A1B⊂平面ABB1A1, ∴MO⊥平面ABB1A1. 又MO⊂平面AB1M, ∴平面AB1M⊥平面ABB1A1 8.(多选题)设m,n,l是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面.下列说法正确的是(　　) A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n B.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β C.若α⊥β,α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l⊥β D.若α⊥β,则存在直线m⊂α,使m⊥β 解析 A中,m,n可能平行、垂直、异面;B选项缺少了条件l⊂α;C选项具备了面面垂直的性质定理的全部条件;当m⊂α且直线m与两平面的交线垂直时,一定有m⊥β,故D正确. 故选CD. 9.如图,在四面体A-BCD中,已知棱AC的长为,其余各棱长都为1,则二面 角A-CD-B的平面角的余弦值为__________________.  解析如图,取CD中点E,AC中点F,连接BE,EF,FB. 由题可知,△BCD边长均为1,则BE⊥CD.在△ACD中,AC=,AD=CD=1,则AD⊥CD,得FE⊥CD. 所以二面角A-CD-B的平面角即∠BFE. 在△BFE中,BE=,EF=,FB=,则∠BFE=90°, 所以cos∠BFE=. 11.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=AD=PA=PB=2, PD=2. 解∵PA=PB=AB=2,PA=AD=2,PD=2, 故PA2+AD2=PD2,则AD⊥PA.∵AD⊥AB,PA∩AB=A, PA,AB⊂平面PAB,∴AD⊥平面PAB. ∵AD⊂平面PAD,∴平面PAB⊥平面PAD. 取PA的中点H,连接BH,则BH⊥PA, 即BH⊥平面PAD. 由AB=PA=PB=2,可知BH=,即点B到平面PAD的距离为. 解取AB中点O,连接PO,作OE垂直于BD,连接PE, 在△PAB中,PA=PB=AB=2,∴PO⊥AB.由(1)知AD⊥平面PAB,PO⊂平面PAB,∴PO⊥AD.而AB∩AD=A,AB,AD⊂平面ABCD, ∴PO⊥平面ABCD.又BD⊂平面ABCD,∴PO⊥BD. ∵OE⊥BD,PO∩OE=O,PO,OE⊂平面POE, ∴BD⊥平面POE.又PE⊂平面POE,∴BD⊥PE. ∴∠PEO为二面角P-BD-A的平面角.PO=,OE=AC=. 在△POE中,∠POE=90°,∴tan∠PEO=, 即二面角P-BD-A的平面角的正切值为. 12.如图,在三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且=λ(0<λ<1). 证明因为AB⊥平面BCD, 所以AB⊥CD.因为CD⊥BC,且AB∩BC=B, 所以CD⊥平面ABC. 又因为=λ(0<λ<1), 所以不论λ为何值,恒有EF∥CD. 所以EF⊥平面ABC,EF⊂平面BEF. 所以不论λ为何值,恒有平面BEF⊥平面ABC. 解由(1)知,BE⊥EF, 因为平面BEF⊥平面ACD, 所以BE⊥平面ACD,所以BE⊥AC. 因为BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°, 所以BD=,AB=tan 60°=. 所以AC=. 由AB2=AE·AC,得AE=.所以λ=. 故当λ=时,平面BEF⊥平面ACD. $$