第01讲 集合（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（四川专用）

第1讲 集合 【考纲要求】 1.集合及其表示：了解集合的概念；理解元素与集合之间的关系；了解空集、有限集和无限集的含义；掌握常用数集的表示符号，初步掌握列举法和描述法等集合的表示方法。 2.集合之间的关系：理解集合之间包含与相等、子集与真子集的含义；掌握集合之间基本关系的符号表示。 3.集合的运算：理解两个集合的交集、并集；了解全集和补集的含义。 1．集合的基本概念 (1) 我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合． 元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． (2) 集合中元素的三个特性：确定性，互异性，无序性. (3) 集合常用的表示方法：列举法、描述法 、Venn图法． (4) 集合的分类：有限集和无限集 (5) 集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 2．常用数集的符号及韦恩图关系 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(N＋)　 Z Q R 3.元素与集合、集合与集合之间的关系 (1) 元素与集合之间存在两种关系：如果 a 是集合 A 中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a ∉A，元素与集合的关系二者必居其一． (2) 集合与集合之间的关系： 　　表示 关系　　 文字语言 符号语言 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A⊆B 且 B⊆A ⇔A＝B 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B 或 B⊇A 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 AB 或 BA 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ∅⊆A，∅B (B≠∅) 结论：(1)空集用 ∅ 表示． (2)集合{a1，a2，…，an}的子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． (3) 若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． 4．两个集合 A 与 B 之间的运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A ∪ B A ∩ B 若全集为U，则集合A的补集记为∁U A Venn图表示(阴影部分) 意义 {x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A} 考点一：集合的基本概念 例1：下列各组对象可以组成集合的是（  ） A．与π非常接近的全体实数 B．四川职高22级全体高三学生 C．数学课本中所有的难题 D．中国著名的数学家 【答案】B 【解析】对于选项A：其中元素不具有确定性，故选项A错误； 对于选项B：对于任何一个高三学生可以判断其是否属于{四川职高22级全体高三学生}，故选项B正确； 对于选项C：其中元素不具有确定性，故选项C错误； 对于选项D：其中元素不具有确定性，故选项D错误. 变式：下列所给的对象能组成集合的是（  ） A．联合国常任理事国 B．接近1的数 C．平面直角坐标系内第一象限的一些点 D．有特色专业的的职业大学 【答案】A 【解析】A 能构成集合，元素有中国，俄罗斯，英国，法国，美国，故A正确； 对于B，C，D三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合，故选：A. 例2：下列关系中正确的个数为(　　) ①∈Q； ②－1 ∉N； ③π ∉R； ④|－4|∈Z. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】　①∵是无理数，∴∉Q，故①错误；②－1∉N，②正确；③∵π是实数，∴π∈R，故③错误；④∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故④正确． 变式：下列关系中，正确的是__. ①； ② ③|﹣10|∉N*； ④﹣5∉Z； ⑤0∈N. 【答案】①⑥ 【解析】①，正确； ②因为；则，错误； ③因为|﹣10|＝10∈N*，则|﹣10|∉N*，错误； ④﹣5∉Z，错误； ⑤0∈N.正确； 所以正确的是①②⑤. 例3：下列命题中正确的是（    ） ①与表示同一个集合 ②由1，2，3组成的集合可表示为或 ③方程的所有解的集合可表示为 ④集合可以用列举法表示 A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都对 【答案】C 【解析】对于①，由于“0”是元素，而“”表示含0元素的集合，而不含任何元素，所以①不正确； 对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确； 对于③，根据集合元素的互异性，知③错误； 对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确 综上可得只有②正确，故选：C. 变式1：已知集合 A 中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【解析】由元素的互异性知a，b，c均不相等．故选D. 变式2：已知集合，实数不能取的值的集合是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知条件可得，解得，故选：A. 例4：已知集合A中含有两个元素 a 和 a2，若1∈A，则实数 a ＝________. 【答案】　－1 【解析】若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. 当a ＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素，∴a≠1. 当a ＝－1时，集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性． ∴a ＝－1. 变式1：已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值． 【解析】∵－3∈A， ∴－3＝a－3或－3＝2a－1， 若－3＝a－3， 则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意； 综上所述，a＝0或a＝－1. 变式2：集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合． 解　(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意； (2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意． 综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}． 例5：用指定方法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合；（列举法） (2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；（列举法） (3)直线y＝2x＋2与 x 轴的交点所组成的集合；（列举法） (4)正偶数集；（描述法） (5)被3除余2的正整数集合；（描述法） 解　(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}． (2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}． (3)将y＝0代入y＝2x＋2，得x＝-1，即交点是(-1,0)，故交点组成的集合是{(-1,0)}． (4)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}． (5)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}． 变式1：用指定的方法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A；（列举法） (2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；（列举法） (3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D.（列举法） (4)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．（描述法） 【解析】(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}． (2)方程x2－9＝0的实数根为－3,3，所以B＝{－3,3}． (3)由得 所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1,3)，所以D＝{(1,3)}． (4)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}． 例6：设集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　) A．1 B．3 C．5 D．9 答案　C 解析　因为A＝{0,1,2}，又集合B中元素为x－y且x∈A，y∈A， 所以x的可能取值为0,1,2；y的可能取值为0,1,2. 当x＝0时，y＝0或1或2，此时对应的x－y的值为0，－1，－2. 当x＝1时，y＝0或1或2，此时对应的x－y的值为1,0，－1. 当x＝2时，y＝0或1或2，此时对应的x－y的值为2,1,0. 综上可知，集合B＝{－2，－1,0,1,2}， 所以集合B 中的元素的个数为5. 变式：已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为(　　) A.5 B.6 C.10 D.15 【答案】D 【解析】因为x∈A，y∈A，x－y∈A， 所以分以下5种情况： ①x－y＝1，有四个，(2，1)，(3，2)，(4，3)，(1，0)； ②x－y＝2，有三个，(3，1)，(4，2)，(2，0)； ③x－y＝3，有两个，(4，1)，(3，0)； ④x－y＝4，有一个，(4，0)； ⑤x－y＝0，有五个，(0，0)，(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4). 综上，B中所含元素的个数为15. 例7：下列三个集合： ①A＝{x|y＝x2＋1}； ②B＝{y|y＝x2＋1}； ③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}． (1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义分别是什么？ 【解析】(1)不相同． (3) 集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R； 集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}． 集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对．可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的． 考点二：集合间的基本关系 例1：下列各式中关系符号运用正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确，故选：C. 变式：下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误； ②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确； ③空集是任意集合的子集，故，正确； ④空集没有任何元素，故，错误； ⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误； ⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确，故选：B. 变式2．集合的真子集可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则可排除A,C；由，可排除B；故选:D. 例2：已知集合，集合．若，则实数 m 的取值集合为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，所以，所以实数m的取值集合为，故选：C. 变式:1：设集合，若，则的值为_______． 【答案】 【解析】由集合M知，，则且，因，，于是得，解得，所以的值为，故答案为：． 变式2：设集合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合A与B的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2，3，4}，∴A⊆B．故选D 变式3：已知集合，，且，则实数的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，知且，经检验符合题意，所以.故选：B 例3：下列集合与集合相等的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对：集合中的元素代表点，与集合不同； 对：集合中的元素代表点，与集合不同； 对：，解得或，与集合元素相同； 对：表示两个代数式的集合，与集合不同.故选：C. 变式1：下列各组集合中，表示同一集合的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】A选项中，，，集合、都是点集，但集合里的元素是点，集合里的元素是点，所以集合、不是同一集合； B选项中，集合、都是数集，并且它们的元素都相同，所以时同一集合； C选项中，集合是点集、集合是数集，所以集合、不是同一集合； D选项中，集合是数集、集合是点集，集合、不是同一集合.故选：B. 考点三：集合的基本运算 例1：已知集合，B={-1，0}，则为（ ） A．{-2，-1，0，1，2} B．{-1，0} C．{0，1} D．{-1,，0，1} 【答案】B 【解析】. 变式：已知集合A={1，2，3，4} ，B={-1，0，1}，则为（ ） A．{-1，0，1，2，3，4} B．{1} C．{0，1} D．{0} 【答案】B 例2：已知集合，，则_______． 【答案】 【解析】，，.故答案为：. 变式：集合，，则______ 【答案】 【解析】因为，所以， 因为，所以，则，故答案为：. 例3：已知全集，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得全集，若，则，故选:C. 变式1：设全集，，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，因为全集，所以，故选：C. 变式2：已知集合，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 例4：设或，，若，则实数a应满足（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】如图，由数轴可得，解得，故选：A. 变式1：设集合，若，则的值为（ ） A． B．2 C．1 D．2或 【答案】D 【解析】由知①，即,①无解； 或②,②无解；或，解得或.故选：D.: 变式2：已知集合或，，，求的取值范围 【答案】 【解析】解：因为集合或，，，所以，解得，即实数的取值范围是． 变式3：集合，，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】，若，则是的子集， 当时，，所以；当时，，所以， 综上，实数的取值范围是，故答案为: 例5：已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【解析】解：（1）当时，，，故. （2）由知，①当时，. ②当时，.综上. 变式：已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【解析】解：(1)当时，，； (2)由，则有：，解得：，即，实数的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1节 集合 【考纲要求】 1.集合及其表示：了解集合的概念；理解元素与集合之间的关系；了解空集、有限集和无限集的含义；掌握常用数集的表示符号，初步掌握列举法和描述法等集合的表示方法。 2.集合之间的关系：理解集合之间包含与相等、子集与真子集的含义；掌握集合之间基本关系的符号表示。 3.集合的运算：理解两个集合的交集、并集；了解全集和补集的含义。 1．集合的基本概念 (1) 我们把研究对象统称为 ，把一些元素组成的总体叫做 ． 元素：一般地，把 统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母 表示． 集合：把一些 组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母 表示 (2) 集合中元素的三个特性： 、 、 . (3) 集合常用的表示方法： 、 、 . (4) 集合的分类：有限集和无限集 (5) 集合相等：指构成两个集合的元素是 的． 2．常用数集的符号及韦恩图关系 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 　 3.元素与集合、集合与集合之间的关系 (1) 元素与集合之间存在两种关系：如果 a 是集合 A 中的元素，就说a 集合A，记作 ；如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 ，元素与集合的关系二者必居其一． (2) 集合与集合之间的关系： 　　表示 关系　　 文字语言 符号语言 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A⊆B 且 B⊆A ⇔A＝B 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B 或 B⊇A 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 AB 或 BA 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ∅⊆A，∅B (B≠∅) 结论：(1)空集用 表示． (2)集合{a1，a2，…，an}的子集有 个，非空子集有 个，非空真子集有 个 (3) 若A⊆B，B⊆C，则A C． 4．两个集合 A 与 B 之间的运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A ∪ B A ∩ B 若全集为U，则集合A的补集记为 Venn图表示(阴影部分) 意义 {x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A} 考点一：集合的基本概念 例1：下列各组对象可以组成集合的是（  ） A．与π非常接近的全体实数 B．四川职高22级全体高三学生 C．数学课本中所有的难题 D．中国著名的数学家 变式：下列所给的对象能组成集合的是（  ） A．联合国常任理事国 B．接近1的数 C．平面直角坐标系内第一象限的一些点 D．有特色专业的的职业大学 例2：下列关系中正确的个数为(　　) ①∈Q； ②－1 ∉N； ③π ∉R； ④|－4|∈Z. A．1 B．2 C．3 D．4 变式：下列关系中，正确的是__. ①； ② ③|﹣10|∉N*； ④﹣5∉Z； ⑤0∈N. 例3：下列命题中正确的是（    ） ①与表示同一个集合 ②由1，2，3组成的集合可表示为或 ③方程的所有解的集合可表示为 ④集合可以用列举法表示 A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都对 变式1：已知集合 A 中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 变式2：已知集合，实数不能取的值的集合是（   ） A． B． C． D． 例4：已知集合A中含有两个元素 a 和 a2，若1∈A，则实数 a ＝________. 变式2：集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合． 例5：用指定方法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合；（列举法） (2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；（列举法） (3)直线y＝2x＋2与 x 轴的交点所组成的集合；（列举法） (4)正偶数集；（描述法） (5)被3除余2的正整数集合；（描述法） 变式1：用指定的方法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A；（列举法） (2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；（列举法） (3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D.（列举法） (4)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．（描述法） 例6：设集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　) A．1 B．3 C．5 D．9 变式：已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为(　　) A.5 B.6 C.10 D.15 例7：下列三个集合： ①A＝{x|y＝x2＋1}； ②B＝{y|y＝x2＋1}； ③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}． (1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义分别是什么？ 考点二：集合间的基本关系 例1：下列各式中关系符号运用正确的是（       ） A． B． C． D． 变式：下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．集合的真子集可以是（ ） A． B． C． D． 例2：已知集合，集合．若，则实数 m 的取值集合为（  ） A． B． C． D． 变式:1：设集合，若，则的值为_______． 变式2：设集合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合A与B的关系为（　　） A． B． C． D． 变式3：已知集合，，且，则实数的值是（ ） A． B． C． D． 例3：下列集合与集合相等的是( ) A． B． C． D． 变式1：下列各组集合中，表示同一集合的是（ ） A．， B．， C．， D．， 考点三：集合的基本运算 例1：已知集合，B={-1，0}，则为（ ） A．{-2，-1，0，1，2} B．{-1，0} C．{0，1} D．{-1,，0，1} 变式：已知集合A={1，2，3，4} ，B={-1，0，1}，则为（ ） A．{-1，0，1，2，3，4} B．{1} C．{0，1} D．{0} 例2：已知集合，，则_______． 变式：集合，，则______ 例3：已知全集，若，则（    ） A． B． C． D． 变式1：设全集，，则 （   ） A． B． C． D． 变式2：已知集合，则（  ） A． B． C． D． 例4：设或，，若，则实数a应满足（  ） A． B． C．或 D．或 变式1：设集合，若，则的值为（ ） A． B．2 C．1 D．2或 变式2：已知集合或，，，求的取值范围 变式3：集合，，若，则实数的取值范围是 . 例5：已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 变式：已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$