第04讲 充分条件与必要条件（2个知识点+4种题型+4个易错+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

第04讲 充分条件与必要条件（2个知识点+4种题型+4个易错+过关检测） 知识点1：充分条件与必要条件 一、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 注意点： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件或q是p的必要条件，或q的充分条件是p或p的必要条件是q. (3)充分、必要条件不唯一． 二、充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p 充分不必要条件 q⇒p，且p⇏q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p⇏q，且q⇏p 既不充分也不必要条件 注意点： (1)充要条件的判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件． (2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价． 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． 知识点2：从不同角度理解充分条件、必要条件和充要条件 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 题型1：充分条件、必要条件和充要条件的判断 【例题1】（22-23高一上·全国·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）若q是p的充分条件，则p是q的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有 ． （1）若，则； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则； （4）若，则，． 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）试用充分条件、必要条件或充要条件的语言梳理初中数学中有关“平行四边形”的结论，并与同学交流． 题型2：充要条件的证明 【例题2】（23-24高一上·重庆南岸·阶段练习）下列选项中，是的充要条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（23-24高一上·河南商丘·期中）设是实数，使得不等式成立的一个充分而不必要的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）设集合，，或，则“”是“”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）设集合A，B，求证：是的充要条件． 题型3：充分条件、必要条件和充要条件的探究 【例题3】（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式1】（22-23高一上·全国·课后作业）方程有实根的充要条件是 ，方程有实根的一个充分而不必要条件可以是 . 【变式2】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 题型4：含有参数的充分条件、必要条件和充要条件的应用 【例题4】（2024·高一上山东济南·阶段练习）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【变式3】（2023高一·江苏·专题练习）已知，，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 易错点1　条件判定不全面而致误 【例4】．甲：“实数a，b，c满足2b＝a＋c”，乙：“实数a，b，c满足＋＝2”，则甲是乙的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-1】．（2022秋•富锦市校级期末）设集合，，，，，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-2】．（2022春•广西月考）已知，，则是的　　 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 易错点2 不等正确理解充分、必要条件的传递性而致误 【例5】．（2023秋•桐城市校级月考）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题： ①是的充要条件； ②是的充分不必要条件； ③是的必要不充分条件； ④是的充分不必要条件． 正确的命题序号是　　 A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【变式5-1】（2022秋•台山市校级期中）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是　　 A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 【变式5-2】．（2023秋•越秀区校级月考）已知是成立的必要条件，是成立的充要条件，是成立的充分条件，是成立的不充分条件，则下列说法不正确的是　　 A．是成立的充要条件 B．是成立的必要不充分条件 C．是成立的充分不必要条件 D．是成立的必要不充分条件 易错点3　不能正确区分命题的条件与结论而致误 【例6】.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 【变式6-1】．求证：实系数一元二次方程有一个正根和一个负根的充要条件是． 【变式6-2】（2022•杭州模拟）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 易错点4 条件探求中忽视要求而致误 【例7-1】．（2022秋•郾城区校级期末）设集合，，则是的真子集的一个充分不必要的条件是　　 A． B． C． D． 【例7-2】．（2020秋•沈阳期中）一次函数的图像同时经过二，三，四象限的一个充分不必要条件是　　 A． B． C．， D．， 【变式7-1】．设集合，，则是的真子集的一个充分不必要的条件是 　 　． 【变式7-2】．已知：一次函数，为常数，的图象经过第一、三、四象限，，则是的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·湖北·期中）设，则“”是“”的（        ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（22-23高一上·上海长宁·期中）“”是“关于的不等式的解集为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（22-23高一上·宁夏银川·阶段练习）已知，条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）已知，若，则是的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 6．（23-24高一上·贵州·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知命题：，命题：，则命题是命题的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 8．（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）若实数满足，且，则称与互补．记，那么是与互补的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知命题p：，q：，则下列说法正确的有（    ） A．p是q的必要条件 B．p是q的充分条件 C．p是q的充要条件 D．q是p的必要条件 10．（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件是（     ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 11．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知全集为，下列选项中，“”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高一上·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 13．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为 ． 14．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 四、解答题 15．（22-23高一上·云南昆明·期中）已知集合， ，请在①充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的________条件，判断实数是否存在？ 16．（23-24高一上·江西赣州·期末）已知集合，． (1)若，求； (2)若______，求实数的取值范围． 请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，解答相应问题． ①；②“”是“”充分不必要条件；③． 17．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）设集合． (1)，求； (2)若“”是“”的必要条件，求m的取值范围． 18．（23-24高一上·福建泉州·期中）设全集，集合，集合. (1)当时，求及； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 19．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）已知：：或. (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 充分条件与必要条件（2个知识点+4种题型+4个易错+过关检测） 知识点1：充分条件与必要条件 一、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 注意点： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件或q是p的必要条件，或q的充分条件是p或p的必要条件是q. (3)充分、必要条件不唯一． 二、充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p 充分不必要条件 q⇒p，且p⇏q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p⇏q，且q⇏p 既不充分也不必要条件 注意点： (1)充要条件的判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件． (2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价． 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． 知识点2：从不同角度理解充分条件、必要条件和充要条件 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 题型1：充分条件、必要条件和充要条件的判断 【例题1】（22-23高一上·全国·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由不等式的性质，分别判断充分性和必要性是否满足. 【详解】由等价于， 由等价于， 由推不出，由可以推出， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式1】（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）若q是p的充分条件，则p是q的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件与必要条件的定义即可得解. 【详解】若q是p的充分条件，则， 所以p是q的必要条件. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有 ． （1）若，则； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则； （4）若，则，． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】根据充分条件的定义逐一判断即可. 【详解】（1）由，可以推出，所以命题（1）符合题意； （2）由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以命题（2）符合题意； （3）由，可以推出，所以命题（3）符合题意； （4）由，得或，所以不一定推出，所以命题（4）不符合题意. 故答案为：（1）（2）（3） 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）试用充分条件、必要条件或充要条件的语言梳理初中数学中有关“平行四边形”的结论，并与同学交流． 【答案】答案见解析 【分析】 根据推出关系依次梳理各个结论即可. 【详解】①一个四边形是平行四边形一个四边形的两组对边分别相等， “一个四边形是平行四边形”是“一个四边形的两组对边分别相等”的充要条件； ②一个四边形是平行四边形一个四边形的两组对角分别相等， “一个四边形是平行四边形”是“一个四边形的两组对角分别相等”的充要条件； ③一个四边形是平行四边形一个四边形的邻角互补， “一个四边形是平行四边形”是“一个四边形的邻角互补”的充要条件； ④一个四边形是平行四边形一个四边形的两条对角线互相平分， “一个四边形是平行四边形”是“一个四边形的两条对角线互相平分”的充要条件； ⑤连接任意四边形各边中点所形成的四边形这个四边形是平行四边形； “连接任意四边形各边中点所形成的四边形”是“四边形是平行四边形”的充分条件； “四边形是平行四边形”是“连接任意四边形各边中点所形成的四边形”的必要条件； ⑥一个四边形是平行四边形四边形的对角线把一个四边形面积分成相等四份； “一个四边形是平行四边形”是“四边形的对角线把一个四边形面积分成相等四份”的充分条件； “四边形的对角线把一个四边形面积分成相等四份”是“一个四边形是平行四边形”的必要条件. 题型2：充要条件的证明 【例题2】（23-24高一上·重庆南岸·阶段练习）下列选项中，是的充要条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据充分、必要条件的判定逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为不能推出，例如，即充分性不成立，故A错误； 对于选项B：因为不能推出，例如，即充分性不成立，故B错误； 对于选项C：因为不能推出，例如，即必要性不成立，故C错误； 对于选项D：因为等价于，所以是的充要条件，故D正确； 故选：D 【变式1】（23-24高一上·河南商丘·期中）设是实数，使得不等式成立的一个充分而不必要的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等价于，由此可判断正确选项对应集合应为的一个真子集，即可判断出答案. 【详解】由得，， 由题意可知正确选项中的不等式所对应的集合应该是的一个真子集， 显然A，B，D中对应的集合不满足，而对应的集合是的真子集， 故选：C 【变式2】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）设集合，，或，则“”是“”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 【答案】充要 【分析】根据集合间的并集运算求，并根据推出关系与包含关系的对应分析判断. 【详解】由题意可得：或，即， 所以“”是“”的充要条件. 故答案为：充要 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）设集合A，B，求证：是的充要条件． 【答案】证明见解析 【分析】利用充分性和必要性的定义即可证明. 【详解】证明：充分性 因为，，所以， 所以当成立时，有成立， 故充分性成立． 必要性 因为，所以． 所以当成立时，也有成立， 故必要性成立 所以是的充要条件 题型3：充分条件、必要条件和充要条件的探究 【例题3】（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】求得方程的根为或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由方程，可得，解得或， 所以是成立的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1】（22-23高一上·全国·课后作业）方程有实根的充要条件是 ，方程有实根的一个充分而不必要条件可以是 . 【答案】 (答案不唯一) 【分析】由方程有实根，可得判别式非负，从而可得到其充要条件，当时方程有实根，而方程有实根时不一定有，从而可得到其一个充分不要条件，其实只要的取值能使判别式非负即可. 【详解】解：因为方程有实根， 所以，即，解得， 反之，当时，，则方程有实根， 所以是方程有实根的充要条件， 当时，方程有实根， 而当方程有实根时不一定是， 所以是方程有实根的一个充分不要条件. 故答案为：；(答案不唯一) 【变式2】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 【答案】证明见解析 【分析】由充要条件的定义，分别证明充分性和必要性即可. 【详解】必要性：若有一个根为2，则满足方程，即， 充分性：若，则，即满足方程， 则关于x的方程有一个根为2； 综上命题得证 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分非必要条件； (2)p是q的必要非充分条件； (3)p是q的充要条件． 【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （2）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （3）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. 【详解】（1）因为“”能推出“”，即，但当“”时，如，推不出“”，即，所以是的充分非必要条件； （2）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，即，但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即，所以是的必要非充分条件； （3）若“”，则“”，即；若“”，则“”，即，故，所以p是q的充要条件． 题型4：含有参数的充分条件、必要条件和充要条件的应用 【例题4】（2024·高一上山东济南·阶段练习）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分不必要条件求参数，得到，即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 【变式1】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将是的必要不充分条件转化为，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【详解】设，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A 【变式2】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】化简条件，再结合必要不充分条件列出不等式即可求解. 【详解】由，得， 因为是的一个必要不充分条件，则不能推出，但能推出， 则，即. 故答案为： 【变式3】（2023高一·江苏·专题练习）已知，，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在，理由见解析 【分析】利用题给条件列出关于m的方程组，解之求得m的值，进而判断出不存在实数m使p是q的充要条件. 【详解】若p是q的充要条件，则， 所以，即，此方程组无解，所以m不存在． 故不存在实数m，使得p是q的充要条件． 易错点1　条件判定不全面而致误 【例4】．甲：“实数a，b，c满足2b＝a＋c”，乙：“实数a，b，c满足＋＝2”，则甲是乙的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】当a＝b＝c＝0时，实数a，b，c满足2b＝a＋c，但此时＋＝2不成立；反过来由＋＝2得a＋c＝2b，实数a，b，c满足2b＝a＋c. 综上所述，“实数a，b，c满足2b＝a＋c”是“实数a，b，c满足＋＝2”的必要不充分条件， 故选A. 【变式4-1】．（2022秋•富锦市校级期末）设集合，，，，，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据当时，，4，，即可求出，当“”时，可以为，故不能推出，结合充分条件、必要条件的定义进行判定即可． 【解答】解：当时，，4，，则， 当“”时，可以为，故不能推出， 由此可知“”是“”的充分不必要条件． 故选：． 【点评】本题主要考查了集合的运算，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了逻辑推理能力，属于基础题． 【变式4-2】．（2022春•广西月考）已知，，则是的　　 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】应用作差法判断为真的充分条件，再根据推出关系，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系． 【解答】解：由， 当，可得，，且， 当，可得且， 所以，可推得成立，但反之不成立， 故是的充分不必要条件， 故选：． 【点评】本题主要考查了充要条件的判断，属于基础题． 易错点2 不等正确理解充分、必要条件的传递性而致误 【例5】．（2023秋•桐城市校级月考）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题： ①是的充要条件； ②是的充分不必要条件； ③是的必要不充分条件； ④是的充分不必要条件． 正确的命题序号是　　 A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【分析】由充分必要条件的定义和传递性，可得结论． 【解答】解：由是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件， 可得，推不出，，，， 所以，故是的充要条件，①正确； ，推不出，故是的充分不必要条件，②正确； ，故是的充要条件，③错误； ，故是的充要条件，④错误． 故选：． 【点评】本题考查充分必要条件的判定，以及传递性的运用，考查推理能力，属于基础题． 【变式5-1】（2022秋•台山市校级期中）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是　　 A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 【分析】由充分必要条件的定义和传递性，可得结论． 【解答】解：由是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件， 可得，推不出，，，， ，故是的充要条件，正确，错误， ，故是的充要条件，错误， ，推不出，故是的充分不必要条件，正确． 故选：． 【点评】本题考查充分必要条件的判定，以及传递性的运用，考查推理能力，属于基础题． 【变式5-2】．（2023秋•越秀区校级月考）已知是成立的必要条件，是成立的充要条件，是成立的充分条件，是成立的不充分条件，则下列说法不正确的是　　 A．是成立的充要条件 B．是成立的必要不充分条件 C．是成立的充分不必要条件 D．是成立的必要不充分条件 【分析】根据充分条件、必要条件、充要条件的概念逐个选项分析可得答案． 【解答】解：依题意得，，，， 由，得，但不一定能推出，故不正确； 由，得，又，所以是成立的必要不充分条件，故正确； 因为不一定能推出，不一定能推出，所以不正确； 因为，，所以，又，所以是成立的充分不必要条件，故不正确． 故选：． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，属于基础题． 易错点3　不能正确区分命题的条件与结论而致误 【例6】.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 【解析】充分性：∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0， ∴方程一定有两个不等实根，分别设为x1，x2， 则x1x2＝<0， ∴方程的两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 必要性：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，分别设为x1，x2，则由根与系数的关系，得 x1x2＝<0，即ac<0. 综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 【变式6-1】．求证：实系数一元二次方程有一个正根和一个负根的充要条件是． 【分析】根据充分必要条件的定义以及根与系数的关系判断即可． 【解答】证明：充分性：若实系数一元二次方程有一个正根和一个负根， 则，是充分条件， 必要性：由，得，故△， 故实系数一元二次方程有一个正根和一个负根，是必要条件， 故实系数一元二次方程有一个正根和一个负根的充要条件是． 【点评】本题考查了充分必要条件的定义以及一元二次方程问题，是一道常规题． 【变式6-2】（2022•杭州模拟）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 【分析】先证明充分性，即当时，方程有两个同号且不相等的实根；再证明必要性，方程有两个同号且不相等的实根，则． 【解答】解：先证明充分性：若，设方程的两个实根为，， 则，，△， 故方程有两个同号且不相等的实根； 再证明必要性：若方程有两个同号且不相等的实根， 令， 当时，其图象是开口方向朝上，且以为对称轴的抛物线 若关于的方程有两个同号且不相等的实根 则必有两个不等的正根， 则函数，有两个正零点， 则 解得； 当时，其图象是开口方向朝下，且以为对称轴的抛物线 若关于的方程有两个同号且不相等的实根 则必有两个不等的负根， 则函数，有两个负零点， 则，无解； 故关于的方程有两个同号且不相等的实根，则的取值范围是； 方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 【点评】本题考查的知识点是充要条件，二次函数的性质，函数的零点与方程根的关系，其中根据二次函数的图象和性质，构造相对的不等式（组是解答本题的关键． 易错点4 条件探求中忽视要求而致误 【例7-1】．（2022秋•郾城区校级期末）设集合，，则是的真子集的一个充分不必要的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】根据真子集的定义结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可． 【解答】解：，， 当时，， 满足是的真子集， 当时，， 若满足是的真子集，则或， 即或， 综上若是的真子集，则或或0， 则是的真子集的一个充分不必要的条件是， 故选：． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据真子集的定义求出的取值是解决本题的关键． 【例7-2】．（2020秋•沈阳期中）一次函数的图像同时经过二，三，四象限的一个充分不必要条件是　　 A． B． C．， D．， 【分析】利用一次函数图像的特征，求出，，由充分条件与必要条件的定义分析判断即可． 【解答】解：因为一次函数的图像同时经过二，三，四象限， 所以，解得，， 所以它的一个充分不必要条件是它的真子集， 根据选项，只有选项符合． 故选：． 【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，一次函数图像特征的理解与应用，属于基础题． 【变式7-1】．设集合，，则是的真子集的一个充分不必要的条件是 　 　． 【分析】先通过解方程求得集合，再利用子集定义，分为空集和为一元素集，即可得命题的充要条件，最后依题意写出充要条件的一部分，即为命题的充分不必要条件 【解答】解：，， 若，则，， 若，则， 若，则， 等价于或或， 故的一个充分不必要条件是（也可为或． 故答案为：（也可为或． 【点评】本题主要考查了命题充要条件与集合间的关系，求命题的一个充分不必要条件的方法，一元二次方程和一元一次方程的解法，属基础题． 【变式7-2】．已知：一次函数，为常数，的图象经过第一、三、四象限，，则是的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】化简条件，得到对应的、的取值范围，进而根据充要条件的定义得出结论． 【解答】解：若一次函数，为常数，的图象经过第一、三、四象限， 则且，即条件且． 当且时，可推出，充分性成立； 若，则、一正一负，不一定有且，必要性不成立． 综上所述，是充分不必要条件． 故选：． 【点评】本题主要考查一次函数的图象与性质、充要条件的判断等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题． 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分，必要条件的定义判定即可. 【详解】因为，即充分性成立， 当，可知，此时不成立，即必要性不成立， 故“”是“”的是充分不必要条件. 故选：B 2．（23-24高一上·湖北·期中）设，则“”是“”的（        ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由可得，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】由可得， 由“”不能推出“”， 但由“”可以推出“”． 故“”是“”的必要而不充分条件． 故选：B. 3．（22-23高一上·上海长宁·期中）“”是“关于的不等式的解集为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据“关于的不等式的解集为”求得的范围，从而可判断两个条件之间的关系. 【详解】解：关于的不等式的解集为，当时，不等式为，解集为，符合题意；当时，不等式化为，则，不符合题意；当时，不等式化为，则，不符合题意；综上， 所以“”是“关于的不等式的解集为”的充要条件. 故选：C. 4．（22-23高一上·宁夏银川·阶段练习）已知，条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式性质，由的取值范围，可得的取值范围，结合充分不必要条件的定义，可得答案. 【详解】由，则，由是的充分不必要条件，则， 所以. 故选：D. 5．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）已知，若，则是的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】时，有，满足，则是的充分条件； 时，有或，不能得到，则不是的必要条件. 所以是的充分非必要条件. 故选：A 6．（23-24高一上·贵州·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解方程，求出方程的根，分别从充分性，必要性两方面验证即可. 【详解】由，得，解得或, 所以时，具有充分性； 而时，或，不具有必要性. 故选：B 7．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知命题：，命题：，则命题是命题的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】利用命题概念、充分条件、必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件的定义分析运算判断即可得解. 【详解】已知命题：成立，则且，故， 即命题：成立； 已知命题：成立，则或，比如，，则， 即命题：不一定成立； 综上，命题是命题的充分不必要条件. 故选：A. 8．（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）若实数满足，且，则称与互补．记，那么是与互补的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解：因为， 所以，即， 显然， 所以，所以，且， 所以是与互补的充分条件； 当与互补时，则有，且， 所以，中至少有一个数为0， 所以，， 所以， 所以是与互补的必要条件； 所以是与互补的充要条件. 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知命题p：，q：，则下列说法正确的有（    ） A．p是q的必要条件 B．p是q的充分条件 C．p是q的充要条件 D．q是p的必要条件 【答案】BD 【分析】根据充分条件和必要条件的定义直接得到答案. 【详解】命题p：，q：，则p是q的充分条件，q是p的必要条件. 故选：BD 10．（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件是（     ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 【答案】ABD 【分析】根据四边形的性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】对选项A：对角线相等的菱形是正方形，正确； 对选项B：邻边相等的矩形是正方形，正确； 对选项C：对角线相等的平行四边形是矩形，错误； 对选项D：有一个角是直角的菱形是正方形，正确； 故选：ABD 11．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知全集为，下列选项中，“”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据充要条件的定义结合集合的运算，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，若，则有，又当，有，所以选项A正确； 对于选项B，若，则有，又当，有，所以选项B正确； 对于选项C，若，则，可得到，但，得不出，即得不出，所以选项B不正确； 对于选项D，，则有，得不出，所以选项D不正确； 故选：AB. 三、填空题 12．（23-24高一上·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据充要条件定义可直接构造方程求得结果. 【详解】命题是命题的充要条件，，解得：. 故答案为：. 13．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为 ． 【答案】 【分析】先求得，然后根据必要不充分条件的知识求得集合. 【详解】依题意，， 若，则，满足是的必要不充分条件. 当时，， 由于是的必要不充分条件，所以或， 解得或， 综上所述，的所有可能取值构成的集合为. 故答案为： 14．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 【答案】 【分析】由绝对值的几何意义求出集合，依题意，即可求出参数的值. 【详解】由，可得，解得， 所以， 又命题“”是命题“”的充要条件且， 则，所以. 故答案为： 四、解答题 15．（22-23高一上·云南昆明·期中）已知集合， ，请在①充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的________条件，判断实数是否存在？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由集合运算得出集合关系，通过包含得出结果； （2）分别将题目中给出的三个不同条件转化为集合之间的包含（或相等）关系，根据集合之间的包含（或相等）关系，得出结果. 【详解】（1）若，则， 则，解得， 所以实数的取值范围是． （2）若选择条件，即是的充分条件，则， 所以，解得， 所以实数的取值范围是； 若选择条件，即是的必要条件，则， 所以，解得． 又，所以， 所以实数的取值范围是； 若选择条件，即是的充要条件，则， 所以，方程组无解， 所以不存在满足条件的实数． 16．（23-24高一上·江西赣州·期末）已知集合，． (1)若，求； (2)若______，求实数的取值范围． 请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，解答相应问题． ①；②“”是“”充分不必要条件；③． 【答案】(1)或 (2)分类讨论，答案见解析 【分析】（1）借助集合交并补的运算性质计算即可得； （2）选①可得，结合子集性质即可得；选②可得，结合真子集性质即可得；选③可得或，计算即可得. 【详解】（1）当时，， 则， 由于，因此或； （2）因为，所以， 若选取①：因为，所以， 所以，解得， 即的取值范围是. 若选取②：由“”是“”的充分不必要条件， 可得， 则或， 解得， 即的取值范围是. 若选取③：因为， 所以或，解得或， 即的取值范围是. 17．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）设集合． (1)，求； (2)若“”是“”的必要条件，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据补集和交集概念进行求解； （2）先得到，分和两种情况，得到不等式，求出m的取值范围. 【详解】（1）当时，，故或， 又，故 （2）“”是“”的必要条件，故， 当时，，∴，符合题意； 当时，需满足，解得 综上所述，m的取值范围为或. 18．（23-24高一上·福建泉州·期中）设全集，集合，集合. (1)当时，求及； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）先求出当时的集合，然后根据集合的交并补运算即可得解. （2）当且仅当满足题意，由此即可列出不等式组，运算即可得解. 【详解】（1）当时，，又， 所以，或，. （2）若“”是“”的充分条件，则当且仅当，即， 解得，即实数的取值范围为. 19．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）已知：：或. (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）先求出范围，依题意是的充分条件，由集合之间的包含关系，列出不等式求解即可； （2）先写出的范围，由p是的必要不充分条件，则表示的集合是所表示集合的真子集，列出不等式求解即可. 【详解】（1）因为p：，所以p：，即， 因为p是q的充分条件，所以或， 解得或，即实数的取值范围是或； （2）依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以，其中等号不能同时取到， 解得，即实数m的取值范围是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$