第1章 空间向量与立体几何（数学思想方法+高考真题精讲+过关检测）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修一）

第1章 空间向量与立体几何（数学思想方法+高考真题精讲+过关检测） 题型1数形结合思想 【例题1】（24-25高二上·上海·课后作业）如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为 ． 【变式3】（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）如图，在四棱柱中，平面，底面是平行四边形，． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 题型2转化与化归思想 【例题2】（23-24高二上·陕西渭南·期末）在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·河北承德·阶段练习）如图，已知四边形ABCD、ABEF都是正方形，若二面角为，则异面直线AC与BF所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，点E、O分别是，的中点，P在正方体内部且满足．则下列说法正确的是 ．（填序号） ①点A到直线BE的距离是； ②点O到平面的距离是； ③平面与平面间的距离为； ④点P到直线AB的距离为， 【变式3】（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在正方体中，已知棱长为4，点E，F分别在，上，. (1)求异面直线AE和所成角的余弦值; (2)求直线AE和平面所成角的正弦值； (3)求平面和平面所成角的余弦值. 考点1：求直线与平面所成的角 【例题3】（2021·浙江·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【变式1】（2022·全国·高考真题）如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 【变式2】（2022·全国·高考真题）在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求PD与平面所成的角的正弦值． 【变式3】（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 考点2：二面角 【例题4】（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【变式1】（2024·天津·高考真题）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点． (1)求证平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 【变式2】（2024·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【变式3】（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）将边长为1的正方形及其内部绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与C在平面的同侧，则直线与平面所成的角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）三棱柱的侧棱与底面垂直，，，N是BC的中点，点P在上，且满足，当直线PN与平面ABC所成的角最大时的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 3．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形为正方形，平面平面，且为正三角形，，为的中点，则下列命题中错误的是（    ） A． B．∥平面 C．直线与所成角的余弦值为 D．二面角大小为 4．（22-23高二上·河南郑州·期末）如图，在四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点，则下列结论不正确的是（    ） A．平面PAB B．平面平面ABCD C．点E到平面PAB的距离为 D．二面角的正弦值为 5．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知正三棱柱的各棱长都为2，以下选项正确的是（    ）    A．异面直线与垂直 B．与平面所成角的正弦值为 C．平面与平面夹角的余弦值为 D．点C到直线的距离为 6．（23-24高二上·北京房山·阶段练习）已知长方体中，，，则平面与平面所成锐二面角的正切值为（     ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·北京·阶段练习）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为，的中点，则下列结论中错误的是（    ）    A．直线与直线AE的距离为 B．直线与平面的距离为 C．直线与底面ABCD所成的角为 D．平面与底面ABCD夹角的余弦值为 8．（23-24高二上·山东滨州·期末）如图，长方体中，，点是棱的中点，设直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·江西九江·期末）在长方体中，，，则（    ） A．直线与平面所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到平面的距离为 D．点到平面的距离为 10．（23-24高二上·全国·期末）已知正方体的棱长为，下列四个结论中正确的是（    ） A．直线与直线所成的角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．平面 D．点到平面的距离为 11．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）如图，四边形为正方形，平面平面，且为正三角形，为的中点，则下列命题中正确的是（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．二面角大小为 三、填空题 12．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在长方体中，，，则与平面所成的角的正弦值为 ． 13．（22-23高二上·辽宁辽阳·期末）已知平面α的一个法向量为，，，则直线AB与平面α所成角的正弦值为 . 14．（22-23高二上·湖北十堰·期末）如图所示，在几何体中，，平面，则点E到直线的距离为 、直线与平面所成角的正弦值为 ． 四、解答题 15．（23-24高二下·青海海东·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，F，E分别是PB，PC的中点． (1)证明：； (2)求平面ADEF与平面PCD的夹角． 16．（23-24高二上·福建福州·期末）在长方体中，底面为正方形，，，为中点，为中点. (1)求证：平面； (2)求与平面成角的正弦值. 17．（23-24高二上·陕西西安·期末）在四棱锥中，平面平面，底面是边长为的正方形，，取的中点，连接.请建立适当的空间直角坐标系，并解答下列问题：    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值. 18．（24-25高二上·江苏·假期作业）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 19．（21-22高二上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面．    (1)求证：； (2)求平面APB与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 空间向量与立体几何（数学思想方法+高考真题精讲+过关检测） 题型1数形结合思想 【例题1】（24-25高二上·上海·课后作业）如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可知，延长与交于，连接，则由题意可得∥，令，，则利用不同的方法将用表示，可求出，然后利用三角形相似可求得结果. 【详解】由条件可知，延长与交于，连接， 因为平面， 平面，平面平面， 所以∥， 令，， 则有， ， 根据向量基底表示法的唯一性， 得解得 ∥， ，， ． 故选：D 【变式1】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建系，求出相关点的坐标，用表示出，证明平面，求得平面的法向量，由条件得到，将的表达式整理成二次函数，利用其最小值即得. 【详解】 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则有, 依题意，， , 于是，. 又因平面，平面,则, 又,平面，故平面, 故平面的法向量可取为， 因平面，故，即. 则 ， 因，故当时，. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】由面面垂直的性质定理结合题意可证得，，两两垂直，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别表示出，，再由异面直线所成角的向量公式代入即可得出答案. 【详解】取的中点，连接，，因为，所以． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又，所以， 可得，，两两垂直，所以以为坐标原点， ，，的方向分别为，，轴的正方向， 建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，所以， ， 所以， 又异面直线所成角的取值范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）如图，在四棱柱中，平面，底面是平行四边形，． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明出平面，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，，求出，再利用角三角函数的基本关系求解即可； （2）直接利用空间向量求解点到面的距离即可． 【详解】（1）连接，相交于点O，连接，相交于点， 由，可得为等边三角形， 又由O为的中点，可得，，， 因为，， 所以， 又因为平面，所以平面， 由上知，，两两垂直，以O为坐标原点，，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 有，，，，，，， 设平面的法向量为， 由，， 有， 取，，，可得平面的一个法向量为， （1）由， 有，，， 有， 故直线与平面所成角的正弦值为； （2）由，有， 可得点到平面的距离为 题型2转化与化归思想 【例题2】（23-24高二上·陕西渭南·期末）在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，结合二面角是锐角以及法向量夹角余弦的坐标运算公式即可得解. 【详解】过点作交于点， 因为平面，平面， 所以， 又因为，，所以， 所以两两互相垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 因为，，为的中点， 所以， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，解得，即可取， 显然可取平面的法向量为，且二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 故选：A 【变式1】（23-24高二上·河北承德·阶段练习）如图，已知四边形ABCD、ABEF都是正方形，若二面角为，则异面直线AC与BF所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得，结合空间向量的运算，可得，再由空间向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】根据题意可知，即为二面角的平面角，所以， 设正方形边长为1，异面直线AC与BF所成的角为， ，，，． 所以， 即， 所以， 即，，所以． 故选：C 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，点E、O分别是，的中点，P在正方体内部且满足．则下列说法正确的是 ．（填序号） ①点A到直线BE的距离是； ②点O到平面的距离是； ③平面与平面间的距离为； ④点P到直线AB的距离为， 【答案】①②③④ 【分析】建立空间直角坐标系后利用向量法求点到面，面与面的距离. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，所以，． 设，则，． 故到直线的距离，故①正确； 易知，平面的一个法向量， 则点到平面的距离，故②正确； ，，． 设平面的法向量为，则，所以 令，得，，所以． 所以点到平面的距离． 因为平面平面， 所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面间的距离为，故③正确； 因为，所以，又，则， 所以点到直线的距离．故④正确． 故答案为：①②③④. 【变式3】（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在正方体中，已知棱长为4，点E，F分别在，上，. (1)求异面直线AE和所成角的余弦值; (2)求直线AE和平面所成角的正弦值； (3)求平面和平面所成角的余弦值. 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间角的向量求法分别求出线线角、线面角、面面角. 【详解】（1）在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 于是，， 所以异面直线AE和所成角的余弦值. （2）由（1）知，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 于是， 所以直线AE和平面所成角的正弦值. （3）由（2）知，平面的法向量，显然平面为， 则， 所以平面和平面所成角的余弦值为 考点1：求直线与平面所成的角 【例题3】（2021·浙江·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）要证，可证，由题意可得，，易证，从而平面，即有，从而得证； （2）取中点，根据题意可知，两两垂直，所以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量和平面的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出． 【详解】（1）在中，，，，由余弦定理可得， 所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以． （2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系, 则, 又为中点，所以. 由（1）得平面，所以平面的一个法向量 从而直线与平面所成角的正弦值为． 【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明，可以考虑， 题中与有垂直关系的直线较多，易证平面，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出 【变式1】（2022·全国·高考真题）如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)与平面所成的角的正弦值为 【分析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可. 【详解】（1）因为，E为的中点，所以； 在和中，因为， 所以，所以，又因为E为的中点，所以； 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）连接，由（1）知，平面，因为平面， 所以，所以， 当时，最小，即的面积最小. 因为，所以， 又因为，所以是等边三角形， 因为E为的中点，所以，， 因为，所以, 在中，，所以. 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 又因为，所以， 所以， 设与平面所成的角为， 所以， 所以与平面所成的角的正弦值为. 【变式2】（2022·全国·高考真题）在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求PD与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案. 【详解】（1）证明：在四边形中，作于，于， 因为， 所以四边形为等腰梯形， 所以， 故，， 所以， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ， 则， 则， 设平面的法向量， 则有，可取， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 【变式3】（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、，由平面知识易得，再根据二面角的定义可知，，由此可知，，，从而可证得平面，即得； （2）由（1）可知平面，过点做平行线，所以可以以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，以及，即可利用线面角的向量公式解出． 【详解】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、． ∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，， ∵，且， ∴平面是二面角的平面角，则， ∴是正三角形，由平面，得平面平面， ∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面． （2）因为平面，过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，则， 设平面的法向量为 由，得，取， 设直线与平面所成角为， ∴． 考点2：二面角 【例题4】（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可. 【详解】（1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 【变式1】（2024·天津·高考真题）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点． (1)求证平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【详解】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为 【变式2】（2024·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】（1）结合已知易证四边形为平行四边形，可证，进而得证； （2）作交于，连接，易证三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解. 【详解】（1）因为为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面，所以平面； （2）如图所示，作交于，连接， 因为四边形为等腰梯形，，所以， 结合（1）为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，为中点，所以， 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，， 因为，所以，所以互相垂直， 以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， ，，， ，设平面的法向量为， 平面的法向量为， 则，即，令，得，即， 则，即，令，得， 即，，则， 故二面角的正弦值为. 【变式3】（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【详解】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）将边长为1的正方形及其内部绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与C在平面的同侧，则直线与平面所成的角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】由题意，，， 如图所示，建立空间直角坐标系．    则， ∴ 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， ∴． 故选：D． 2．（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）三棱柱的侧棱与底面垂直，，，N是BC的中点，点P在上，且满足，当直线PN与平面ABC所成的角最大时的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN与平面ABC所成的角，即可求得结论． 【详解】如图，以AB，AC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 平面ABC的一个法向量为， 设直线PN与平面ABC所成的角为， ， 当时，，此时角最大． 故选：D．      3．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形为正方形，平面平面，且为正三角形，，为的中点，则下列命题中错误的是（    ） A． B．∥平面 C．直线与所成角的余弦值为 D．二面角大小为 【答案】B 【分析】取CD的中点O，连接OP，证明出平面ABCD，以O为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断选项的正误. 【详解】 解：取CD的中点O，连接OP，因为为正三角形，O为CD的中点，则，平面平面，平面平面，平面，所以平面ABCD，又因为四边形为正方形，以O为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，则，选项A正确； ，易知平面的一个法向量为，所以，故AM与平面不平行，选项B错误； ，，所以直线与所成角的余弦值为，选项C正确； 设平面的一个法向量为，，，则，取，则，所以，由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角大小为，选项D正确； 故选：B. 4．（22-23高二上·河南郑州·期末）如图，在四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点，则下列结论不正确的是（    ） A．平面PAB B．平面平面ABCD C．点E到平面PAB的距离为 D．二面角的正弦值为 【答案】B 【分析】利用线面平行的判定定理即可判断A；几何法找二面角的平面角，确定角度大小即可判断B；建立空间直角坐标系，根据空间向量计算点到平面的距离，即可判断C；根据空间向量计算二面角的余弦值，进而求正弦值，从而判断D； 【详解】对于A：取的中点为，连接， 因为为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B：取为，连接所以，且， 又因为是等腰直角三角形，所以， 且平面，且， 所以平面，所以为平面与平面的夹角， 又因为，所以平面，且平面，所以， ，而，所以，故B错误； 对于C：以为原点，所在直线为轴，在平面内，作平面，建立如图所示空间直角坐标系， 则 因为 所以， 所以， 所以 设平面的法向量为， 则有即，令 则， 所以，所以点到平面的距离为，故C正确； 对于D：设平面的法向量为， 则有即，令则， 所以， 设二面角的大小为，则， 所以.故D正确. 故选：B 5．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知正三棱柱的各棱长都为2，以下选项正确的是（    ）    A．异面直线与垂直 B．与平面所成角的正弦值为 C．平面与平面夹角的余弦值为 D．点C到直线的距离为 【答案】B 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系,由空间向量法求空间角、距离，判断垂直． 【详解】如图，以为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ， ，与不垂直，A错； 平面的一个法向量为， ， 所以与平面所成角的正弦值为，B正确； 设平面的一个法向量是，又， 由得，令得， 平面的一个法向量是， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为，C错； ， ，， 所以点C到直线的距离为，D错； 故选：B． 6．（23-24高二上·北京房山·阶段练习）已知长方体中，，，则平面与平面所成锐二面角的正切值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 可得， 可知平面的法向量， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设平面与平面ABCD所成的锐二面角为， 则， 可得， 所以平面与平面所成锐二面角的正切值. 故选：A. 7．（23-24高二上·北京·阶段练习）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为，的中点，则下列结论中错误的是（    ）    A．直线与直线AE的距离为 B．直线与平面的距离为 C．直线与底面ABCD所成的角为 D．平面与底面ABCD夹角的余弦值为 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】在棱长为1的正方体中， 如图，以D为原点，以所在直线为轴距离空间直角坐标系，    则，，，， 对A，，则， ，所以， 设直线与直线的距离，即为到直线的距离为， 则，A正确； 对B，直线到平面的距离即为点到平面的距离， 由A知， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，， 设点到平面的距离为， 则， 即直线与平面的距离为，B正确； 对C，，平面的法向量为， ， 故直线与底面ABCD所成的角的正弦值为，C错误； 对D，由B知平面的法向量为 ， 又由图知，平面与底面ABCD的夹角为锐角， 故平面与底面ABCD的夹角的余弦值为，故D正确. 故选：C 8．（23-24高二上·山东滨州·期末）如图，长方体中，，点是棱的中点，设直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量可分别求得，，即可得结果. 【详解】根据题意建立以D为坐标原点的空间直角坐标系，如下图所示： 则, 可得， 易知，且，所以； 易得平面的一个法向量为， 因此可得，又，可得， 因此. 故选：C 二、多选题 9．（23-24高二上·江西九江·期末）在长方体中，，，则（    ） A．直线与平面所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到平面的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】在长方体中，，，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图， ，，，，，，，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 对于， 设直线与平面所成角为， 直线与平面所成角的正弦值为：; 直线与平面所成角的余弦值为，故A错误； 对于B，，设直线与平面所成角为， 则，直线与平面所成角的正弦值为，故B正确； 对于，点到平面的距离为，故C正确； 对于， 点到平面的距离为，故D正确． 故选：BCD． 10．（23-24高二上·全国·期末）已知正方体的棱长为，下列四个结论中正确的是（    ） A．直线与直线所成的角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．平面 D．点到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】如图建立空间直角坐标系，求出和的坐标，由可判断A；证明，，再由线面垂直的判定定理可判断C；计算的值可得线面角的正弦值，再求出夹角的余弦值可判断B；利用向量求出点到平面的距离可判断D. 【详解】如图以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，， ，，， 对于A：，， 因为，所以，即，直线与直线所成的角为，故选项A正确； 对于C：因为 ，，， 所以，，所以，， 因为，平面，所以平面，故选项C正确； 对于B：由选项C知：平面，所以平面的一个法向量， 因为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为， 所以直线与平面所成角的余弦值为，故选项B正确； 对于D：因为，平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为，故选项D不正确. 故选：ABC. 11．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）如图，四边形为正方形，平面平面，且为正三角形，为的中点，则下列命题中正确的是（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．二面角大小为 【答案】ACD 【分析】取的中点，连接，则平面，以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，利用空间向量逐项判断选项. 【详解】取的中点，连接， 因为为等边三角形，为的中点，则， 因为平面平面，平面平面平面， 所以，平面， 又因为四边形为正方形，以点为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， ､， ，则，故A正确； ，易知平面的一个法向量为 ，故与平面不平行，故B错误； 由图知直线与为异面直线，故C正确； 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以，， 由图可知，二面角的平面角为锐角， 故二面角为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在长方体中，，，则与平面所成的角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 设与平面所成角的大小为， 则， 与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 13．（22-23高二上·辽宁辽阳·期末）已知平面α的一个法向量为，，，则直线AB与平面α所成角的正弦值为 . 【答案】 【分析】根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】因为， 所以直线AB与平面α所成角的正弦值为. 故答案为： 14．（22-23高二上·湖北十堰·期末）如图所示，在几何体中，，平面，则点E到直线的距离为 、直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】建立坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】以A为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则． ． 因为，所以，所以点E到直线的距离为． 记平面的法向量为， 则令，得． 因为，所以直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为：； 四、解答题 15．（23-24高二下·青海海东·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，F，E分别是PB，PC的中点． (1)证明：； (2)求平面ADEF与平面PCD的夹角． 【答案】(1)证明见解析 (2)60° 【分析】（1）由线面垂直得到，结合正方形性质得到线面垂直，得到，再由三线合一得到线线垂直，证明出线面垂直，得到； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，得到两个平面的夹角. 【详解】（1）∵平面ABCD，平面， ∴， 又四边形ABCD为正方形， 故，AB，PA为平面PAB上的相交直线， ∴平面PAB， ∵平面， ∴， ∵等腰三角形PAB中F是PB的中点， ∴， ∵，平面， ∴平面ADEF， ∵平面ADEF， ∴． （2）平面ABCD，平面， 故， 易知AB，AD，AP两两垂直，故分别以其所在直线为坐标轴建系， 如图所示，则，，，，，， 由（1）得平面ADEF， 可得平面ADEF的一个法向量， 设平面PCD的一个法向量， 则， 解得，令得，故， ∴， 设平面ADEF与平面PCD的夹角为，则， 故， ∴平面ADEF与平面PCD的夹角为60°． 16．（23-24高二上·福建福州·期末）在长方体中，底面为正方形，，，为中点，为中点. (1)求证：平面； (2)求与平面成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）法1：构造平行四边形，证明线线平行，即可证明线面平行；法2：利用向量法证明线面垂直； （2）利用向量法求线面角. 【详解】（1）法1：取的中点,连接,, 依题意可知：且,且 所以且,四边形为平行四边形，故， 又平面,平面,所以平面.    法2：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ，，，,, ，， 设平面的法向量， 则，取，得， ,又面，所以平面，    （2）由（1）， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的余弦值为. 17．（23-24高二上·陕西西安·期末）在四棱锥中，平面平面，底面是边长为的正方形，，取的中点，连接.请建立适当的空间直角坐标系，并解答下列问题：    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用坐标法可得异面直线夹角； （2）利用坐标法可得线面夹角. 【详解】（1）   ，且为的中点， ， 又平面平面，且平面平面， 则平面， 取中点， 则， 则以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （2）由（1）得， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则， ， 所以与平面所成角的正弦值为. 18．（24-25高二上·江苏·假期作业）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）易证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理即可证明； （2）取的中点，连结，，则，，，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角即可． 【详解】（1）由题意得：，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 而平面，平面， 所以平面； （2）取的中点，连结，， 由已知得，是边长为2的等边三角形， 是以为腰的等腰三角形， 则，，所以，，， 故，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则， 所以， ， 故二面角的正弦值． 19．（21-22高二上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面．    (1)求证：； (2)求平面APB与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)不存在，理由见详解 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，即可得结果； （2）建系标点，分别求平面APB与平面法向量，利用空间向量求面面夹角； （3）设，分析可知∥，列式求解即可判断. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且，平面，可得平面， 因为平面，所以. （2）取中点，连接， 因为，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 可得平面， 由平面，可得， 因为，则， 可知四边形是平行四边形，则， 如图，以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系，    则 可得， 设平面APB的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 则， 所以平面APB与平面夹角的余弦值为. （3）设， 且，则， 若平面，则∥，可得，方程无解， 所以不存在点，使得平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$