第三章 圆锥曲线 章末总结与测试-2024-2025学年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

第三章 圆锥曲线 章末总结及测试 考点一 定义 1．（2024·陕西商洛）已知椭圆的长轴长为20，离心率为，左､右焦点为，若上的点满足，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东日照·一模）过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 3（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B．1 C．2 D．3 4（2024·江西宜春 ）（多选）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，坐标原点为O．若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的面积为2 D．的内切圆半径为 5．（23-24高二上·江苏泰州·期末）（多选）下列结论正确的是（    ） A．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8 B．椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为6 C．双曲线上一点到一个焦点的距离为1，则点到另一个焦点的距离为 D．双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则点到另一个焦点的距离为1 6．（23-24 河北秦皇岛·开学考试）（多选）为抛物线上的动点，动点到点的距离为（F是的焦点），则（    ） A．的最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最小值为 考点二 标准方程 1．（2024安徽·期中）与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·辽宁营口·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东珠海·期末）已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，且一条渐近线方程为：，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点关于其准线的对称点为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二·上海·随堂练习）已知抛物线C：的焦点与椭圆的右焦点重合，顶点为椭圆的中心，则抛物线C的标准方程为 ． 考点三 离心率 1．（23-24高二上·江西赣州·期中）中国刺绣作为一项传统手工技艺，是中国传统文化的一个重要组成部分．某个椭圆形的刺绣艺术品的尺寸如图所示，则这个椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北武汉 ）已知椭圆C： （）的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25 湖北武汉·开学考试）已知双曲线的右顶点为，若以点为圆心，以为半径的圆与的一条渐近线交于两点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点B是双曲线上位于第二象限的点．直线与双曲线交于另一点A，，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．   考点四 直线与曲线的位置关系 1．（2024·湖南衡阳）已知直线与椭圆相切，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2024·全国·模拟预测）在区间内随机抽取一个实数，则事件“直线与双曲线的两个交点分别在双曲线左、右两支上”发生的概率为（   ） A．1 B． C． D． 5．（2024·江苏宿迁 ）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点五 弦长 1．（2023高二上·江苏·专题练习）设直线与椭圆相交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·单元测试）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于点两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25 河南·开学考试）已知是双曲线的左焦点，过点的直线与交于两点（点在的同一支上），且，则（    ） A．6 B．8 C． D． 4．（2024·河北·模拟预测）点为等轴双曲线的焦点，过作轴的垂线与的两渐近线分别交于两点，则的面积为（    ） A． B．4 C． D．8 5．（2023·陕西西安·模拟预测）双曲线的焦点弦长为的弦有（    ） A．8条 B．4条 C．2条 D．1条 6．（23-24高二上·北京通州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与C交于，两点，若面积是面积的2倍，则m等于（    ） A．6 B． C． D． 7．（23-24高二下·浙江杭州·期中）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·四川成都·期末）抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点．已知一束平行反射镜于轴的入射光线与抛物线 的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为 （    ）    A． B． C． D．   考点六 点差法 1．（2024·陕西安康 ）已知椭圆，过点作倾斜角为的直线与交于，两点，当为线段的中点时，直线（为坐标原点）的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西宝鸡 ）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 4．（2024北京）已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 5（2024河南·阶段练习）已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 6．（2024湖北·阶段练习）已知斜率为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，的中点为，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点七 轨迹方程 1．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）平面直角坐标系中，等边的边长为，M为BC中点，B，C分别在射线，上运动，记M的轨迹为，则（    ） A．为部分圆 B．为部分线段 C．为部分抛物线 D．为部分椭圆 2（23-24高二下·湖北黄冈·阶段练习）已知三角形的周长为，且，，则顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知点为圆上的动点，点，延长至，使得，线段的垂直平分线交直线于点，记的轨迹为.则的方程为 . 4．（2024高三·全国·专题练习）已知点与点，是动点，且直线与的斜率之积等于求动点的轨迹方程 ; 5 ．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C.求C的方程 . 考点八 实际应用 1．（2024·重庆 ）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 3（2024湖北荆州 ）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚.已知各观测点到该中心的距离是.则该巨响发生在接报中心的（  ）处.（假定当时声音传播的速度为3，相关各点均在同一平面上） A．西偏北方向，距离 B．东偏南方向，距离 C．西偏北方向，距离 D．东偏南方向，距离 4．（23-24高三上·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·浙江嘉兴·期中）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒：若，则的长轴长与的实轴长之比为（    ）    A． B． C． D． 6（2024·新疆·一模）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点. 如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆T与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与T反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S 去掉，如图②，此光线从点发出，经T两次反射后又回到了点历时秒.已知，则T的离心率与S的离心率之比 . 一、单选题 1．（23-24高二下·广西桂林·期中）已知椭圆的两个焦点为上有一点，则的周长为（    ） A． B．20 C． D．16 2．（23-24高二上·江西赣州·期中）以椭圆的焦点为焦点，离心率的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知椭圆，则“”是“椭圆C的离心率为”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上的一点，C在点P处的切线与C的渐近线交于M，N两点，O为坐标原点，给出下列四个结论： ①直线的斜率的取值范围是； ②点P到C的两条渐近线的距离之积为； ③； ④． 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高二·上海·随堂练习）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·安徽亳州·期末）设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川内江·模拟预测）已知双曲线C的方程为，过点作直线与双曲线左右两支分别交于点M，N.若，则直线的方程为（ ） A．     B． C． D． 8．（23-24高二下·安徽·期末）关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆：的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M，过M作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·上海·期末）已知曲线C：，下列结论中正确的有（    ） A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若，则C是圆，其半径为 C．若，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若，，则C是两条直线 10．（23-24 江苏无锡 ）设椭圆的左､右焦点分别为、，左､右顶点分别为A、B，点P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．离心率 B．面积的最大值为1 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．动点P到点的距离的最小值为 11．（江苏省南通市名校联盟2025届新高三暑期学习（全国普通高考调研模拟测试）数学试题）已知抛物线Γ：的焦点为F，P为Γ上一动点．过F且斜率大于0的直线与Γ交于不同的两点A，B，且满足，．则下列说法错误的是（    ） A．直线AB的倾斜角大于60° B．若，则 C．点P可能在第一象限 D．直线PB的横截距不可能是 三、填空题 12．（24-25高二·上海·课堂例题）已知点，直线，若动点P到l的距离等于，则点P的轨迹是 ． 13．（24-25高二·上海·随堂练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为 ． 14．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C：的上顶点为A，右顶点为B，点P在线段AB上（不包括端点），O为坐标原点，直线OP与椭圆相交于M，N两点，点M在第一象限，则的最大值为 ． 四、解答题 15．（24-25高二下·上海·期末）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线； (2)写出曲线的两条性质； (3)过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点．证明：是直角三角形． 16．（2024高三·全国·专题练习）已知直线：交椭圆：于A，B两点，为椭圆上一点． (1)证明； (2)求的最大值． 17．（23-24 河南郑州·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，双曲线的上焦点为，直线，且既是的渐近线也是的渐近线． (1)求的方程； (2)过作与轴不垂直的直线与的右支交于点，若点在轴上，且，求证：为定值，并求出该定值． 18．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1 (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于A，B两点，且，求直线的方程． 19．（2024·陕西铜川 ）已知椭圆C：的右顶点为，离心率为，过点的直线l与C交于M，N两点． (1)若C的上顶点为B，直线BM，BN的斜率分别为，，求的值； (2)过点M且垂直于x轴的直线交直线AN于点Q，证明：线段MQ的中点在定直线上． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆锥曲线 章末总结及测试 考点一 定义 1．（2024·陕西商洛）已知椭圆的长轴长为20，离心率为，左､右焦点为，若上的点满足，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知，，解得椭圆， 的左､右焦点为，若上的点满足， 由椭圆定义得①. 由余弦定理得②，联立①②， 得， 的面积是. 故选：A. 2．（2024·山东日照·一模）过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 【答案】C 【解析】由双曲线方程可知：， 可知双曲线方程的左、右焦点分别为，， 圆的圆心为（即），半径为； 圆的圆心为（即），半径为． 连接，，，，则， 可得 ， 当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为30. 故选：C. 3（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】因为双曲线C：，所以， 因为，所以，所以， 由双曲线的定义知：， 两边同时平方得：， 所以，故. 故选：D 4（2024·江西宜春 ）（多选）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，坐标原点为O．若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的面积为2 D．的内切圆半径为 【答案】ACD 【解析】法1：由题意得，，则，． 由对称性可设（，），，，， 由，解得，又，， 所以，， 所以． 由椭圆的定义得， 在中，由余弦定理，得， 即， 解得，故A正确； ，故B错误； 的面积为，故C正确； 设的内切圆半径为r，由的面积相等，得， 即，解得，故D正确． 故选：ACD． 法2：设，，．易知，， 由极化恒等式，得，故B错误； 由中线长定理得，由椭圆定义得， 所以，所以， 所以，故A正确； 由，得，所以，故C正确； 设的内切圆半径为r，由的面积相等，得， 即，解得，故D正确． 故选：ACD． 5．（23-24高二上·江苏泰州·期末）（多选）下列结论正确的是（    ） A．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8 B．椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为6 C．双曲线上一点到一个焦点的距离为1，则点到另一个焦点的距离为 D．双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则点到另一个焦点的距离为1 【答案】AC 【解析】对于A：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为，正确； 对于B：椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为，B错误； 对于C：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为，C正确； 对于D：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为或，D错误. 故选：AC. 6．（23-24 河北秦皇岛·开学考试）（多选）为抛物线上的动点，动点到点的距离为（F是的焦点），则（    ） A．的最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最小值为 【答案】BCD 【解析】抛物线焦点坐标为， 动点到距离为    设点为，则 整理得，，即， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设点为，则点到距离 时，最小为， 最小值为，故A错误. 点为，最小为最小值为1， 最小为，故B正确. 等于点到直线的距离， 最小值为到直线的距离减去，即，故C正确. 到的距离为 最小值为到的距离与和的最小值， 即到的距离最小值， 设为 则到距离为 当时，最小值为2， 最小值为2， 得最小值为，故D正确. 故选：BCD 考点二 标准方程 1．（2024安徽·期中）与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】椭圆方程化为标准形式，设要求解的椭圆方程为：，将点代入得，解得：，所以，C正确. 故选：C 2．（22-23高二上·辽宁营口·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为. 设双曲线的方程为， 故，解得， 故双曲线的标准方程为. 故选:A. 3．（2024·广东珠海·期末）已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，且一条渐近线方程为：，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵双曲线：的一条渐近线方程为： ∴设双曲线： ∵双曲线与椭圆有相同的焦点 ∴，解得： ∴双曲线的方程为. 故选：B. 4．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点关于其准线的对称点为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，设抛物线的方程为， 可得焦点坐标，准线方程为， 设焦点关于准线的对称点为，可得，解得， 因为点关于其准线的对称点为，可得，解得， 所以抛物线的方程为. 故选：A. 5．（24-25高二·上海·随堂练习）已知抛物线C：的焦点与椭圆的右焦点重合，顶点为椭圆的中心，则抛物线C的标准方程为 ． 【答案】 【解析】椭圆的右焦点坐标为，由题意可知抛物线的焦点坐标为， 所以抛物线C的标准方程为．故答案为：． 考点三 离心率 1．（23-24高二上·江西赣州·期中）中国刺绣作为一项传统手工技艺，是中国传统文化的一个重要组成部分．某个椭圆形的刺绣艺术品的尺寸如图所示，则这个椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以椭圆的对称中心作为坐标原点建立平面直角坐标系，则可得， 所以， 所以， 所以该椭圆的离心率， 故选：A． 2．（2024·湖北武汉 ）已知椭圆C： （）的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，取弦的中点D，连接，则，即，因为， 所以，因为O为的中点，所以D是的中点，所以， 因为，所以OD垂直平分弦，因为，， 所以，所以， 由椭圆定义可得，， 所以，解得，， 所以离心率为， 故选：A． 3．（24-25 湖北武汉·开学考试）已知双曲线的右顶点为，若以点为圆心，以为半径的圆与的一条渐近线交于两点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不妨设该圆与渐近线分别交于、点， 则，故，则， 设，则， 则有， ， 即有，则有，即， 故，即， 即，即， 故有，即，故，即. 故选：B. 4．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点B是双曲线上位于第二象限的点．直线与双曲线交于另一点A，，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，， 因为，则，则，解得 又因为，，则为的中点，所以， 则，在直角三角形中，， 即，化简得， 将代入上式得， 则， 化简得，两边同除得， 解得或1（舍去），则. 故选：A.    考点四 直线与曲线的位置关系 1．（2024·湖南衡阳）已知直线与椭圆相切，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，联立，得， 化解得， 因为直线与椭圆相切， 所以， 化简整理得，所以. 故选：C. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【解析】易知双曲线的焦点，顶点，渐近线为， 由可得该点在双曲线右顶点上方， 易得过点与双曲线有且只有一个公共点的直线中， 有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线（图1）， 有两条双曲线右支的切线（图2），共4条. 故选：D. 3（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由题意得双曲线：左焦点为， 则直线l的斜率为， 故直线l的方程为，而双曲线的渐近线方程为， 故直线l与平行，且l过双曲线的左焦点， 故直线与双曲线的交点个数是1， 故选：B 4．（2024·全国·模拟预测）在区间内随机抽取一个实数，则事件“直线与双曲线的两个交点分别在双曲线左、右两支上”发生的概率为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】联立方程组，整理得， 因为直线与双曲线的左右两支有两个交点，则方程有异号的两实数根， 所以，解得， 又因为实数为区间内的实数，由几何概型的概率计算公式得所求概率为． 故选：C． 5．（2024·江苏宿迁 ）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条， 则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为； 当直线的斜率存在时，设直线为， 则，消去整理得， 即有两个不同的解， 所以即，解得或， 所以 “”是“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件. 故选：A. 考点五 弦长 1．（2023高二上·江苏·专题练习）设直线与椭圆相交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立直线与椭圆方程， 消可得：，， 设， 则，，根据弦长公式有： . 故选：B. 2．（23-24高二上·全国·单元测试）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于点两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线与轴的交点为，则. 所以，. 因为所以. 由得，即 ，. 所以，解得 或. 因为与有两个交点， 联立 消得， 则,解得. 所以. 故选：C. 3．（24-25 河南·开学考试）已知是双曲线的左焦点，过点的直线与交于两点（点在的同一支上），且，则（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【解析】 由可得.根据对称性，不妨设过点的直线为， 联立可得. 设，则.① 由，则，又所以.② 由①②可得，所以， 解得或（舍），， 所以. 故选：D. 4．（2024·河北·模拟预测）点为等轴双曲线的焦点，过作轴的垂线与的两渐近线分别交于两点，则的面积为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【解析】设双曲线为：， 因为，解得：， 所以双曲线为：，则双曲线的渐近线为：， 所以，解得：，则， 所以为等腰直角三角形， 所以的面积为. 故选：B. 5．（2023·陕西西安·模拟预测）双曲线的焦点弦长为的弦有（    ） A．8条 B．4条 C．2条 D．1条 【答案】B 【解析】由，可得其通径为， 注意到左右顶点的距离为， 所以过一个焦点，可作满足题意与双曲线交于两支的弦有两条，交于一支的情况不存在， 结合双曲线的对称性，该双曲线满足题意的焦点弦共有4条. 故选：B. 6．（23-24高二上·北京通州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与C交于，两点，若面积是面积的2倍，则m等于（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【解析】 易得，故，设，， 直线与轴交点，面积为，面积为， 由题意得面积是面积的2倍，则， 化简得，结合， 故，解得，即，故，解得. 故选：D. 7．（23-24高二下·浙江杭州·期中）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 设， 则，所以，则， 故， 所以， 则直线的倾斜角， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 联立，消得， ， 设， 则， 所以.    故选：A. 8．（23-24高二下·四川成都·期末）抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点．已知一束平行反射镜于轴的入射光线与抛物线 的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为 （    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点在抛物线上， 所以，解得， 所以抛物线方程为. 故抛物线的焦点为， 又因为反射光线经过点及焦点， 所以反射光线的方程为， 联立抛物线方程得，解得或， 故反射光线与抛物线的交点为， 由两点距离公式得. 所以反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为. 故选：C.    考点六 点差法 1．（2024·陕西安康 ）已知椭圆，过点作倾斜角为的直线与交于，两点，当为线段的中点时，直线（为坐标原点）的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，所以， 两式相减得，即， 又，所以，整理得， 又，，所以，所以， 所以椭圆的离心率. 故选：D. 2．（2024高三·全国·专题练习）椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，的中点为，则， 由点在椭圆上得，两式相减得， 整理得， 由，，即， 将代入，解得，， 所以. 故选：D． 3．（2024·陕西宝鸡 ）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【解析】设，则，且， 所以，整理得到：， 因为是弦的中点， 所以，所以即 所以， 故选：A. 4．（2024北京）已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线交双曲线于点、，则， 由已知得，两式作差得， 所以，，即直线的斜率为， 故直线的斜率为，即.经检验满足题意 故选：B. 5（2024河南·阶段练习）已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】设，，，则， 两式相减得，所以. 因为，，所以. 因为，， 所以，，故. 故选：C 6．（2024湖北·阶段练习）已知斜率为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，的中点为，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设、、，则， 两式相减得，所以． 因为， ，所以． 因为，，所以，故， 故． 故选：A. 考点七 轨迹方程 1．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）平面直角坐标系中，等边的边长为，M为BC中点，B，C分别在射线，上运动，记M的轨迹为，则（    ） A．为部分圆 B．为部分线段 C．为部分抛物线 D．为部分椭圆 【答案】D 【解析】如图， 由题意不妨设，则， 而，即， 又， 所以，即， 因为，所以，即为部分椭圆. 故选：D. 2（23-24高二下·湖北黄冈·阶段练习）已知三角形的周长为，且，，则顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为、，所以， 又因为的周长为，得， 由椭圆的定义可知：顶点的轨迹是一个以为焦点的椭圆的一部分， 且椭圆中， ，，即， 椭圆方程为， 因为时，三点共线，不能构成三角形． 顶点的轨迹方程为， 故选：C． 3．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知点为圆上的动点，点，延长至，使得，线段的垂直平分线交直线于点，记的轨迹为.则的方程为 . 【答案】 【解析】连接，如下图所示：      因为为的中点，所以， 由垂直平分线的性质可知：， 所以， 所以的轨迹是以为焦点且实轴长为的双曲线， 所以，所以， 所以轨迹方程为， 故答案为：. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知点与点，是动点，且直线与的斜率之积等于求动点的轨迹方程 ; 【答案】 【解析】设点的坐标为， 因为， 所以，化简得. 故动点的轨迹方程为. 5 ．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C.求C的方程 . 【答案】 【解析】因为点、，的内切圆与直线相切于点， 所以， 因此根据双曲线的定义可知，点的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支， 设点的轨迹C的方程为，焦距为， 所以，， 所以，，， 所以点的轨迹方程C为. 考点八 实际应用 1．（2024·重庆 ）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图可知，，，，A不正确； ，，；B不正确； 由，可知，C不正确； ，可得，故， 即，，，即，D正确， 故选:D. 2．（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 【答案】C 【解析】由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确； 根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确； 卫星向径的最小值与最大值的比值为越大，则越小，椭圆越圆，故C错误． 因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小， 所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D正确； 故选：C． 3（2024湖北荆州 ）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚.已知各观测点到该中心的距离是.则该巨响发生在接报中心的（  ）处.（假定当时声音传播的速度为3，相关各点均在同一平面上） A．西偏北方向，距离 B．东偏南方向，距离 C．西偏北方向，距离 D．东偏南方向，距离 【答案】A 【解析】如图，以接报中心为原点，正东、正北方向为轴、轴正向，建立直角坐标系． 设、、分别是西、东、北观测点，则，，， 设为巨响为生点，由、同时听到巨响声，得，故在的垂直平分线上，的方程为，因点比点晚听到爆炸声， 故由双曲线定义知点在以、为焦点的双曲线上，依题意得，，， 故双曲线方程为，将代入上式，得，，， ，即 故 . 故巨响发生在接报中心的西偏北距中心处． 故选：A 4．（23-24高三上·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，，由题意知，，， 所以，，，所以， 又，所以，解得， 所以. 故选：B. 5．（22-23高二上·浙江嘉兴·期中）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒：若，则的长轴长与的实轴长之比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设椭圆方程为，双曲线方程为， 由图①可得， 其中，故上面两式相减得， 由图②可得， 故， 由题意得，即， 即，解得， 故的长轴长与的实轴长之比为. 故选：C 6（2024·新疆·一模）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点. 如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆T与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与T反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S 去掉，如图②，此光线从点发出，经T两次反射后又回到了点历时秒.已知，则T的离心率与S的离心率之比 . 【答案】/0.5 【解析】由得， 由椭圆定义可得， 由椭圆和双曲线定义得，， 故 ， 故，解得， 设椭圆T与双曲线S的公共焦点为， 故，所以 故答案为： 一、单选题 1．（23-24高二下·广西桂林·期中）已知椭圆的两个焦点为上有一点，则的周长为（    ） A． B．20 C． D．16 【答案】B 【解析】因为，，所以， 故的周长为． 故选：B． 2．（23-24高二上·江西赣州·期中）以椭圆的焦点为焦点，离心率的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】椭圆化为标准方程为， 焦点为， 双曲线的半焦距， 离心率， ， ， 双曲线的标准方程为． 故选：A． 3．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知椭圆，则“”是“椭圆C的离心率为”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由椭圆的方程，可得： 当时，可得，此时椭圆的离心率为， 由，可得，解得； 当时，可得，此时椭圆的离心率为， 由，可得，解得，所以 所以是椭圆C的离心率为的充分不必要条件． 故选：A. 4．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上的一点，C在点P处的切线与C的渐近线交于M，N两点，O为坐标原点，给出下列四个结论： ①直线的斜率的取值范围是； ②点P到C的两条渐近线的距离之积为； ③； ④． 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题意知，，设，又点P在C上，所以， 所以，所以直线的斜率， 所以，令，， 所以 所以，即直线的斜率的取值范围是，故①正确； C的渐近线方程为，所以点P到C的两条渐近线的距离之积为．故②错误； ，故③正确； 当时，显然C在点P处的切线的斜率存在，设点P处的切线方程为， 由得， 所以得，， 解得， 所以C在点P处的切线方程为，即． 当时，C在点P处的切线方程为，所以点P处的切线方程为． 由，解得， 由解得 又，， 所以点P是线段MN的中点，所以，故④正确． 故选：C． 5．（24-25高二·上海·随堂练习）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设椭圆的标准方程为，则椭圆的面积为，又， 联立解得．所以椭圆的标准方程为． 故选：D. 6．（23-24高二下·安徽亳州·期末）设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以．设，则． 在中，． 在中，， 所以，整理得，． 于是． 故选：D． 7．（2024·四川内江·模拟预测）已知双曲线C的方程为，过点作直线与双曲线左右两支分别交于点M，N.若，则直线的方程为（ ） A．     B． C． D． 【答案】C 【解析】设，直线的斜率为，则直线的方程为， 联立， 则①， ② 因为，则③， ①③联立解得，代入②得， 则直线的方程为或， 故答案为：C 8．（23-24高二下·安徽·期末）关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆：的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M，过M作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：， 令代入椭圆方程可得，不妨设， 则切线，即， 可知直线的斜率，切线的斜率， 由题意可知：，即. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二下·上海·期末）已知曲线C：，下列结论中正确的有（    ） A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若，则C是圆，其半径为 C．若，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若，，则C是两条直线 【答案】ACD 【解析】对于A，若，则可化为，∴，∴，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为，此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为，此时曲线C表示双曲线，由可得，故C正确； 对于D，若，，则可化为，，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确． 故选：ACD. 10．（23-24 江苏无锡 ）设椭圆的左､右焦点分别为、，左､右顶点分别为A、B，点P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．离心率 B．面积的最大值为1 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．动点P到点的距离的最小值为 【答案】BD 【解析】对于选项A，由已知得，，则，即，故A错； 对于选项B，由已知得，要使的面积最大，当底边上的高最大即可， 高的最大值即为1，则的面积最大值为，故B正确； 对于选项C，以线段为直径的圆的方程为， 则该圆的圆心到直线的距离为， 即以线段为直径的圆与直线相交，故C错； 对于选项D，设点，则 又，故时取得最小值为，故D正确． 故选：BD． 11．（江苏省南通市名校联盟2025届新高三暑期学习（全国普通高考调研模拟测试）数学试题）已知抛物线Γ：的焦点为F，P为Γ上一动点．过F且斜率大于0的直线与Γ交于不同的两点A，B，且满足，．则下列说法错误的是（    ） A．直线AB的倾斜角大于60° B．若，则 C．点P可能在第一象限 D．直线PB的横截距不可能是 【答案】AC 【解析】抛物线Γ：的焦点为， 直线过F且斜率大于0，设直线方程为，， 联立，化简得， 由韦达定理， 设，， ， 代入韦达定理得， 又点不在直线上，则，即只有， 当，即时，有实数解， 且存在点， 又，则点在第四象限，故C错误. 设直线的斜率为，则，直线的倾斜角小于等于，故A错误. 若，则，， 代入，解得， ， 所以，即，故B正确. 取，则直线的直线方程为， 联立，化简得， 方程其中一个根为点纵坐标，则另一根为， 若另一根为点纵坐标，则，此时， 代入方程无解，所以与无法垂直， 则不存在这样过的直线，即直线的横截距不可能是，故D正确. 故选：AC. 三、填空题 12．（24-25高二·上海·课堂例题）已知点，直线，若动点P到l的距离等于，则点P的轨迹是 ． 【答案】抛物线 【解析】因为，可知， 且抛物线的定义：动点到定点距离等于到定直线距离， 所以点P的轨迹是抛物线. 故答案为：抛物线. 13．（24-25高二·上海·随堂练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为 ． 【答案】 【解析】令椭圆的半焦距为，由的最小值为1，得， 由的周长为34，得，解得，，由，得， 所以椭圆C的标准方程为. 故答案为： 14．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C：的上顶点为A，右顶点为B，点P在线段AB上（不包括端点），O为坐标原点，直线OP与椭圆相交于M，N两点，点M在第一象限，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】 设 直线的斜率为，则直线的方程为：， 联立方程得， 则，所以， 因为椭圆C：的上顶点为A，右顶点为B， 所以，则直线的方程为， 因为点P在线段AB上，直线OP与椭圆相交于M，N两点，所以， 因为点M在第一象限，所以，，，则 所以，， ， 由，整理得，， 当时， 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高二下·上海·期末）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线； (2)写出曲线的两条性质； (3)过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点．证明：是直角三角形． 【答案】(1)，为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点； (2)答案见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）依题意可得， 化简得， ∴为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点； （2）曲线的上下顶点为，曲线上点到中心的距离的取值范围为等； （3）设直线的斜率为，则其方程为． 由，解得． 记，则，，． 于是直线的斜率为，方程为． 由得①， 设，则和是方程①的解，故，由此得． 从而直线的斜率为，∴，即是直角三角形． 16．（2024高三·全国·专题练习）已知直线：交椭圆：于A，B两点，为椭圆上一点． (1)证明； (2)求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 ； (2)32． 【解析】（1） 联立直线与椭圆方程，，得， 设，，∴，， ∵ ， ∴ （2）设为点到直线的距离，则， 由弦长公式得 ． 由三角形面积得， 设，则， 由于， ∴，当，即时，等号成立， ∴的最大值为32． 17．（23-24 河南郑州·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，双曲线的上焦点为，直线，且既是的渐近线也是的渐近线． (1)求的方程； (2)过作与轴不垂直的直线与的右支交于点，若点在轴上，且，求证：为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，． 【解析】（1）双曲线的渐近线方程为， 由题意得直线的斜率为负，又直线，则的方程为， 故直线的斜率为， 所以，，， 又，所以， 所以，，的方程为； （2）证明：由（1）知，设直线的方程为（且）， 与联立得， 设，，中点为， 则，，， 设，由得点在线段的垂直平分线上， 所以，， ， 所以， 所以为定值． 18．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1 (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于A，B两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为动点到直线的距离比它到定点 所以动点到直线的距离等于它到定点 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 故Γ的方程为； （2）设直线的方程为，，， 联立，消去x并整理得， 此时，由韦达定理得，， 又因，所以，则， 代入，得， 解之得 当时，直线l的方程为；与只有一个交点所以不符合 当时，直线l的方程． 故直线l的方程为． 19．（2024·陕西铜川 ）已知椭圆C：的右顶点为，离心率为，过点的直线l与C交于M，N两点． (1)若C的上顶点为B，直线BM，BN的斜率分别为，，求的值； (2)过点M且垂直于x轴的直线交直线AN于点Q，证明：线段MQ的中点在定直线上． 【答案】(1)-3 (2)证明见解析 【解析】（1）由题意知， 解得，，， 所以C的方程为， 显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，，， 由，得， 由方程的判别式，可得， 所以，， 易得，所以，， 所以 ， （2）证明：设线段MQ的中点为，又，， 所以，，即，又A，N，Q三点共线， 所以，即， 所以，又， 又 所以 ， 所以，即线段MQ的中点在定直线上． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$