第十二章 全等三角形（单元重点综合测试，人教版）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（湖南专用）

第十二章 全等三角形（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列判断正确的个数是（    ） （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）全等图形的周长都相等； （3）面积相等的两个等腰三角形是全等形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（本题3分）如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（    ） A．① B．② C．③ D．①和③ 3．（本题3分）如图，在和中，点，，，，，能判定的是（    ）    A． B． C． D． 4．（本题3分）在下列条件中，不能判定两直角三角形全等的是（ ） A．斜边和一锐角对应相等 B．斜边上的中线和一直角边对应相等 C．两边分别相等 D．直角的平分线和一直角边对应相等 5．（本题3分）下列说法错误的有(　　) ①全等三角形的对应边相等; ②全等三角形的对应角相等; ③全等三角形的面积相等; ④全等三角形的周长相等; ⑤有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等; ⑥全等三角形的对应边上的中线相等. A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 6．（本题3分）现要在一块三角形形状的草坪上安装一个洒水龙头，要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，洒水龙头的位置应选在（    ）处 A．三角形三边的垂直平分线的交点 B．三角形的三条角平分线的交点 C．三角形的三条高所在直线的交点 D．三角形的三条中线的交点 7．（本题3分）如图，有一塘，要测池塘两端，间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘就可以直接到达点，的点，连接并延长至，使，连接并延长至，使，连接．若量出米，则，间的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．（本题3分）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EC，ED为折痕，折叠后点A'，B′，E在同一直线上，则∠CED的度数为(   ) A．75° B．95° C．90° D．60° 9．（本题3分）如图所示，△ABE≌△ADC≌△ABC，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（    ） A．80° B．100° C．60° D．45° 10．（本题3分）如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于，则下列结论： ①；；．其中正确结论的序号有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）如图，四边形四边形．若，，，则的大小为 度．    12．（本题3分）如图是教科书中的一个片段，由画图我们可以得到，判定这两个三角形全等的依据是 ． （1）画； （2）分别以点为圆心，线段长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段．    13．（本题3分）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若，，则的面积是 ． 14．（本题3分）如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙、，其中木块墙＝，＝．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离 ． 15．（本题3分）如图，，，，，，则 ． 16．（本题3分）如图，在长方形中 ，，，，，延长至点E，使，连接．动 点P 从 点A  出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点A 停止运动，运动时间为：t秒，当t 的值为 时，和全等． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题6分）如图，是的边上一点，，交于点，. (1)求证：； (2)若，，求的长． 18．（本题6分）已知：如图，．求证：． 19．（本题6分）如图，小正方形的边长均为1，为格点三角形（即三角形的顶点均在格点上）． (1)的面积为______． (2)图中画出一个与全等，且只有一条公共边的格点三角形． 20．（本题8分）如图，点D在的边上，且． (1)作的平分线，交于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，但不必写出作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 21．（本题8分）如图，在中，为边上一点，于点，于点，． (1)求证：平分； (2)若，，，则的长为 ． 22．（本题9分）如图，、分别是的边、上的高，且，．求证： (1)； (2)． 23．（本题10分）补充完成下列推理过程： 如图，在中，D为线段中点，，求的取值范围． 解：作交的延长线于点E． ∵， ．（______） ∵D为线段中点， ∴．（______） ∵在与中 ∴，（______） ∴，．（______） 在中，， ∵， ∴（______）（______）． 24．（本题10分）在中，，直线经过点C，且于D， 于E， (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，试问具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． 25．（本题9分）在中，是平分线上一点，过点作交于点． (1)如图，连结，恰好平分． ①写出线段的数量关系： ； ②当时，求的度数； (2)如图，交于点， ①尺规作图，作的平分线交于点； ②作交于点，当的大小发生变化时，的值是否发生变化？并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 全等三角形（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列判断正确的个数是（    ） （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）全等图形的周长都相等； （3）面积相等的两个等腰三角形是全等形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的判定与性质，利用全等图形的判定与性质即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）形状相同的两个三角形不一定是全等形，故错误； （2）全等图形的周长都相等，故正确； （3）面积相等的两个等腰三角形不一定是全等形，故错误； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故正确； 故选：B 2．（本题3分）如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（    ） A．① B．② C．③ D．①和③ 【答案】C 【分析】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握． 【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行； 第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去． 故选C． 3．（本题3分）如图，在和中，点，，，，，能判定的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定，先根据平行线的性质得到，加上，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断即可，掌握全等三角形的判定方法：、、、，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 、添加，不能判定； 、添加，能判定； 、添加，不能判定； 、添加，不能判定； 故选：． 4．（本题3分）在下列条件中，不能判定两直角三角形全等的是（ ） A．斜边和一锐角对应相等 B．斜边上的中线和一直角边对应相等 C．两边分别相等 D．直角的平分线和一直角边对应相等 【答案】C 【分析】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证． 【详解】A、正确．符合AAS； B、正确．符合HL； C、不正确．应该是对应相等； D、正确．应用三角形全等可证得两个直角三角形全等． 故选C． 【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解与运用，对知识要牢固掌握，灵活运用． 5．（本题3分）下列说法错误的有(　　) ①全等三角形的对应边相等; ②全等三角形的对应角相等; ③全等三角形的面积相等; ④全等三角形的周长相等; ⑤有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等; ⑥全等三角形的对应边上的中线相等. A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等；全等三角形的周长相等，面积相等；平移、翻折、旋转前后的图形全等进行分析即可． 【详解】①全等三角的对应边相等，说法正确； ②全等三角形的对应角相等，说法正确； ③全等三角形的面积相等，说法正确； ④全等三角形的周长相等，说法正确； ⑤有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等，说法错误； ⑥全等三角形的对应边上的中线相等，说法正确． 故选A． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握能完全重合的两个个三角形是全等三角形，因此全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等，周长相等，面积相等，对应边相等，对应角相等． 6．（本题3分）现要在一块三角形形状的草坪上安装一个洒水龙头，要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，洒水龙头的位置应选在（    ）处 A．三角形三边的垂直平分线的交点 B．三角形的三条角平分线的交点 C．三角形的三条高所在直线的交点 D．三角形的三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】解：要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，则洒水龙头的位置应选在三角形三条角平分线的交点， 故选：B 7．（本题3分）如图，有一塘，要测池塘两端，间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘就可以直接到达点，的点，连接并延长至，使，连接并延长至，使，连接．若量出米，则，间的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】由题意可以得到△CAB≌△CDE，从而AB=ED=58 米． 【详解】由题意知，在△CAB和△CDE中， ∴△CAB≌△CDE，∴AB=ED=58 米， 故选A． 【点睛】本题考查三角形全等的应用，根据三角形全等的判定定理构造全等三角形是解题关键． 8．（本题3分）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EC，ED为折痕，折叠后点A'，B′，E在同一直线上，则∠CED的度数为(   ) A．75° B．95° C．90° D．60° 【答案】C 【分析】根据折叠的性质和角平分线的定义即可得到结论． 【详解】解：由题意知∠AEC＝∠CEA′，∠DEB＝∠DEB′，则∠A′EC＝∠AEA′，∠B′DE＝∠B′EB， 所以∠CED＝∠AEB＝×180°＝90°， 故选C． 【点睛】考查了角的计算，折叠的性质，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系． 9．（本题3分）如图所示，△ABE≌△ADC≌△ABC，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（    ） A．80° B．100° C．60° D．45° 【答案】A 【分析】设∠1、∠2、∠3分别为28x、5x、3x，三角形内角和定理列出方程，分别求出∠1、∠2、∠3的度数，根据全等三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】设∠1、∠2、∠3分别为28x、5x、3x， 由三角形内角和定理得，28x+5x+3x=180°， 解得，x=5°， 则∠1、∠2、∠3分别为140°、25°、15°， 由△ABE≌△ADC≌△ABC可知，∠EAC=360°﹣∠1﹣∠BAE=80°，∠E=∠3=∠DCA， ∠a=∠EAC=80°， 故选A． 【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等的性质，准确识图，找出对应角是解题的关键． 10．（本题3分）如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于，则下列结论： ①；；．其中正确结论的序号有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出；根据全等三角形对应角相等可得，利用“字型”证明． 【详解】解： 平分，，， ， 在和中， ， ，故①正确； ， 在和中， ， ， ， ，故②正确； ， ， 设交于， ， ，故③正确； 综上所述，正确的结论有①②③共个． 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）如图，四边形四边形．若，，，则的大小为 度．    【答案】105 【分析】本题考查了全等图形的性质和四边形内角和公式，解题的关键在于熟练掌握全等图形的性质． 根据全等的性质求出，利用四边形的内角和公式求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形四边形． ， ， ， ， ， 故答案为：105． 12．（本题3分）如图是教科书中的一个片段，由画图我们可以得到，判定这两个三角形全等的依据是 ． （1）画； （2）分别以点为圆心，线段长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段．    【答案】 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定方法解决问题即可． 【详解】解：在和中， ， ， 故答案为：． 13．（本题3分）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若，，则的面积是 ． 【答案】21 【分析】本题考查角平分线的性质、角平分线的作法，根据题意可得为的平分线，过点G作于点H，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ∵， ∴， ∴． 故答案为：21． 14．（本题3分）如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙、，其中木块墙＝，＝．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； ，， ， 即：两堵木墙之间的距离为． 故答案为：． 15．（本题3分）如图，，，，，，则 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，证明得出，再由三角形外角的定义及性质计算即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．（本题3分）如图，在长方形中 ，，，，，延长至点E，使，连接．动 点P 从 点A  出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点A 停止运动，运动时间为：t秒，当t 的值为 时，和全等． 【答案】或 10 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，根据题意分两种情况：和，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，当时， ∴ ∵在长方形中，，， ∴， ∴ ∵点P的运动时间为每秒2个单位 ∴（秒）； 如图所示，当时， ∴， ∴， ∴（秒） 综上所述，当t的值为或10秒时，与全等． 故答案为：3.5或10． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题6分）如图，是的边上一点，，交于点，. (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选择合适的判定方法是解题的关键． （1）利用角角边定理判定即可； （2）利用全等三角形对应边相等可得的长，用即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ，． 在和中， ， ． （2）解：， ． ． 18．（本题6分）已知：如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由可得，再根据条件，可利用证明，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 19．（本题6分）如图，小正方形的边长均为1，为格点三角形（即三角形的顶点均在格点上）． (1)的面积为______． (2)图中画出一个与全等，且只有一条公共边的格点三角形． 【答案】(1)6 (2)画图见解析 【分析】本题主要考查三角形的面积计算，作图—应用设计，全等三角形的判定．利用数形结合的思想是解题关键． （1）如图，用正方形面积减去三个三角形的面积即可求出答案； （2）分三种情况讨论：分别以为公共边，作与余下两边相等的三角形，再看是否符合题意即可． 【详解】（1）解：如图， ∴ ． 故答案为：6； （2）解：如图，或或即为所作； 20．（本题8分）如图，点D在的边上，且． (1)作的平分线，交于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，但不必写出作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，三角形外角性质，基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． （1）利用基本作图：作已知角的平分线作法，作的平分线即可； （2）先根据角平分线的定义得到，再利用三角形外角性质得，利用，则，然后根据平行线的判定方法可判定． 【详解】（1）解：如图，DE为所作； （2）解：平分， ， 而， 即， ， ， ． 21．（本题8分）如图，在中，为边上一点，于点，于点，． (1)求证：平分； (2)若，，，则的长为 ． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质和判定，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）连接，证明，得，再利用角平分线的性质即可解决问题； （2）结合（1），根据，代入值计算即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接， 于点，于点， ， 在和中， ， ， ， 于点，于点， 平分； （2）解：， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：4． 22．（本题9分）如图，、分别是的边、上的高，且，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）首先证明，再加上条件可以证明进而得到； （2）根据可得，再证明可得，进而得到，即可证出． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵， ， 又， ， ， ， 即， ． 23．（本题10分）补充完成下列推理过程： 如图，在中，D为线段中点，，求的取值范围． 解：作交的延长线于点E． ∵， ．（______） ∵D为线段中点， ∴．（______） ∵在与中 ∴，（______） ∴，．（______） 在中，， ∵， ∴（______）（______）． 【答案】两直线平行，内错角相等；中点定义；对顶角相等；；全等三角形对应边相等；2；7． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 根据平行线的性质得出，证明，得出，．根据三角形三边关系得出，最后代入数据求出结果即可． 【详解】解：作交的延长线于点E． ∵， ．（两直线平行内错角相等） ∵D为线段中点， ∴．（中点的定义） ∵在与中， ∴， ∴，．（全等三角形对应边相等） 在中，， ∵， ∴． 24．（本题10分）在中，，直线经过点C，且于D， 于E， (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，试问具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）根据余角的性质可得，可证明，可得，即可求证； （2）根据余角的性质可得，可证明，可得，即可求证； （3）根据余角的性质可得，可证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：在中， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在中， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）证明：在中， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 25．（本题9分）在中，是平分线上一点，过点作交于点． (1)如图，连结，恰好平分． ①写出线段的数量关系： ； ②当时，求的度数； (2)如图，交于点， ①尺规作图，作的平分线交于点； ②作交于点，当的大小发生变化时，的值是否发生变化？并说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)①作图见解析；②的值不发生变化，理由见解析． 【分析】（）①由平行线的性质和角平分线的定义可得，，即得，，根据即可求解；②由三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，据此即可求解； （）①根据角平分线的作法作图即可；②设，可得，进而由得到，，即可得，又由得到，即得，即可求解； 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义和画法，等角对等边，三角形内角和定理，余角性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， ∵是，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵是，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，射线即为所求； ②的值不发生变化，理由如下： 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的值是定值，不会发生变化． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$