专题1.2 充分条件与必要条件（考点精讲）-【中职专用】2025年单独招生考试数学一轮复习讲练测（浙江专用）

专题1.2 充分条件与必要条件 一、【考纲要求】 1. 正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的定义； 2. 正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的定义； 3. 通过学习，培养学生的辩证思维能力. 二、【考向预测】 1.充分条件、必要条件与充要条件的判断（高频考点） 2.已知充分、必要、充要条件求参数的取值范围 三、【知识清单】 1.充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； (2)如果p⇒q，但qp，则p是q的充分不必要条件； (3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件； (4)如果q⇒p，且pq，则p是q的必要不充分条件； (5)如果pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件． 拓展延伸:从定义角度和集合角度的深度理解 设A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q｝. 四、【考点分类剖析】 考点一：充分条件、必要条件、充要条件的判断 例1．“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [归纳提升]　 定义法判断充分条件、必要条件 1确定谁是条件，谁是结论 2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件 3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件. 【变式练习】设，则“”是“”的（   ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的（　　） A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件又是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 例3．“”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式练习】已知非零向量，，则是成立的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 例4. “”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式练习】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点二：已知充分条件、必要条件求参数的取值范围 例1. 已知，设；．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【变式练习】已知不等式m－1<x<m＋1成立的充分条件是则实数m的取值范围是 ． 例2.若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ； 【变式练习】已知集合、．若是的必要不充分条件，则的取值范围为． 【感悟反思】利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 1化简p，q两命题； 2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系； 3利用集合间的关系建立不等式； 4求解参数范围. 例3. 若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【变式练习】已知两条直线，，则使的充要条件是 . 考点三：充要条件的探求与证明 例1. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式练习】函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 例2. 设集合A，B，求证：是的充要条件． 【变式练习】 设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. [感悟反思]充要条件的证明策略 1要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真. 2在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论. 提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 充分条件与必要条件 一、【考纲要求】 1. 正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的定义； 2. 正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的定义； 3. 通过学习，培养学生的辩证思维能力. 二、【考向预测】 1.充分条件、必要条件与充要条件的判断（高频考点） 2.已知充分、必要、充要条件求参数的取值范围 三、【知识清单】 1.充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； (2)如果p⇒q，但qp，则p是q的充分不必要条件； (3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件； (4)如果q⇒p，且pq，则p是q的必要不充分条件； (5)如果pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件． 拓展延伸:从定义角度和集合角度的深度理解 设A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q｝. 四、【考点分类剖析】 考点一：充分条件、必要条件、充要条件的判断 例1．“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用一元二次不等式的解法，结合推出关系，即可得出判断. 【解析】由“”可以推出“”， 反之，由“”不一定推出“”，也可以推出“”． 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． [归纳提升]　 定义法判断充分条件、必要条件 1确定谁是条件，谁是结论 2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件 3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件. 【变式练习】设，则“”是“”的（   ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【解析】因为当时，一定成立， 而当时，不一定成立，如， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：B 例2．“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的（　　） A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件又是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【解析】因为正方形的四条边相等，但四条边相等的四边形不一定是正方形， 所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件． 故选：B 例3．“”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】当为奇函数时，结合奇函数的性质可得，由充分条件与必要条件的定义即可判断. 【解析】若为奇函数，其定义域为，关于原点对称， 有，即，即， 即，故有，解得， 故“”是“函数为奇函数”的充要条件. 故选：C. 【变式练习】已知非零向量，，则是成立的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】C 【分析】由充分条件和必要条件的定义，结合向量数量积的运算判断结果. 【解析】，为非零向量，当时，有， 则，， 有，得，充分性成立； 当时，有，即， 得，则有，必要性成立. 所以是充要条件. 故选：C. 例4. “”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】求出直线平行的充要条件为，结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【解析】若，则有，所以或， 当时，，故，重合； 当时，，满足条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D． 【变式练习】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义分别判断即可． 【解析】：时，由，解得：， 时，解得：，不是必要条件， 反之也推不出，比如，不是充分条件， 故“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 考点二：已知充分条件、必要条件求参数的取值范围 例1. 已知，设；．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用给定条件得到，，再转化为子集问题求解即可. 【解析】若是的充分不必要条件，则，， 故有，解得，又，故. 故答案为： 【变式练习】已知不等式m－1<x<m＋1成立的充分条件是则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 解析：由题意得（，）⊆（m－1，m＋1），所以且等号不能同时成立，解得－≤m≤. 例2.若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ； 【答案】 【分析】根据必要不充分条件的定义求得的取值范围后可得． 【解析】或， 由题意得， 所以的最大值是． 故答案为：． 【变式练习】已知集合、．若是的必要不充分条件，则的取值范围为． 【答案】 【分析】因为是的必要不充分条件，所以B是A的真子集，再根据集合之间的真包含关系求解. 【解析】因为是的必要不充分条件，所以B是A的真子集，所以. 故答案为：. 【感悟反思】利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 1化简p，q两命题； 2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系； 3利用集合间的关系建立不等式； 4求解参数范围. 例3. 若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【答案】3 【分析】先化简得，由充要条件可知两不等式两端相等，从而可求得m的取值. 【解析】由得，故， 因为“”是“”的充要条件， 所以，解得， 所以实数m的取值是3. 故答案为：3. 【变式练习】已知两条直线，，则使的充要条件是 . 【答案】 【解析】根据两条直线互相垂直，列方程解出值即可． 【解析】，，解得 故答案为： 考点三：充要条件的探求与证明 例1. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出合适的选项. 【解析】由可得， 则，，， 所以，使得不等式成立的一个充分不必要条件是. 故选：D. 【变式练习】函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合对数函数的图象与性质，列出不等式组，求得的范围，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【解析】令，则，其中， 因为在上单调递减，所以在上单调递增， 则满足，即，解得， 所以，的一个充分不必要条件是. 故选：A． 例2. 设集合A，B，求证：是的充要条件． 【答案】证明见解析 【分析】利用充分性和必要性的定义即可证明. 【解析】证明：充分性 因为，，所以， 所以当成立时，有成立， 故充分性成立． 必要性 因为，所以． 所以当成立时，也有成立， 故必要性成立 所以是的充要条件． 【变式练习】 设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 【答案】证明见解析 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合一元二次方程的性质证明即可. 【解析】充分性： ，， 代入方程得，即． 关于的方程有一个根为； 必要性：方程有一个根为， 满足方程， ，即． 故关于的方程有一个根是的充要条件为． [感悟反思]充要条件的证明策略 1要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真. 2在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论. 提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向. ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$