2.3 简谐运动的回复力和能量（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中物理选择性必修第一册（人教版2019）

第3节　简谐运动的回复力和能量 物理观念 科学思维 科学态度与责任 1.理解回复力的概念。 2．认识位移、速度、回复力和加速度的变化规律及相互联系。 3．知道简谐运动中机械能守恒。 1.会用动力学的观点分析简谐运动中各参数的变化规律及其之间的逻辑关系。 2．会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子动能、势能的变化情况。 通过对弹簧振子的运动和能量的分析，形成解决物理问题的能量观和运动观。 [对应学生用书P48] 1．回复力：能够使物体在平衡位置附近做往复运动的力。 3．方向：总是与位移x的方向相反，即总是指向平衡位置。 5．简谐运动的动力学定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，物体的运动就是简谐运动。 二、简谐运动的能量 1．简谐运动的能量：指振动系统的机械能。振动过程就是动能和势能相互转化的过程。 (1)在最大位移处，势能最大，动能为0。 (2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。 2．决定能量大小的因素 (1)振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能越大，振动越强。 (2)在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，所以简谐运动是等幅振动，是一种理想化模型。 1.(物理与生活)如图所示，在试管中装有适量的砂粒，并将试管竖直静浮于水中，然后将试管竖直提起少许，后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动。判断下列说法的正误。(对的画“√”，错的画“×”) (1)试管运动的回复力总是指向平衡位置。(　　√　　) (2)试管做简谐运动的回复力是恒力。(　　×　　) 2.(教材拓展P45)“练习与应用T1改编” 如图所示，O点为弹簧振子的平衡位置，小球在光滑斜面上B、C之间做往复运动。在小球向O点运动的过程中，小球的速度与加速度的变化情况是(　　) A．速度不断增大，加速度不断增大 B．速度不断减小，加速度不断增大 C．速度不断增大，加速度不断减小 D．速度不断减小，加速度不断减小 C　解析：小球静止时，受重力、斜面的支持力和弹簧的拉力，平衡时弹簧伸长了x0，则有mg sin θ＝kx0，设小球离开O点的距离为x时(假设在OC间)，则小于受到的合力F合＝k(x＋x0)－mg sin θ＝kx，方向沿CO。结合牛顿第二定律和运动学公式可知，小球在向O点运动的过程中，其加速度不断减小，速度不断增大，A、B、D错误，C正确。 [对应学生用书P49] 探究点一___简谐运动的回复力 如图甲所示的是水平方向的弹簧振子，如图乙所示的是竖直方向的弹簧振子，如图丙所示的是m随M一起振动的系统。 [问题设计] (1)图甲中水平方向的弹簧振子的回复力的来源是什么？ (2)图乙中竖直方向的弹簧振子的回复力的来源是什么？ (3)图丙中水平方向m与M整体的回复力的来源是什么？m的回复力的来源是什么？ 提示：(1)弹簧的弹力提供回复力。 (2)弹簧的弹力与重力的合力提供回复力。 (3)m与M整体的回复力由弹簧的弹力提供；m的回复力由M对m的静摩擦力提供。 1．简谐运动中回复力的来源 (1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。 (2)回复力可以由某一个力提供，如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力；也可能是几个力的合力，如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和物体所受的重力的合力；还可能是某个力的分力。 2．对F＝－kx中k值的理解：公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定。 3．简谐运动的加速度特点：根据牛顿第二定律得a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐运动时，振子的加速度大小与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。 4．简谐运动的回复力的规律：因x＝A sin (ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kA sin (ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。 【例1】 (多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是(　　) A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C．小球由A向O运动的过程中，回复力逐渐增大 D．小球由O向B运动的过程中，回复力的方向指向平衡位置 AD　解析：弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力，回复力是根据作用效果命名的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程回复力逐渐减小，C错误；回复力总是指向平衡位置，D正确。 【例2】一个质量为m、某一面的面积为S的正方体木块，放在水面上静止(平衡)，如图所示，现用力向下将其压入水中一段深度后(未全部浸入)撤掉外力，木块在水中上下振动，不计空气阻力。 (1)试分析木块上下振动的回复力的来源； (2)试证明该木块的振动是简谐运动。 答案：见解析 解析：(1)木块上下振动的回复力是重力和浮力的合力。 (2)以木块为研究对象，取竖直向下为正方向，设静止时木块浸入水中的深度为Δx，当木块又被压入水中x后，撤去外力瞬间木块的受力如图所示，则 F合＝mg－F浮 又F浮＝ρgS(Δx＋x) 联立可得 F合＝mg－ρgS(Δx＋x)＝mg－ρgSΔx－ρgSx 又木块静止时有mg＝ρgSΔx，所以 F合＝－ρgSx 即F合＝－kx(k＝ρgS) 所以木块的振动是简谐运动。 判断一个振动是否为简谐运动的方法 (1)运动学方法：对物体的位移分析，如果位移—时间表达式满足x＝A sin (ωt＋φ)或x－t图像满足正(余)弦规律，即可判断为简谐运动。 (2)动力学方法：对物体进行受力分析，如果物体所受到的回复力满足F＝－kx，即可判断为简谐运动。 (3)加速度方法：根据牛顿第二定律或运动学知识，求解物体的加速度，如果满足a＝－k′x，即可判断为简谐运动。 [练1](多选)如图所示，物体m系在两水平弹簧之间，两弹簧的劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然伸长状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动(不计阻力)，O为平衡位置，则下列判断正确的是(　　) A．m做简谐运动，OC＝OB B．m做简谐运动，OC≠OB C．回复力F＝－kx D．回复力F＝－3kx AD　解析：以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物体在O点右方x处时所受合力：F＝－(k1x＋k2x)＝－3kx，因此物体做简谐运动，由对称性可知，OC＝OB，A、D正确。 探究点二___简谐运动的能量 如图所示，O点为水平弹簧振子的平衡位置，A′、A分别是振子运动的最左端和最右端。 [问题设计] (1)振子在振动过程中位于O点时的动能、弹簧的弹性势能的大小怎样？ (2)振子在振动过程中位于最左端A′和最右端A时的动能、弹簧的弹性势能的大小怎样？ (3)A→O→A′过程中，振子的动能、弹簧的弹性势能怎样转化？ 提示：(1)动能最大，弹性势能为零。 (2)动能为零，弹性势能最大。 (3)A→O过程中弹性势能转化为动能，O→A′过程中动能转化为弹性势能。 简谐运动的能量是指物体在经过某一位置时所具有的势能和动能之和。在振动过程中，势能和动能相互转化，机械能守恒。 (1)简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。 (2)在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有机械能损耗，它将永不停息地振动下去。 (3)在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能。 【例3】 如图所示，一个水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知物体的质量为M。 (1)同一振动系统简谐运动的能量取决于________，物体振动时动能和________相互转化，总机械能________。 (2)物体在振动过程中，下列说法正确的是________。 A．物体在平衡位置，动能最大，弹性势能最小 B．物体在最大位移处，弹性势能最大，动能最小 C．物体在向平衡位置运动时，由于物体振幅减小，故总机械能减小 D．在任意时刻，动能与弹性势能之和保持不变 答案：(1)振幅　弹性势能　守恒　(2)ABD 解析：(1)简谐运动的能量取决于振幅，物体振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。 (2)物体在平衡位置两侧往复运动，在平衡位置处速度达到最大，动能最大，弹性势能最小，A正确；在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，弹性势能最大，B正确；振幅的大小与物体的位 置无关，在任意时刻只有弹簧的弹力做功，故机械能守恒，C错误，D正确。 [练2] 如图所示，这是由轻质弹簧下端悬挂一个物块组成的一个竖直方向振动的弹簧振子，弹簧的上端固定于天花板上，当物块处于静止状态时，取它的重力势能为零，现将物块向下拉一小段距离后放手，此后弹簧振子在平衡位置附近上下做简谐运动，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　) A．弹簧振子速度最大时，振动系统的势能为零 B．弹簧振子速度最大时，物块的重力势能与弹簧的弹性势能相等 C．弹簧振子经平衡位置时，振动系统的势能最小 D．弹簧振子在振动过程中，振动系统的机械能不守恒 C　解析：弹簧振子在平衡位置时的速度最大，此时的重力势能为零，但是弹簧的弹性势能不为零，故振动系统的势能不为零；在平衡位置时，物块的重力势能与弹簧的弹性势能不相等，A、B错误；因为只有重力和弹簧弹力做功，则弹簧振子的动能、重力势能及弹簧的弹性势能总和保持不变；弹簧振子在平衡位置时动能最大，故振动系统的势能最小，C正确，D错误。 探究点三___简谐运动中各物理量的变化规律 1．如图所示的是水平弹簧振子的示意图。 (1)在小球远离平衡位置的过程中，位移增大，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；在小球靠近平衡位置的过程中，位移减小，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大。 (2)当小球位于A′到O点之间时，位移方向向左，回复力和加速度方向均向右；当小球位于O到A点之间时，位移方向向右，回复力和加速度方向均向左；A′→O→A过程中，速度方向向右，A→O→A′过程中，速度方向向左。 2．说明：(1)简谐运动中各个物理量的对应关系不同。位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同，关键看各矢量的方向。 (2)简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep最小，Ek最大。 【例4】 (多选)一个弹簧振子做简谐运动的周期为T，设t1时刻小球不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，小球的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同，t2－t1<，如图所示，则(　　) A．t2时刻小球的加速度一定跟t1时刻的加速度大小相等、方向相反 B．在t1～t2时间内，小球的加速度先减小后增大 C．在t1～t2时间内，小球的动能先增大后减小 D．在t1～t2时间内，弹簧振子的机械能先减小后增大 ABC　解析：由题图可知t1、t2时刻小球的加速度大小相等，方向相反，A正确；在t1～t2时间内回复力先减小后增大，所以小球的加速度先减小后增大，B正确；在t1～t2时间内，小球的速度先增大后减小，所以动能先增大后减小，C正确；简谐运动的机械能守恒，D错误。 分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧 (1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。 (2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。 [练3] (2024·湖南长沙高二检测)如图所示，图甲为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为该弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法正确的是(　　) A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 B．t＝0.1 s时，弹簧振子的位移为 cm C．从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地增加 D．在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的回复力相同 B　解析：弹簧振子受重力、支持力、弹簧弹力，弹簧弹力提供回复力，回复力是效果力，A错误；由图乙知T＝0.8 s，则振动圆频率为ω＝＝2.5π rad/s，振子的振幅为5 cm，所以其振动方程为x＝A sin ωt＝5sin 2.5πt cm，所以在t＝0.1 s时，振子的位移为x＝5sin (2.5 π×0.1)cm＝ cm，B正确；从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的位移越来越大，弹簧的弹性势能越来越大，振子动能越来越小，C错误；在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的回复力均指向平衡位置O点，大小相等，方向相反，则回复力不相同，D错误。 探究点四___解决实际问题 [练4] (生活情境)(多选)某鱼漂的示意图如图所示，O、M、N为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时，水面恰好过点O。用手将鱼漂向下压，使点M到达水面，松手后，鱼漂会上下运动，上升到最高处时，点N到达水面。若从点M到达水面至点N到达水面所经历的时间为0.5 s，不计阻力的影响，以下说法正确的是(　　) A．鱼漂做简谐运动的周期为1 s B．点N到达水面时，鱼漂具有向下的加速度 C．点O过水面时，鱼漂的加速度最大 D．鱼漂由下往上运动时，速度越来越大 AB　解析：鱼漂在水中受到了浮力的作用，由阿基米德浮力定律可知，浮力的大小与鱼漂进入水面的深度成正比，鱼漂所受的重力为恒力，以静止时O点所处位置为坐标原点，则合力的大小与鱼漂的位移大小成正比，方向总是与位移方向相反，所以鱼漂做简谐运动，点M到达水面时鱼漂在最低点，点N到达水面时鱼漂在最高点，鱼漂从最低点到最高点历时0.5 s，简谐运动的周期为T＝2×0.5 s＝1 s，A正确；点N到达水面时，鱼漂达到了向上的最大位移，所受合力方向向下，所以具有向下的加速度，B正确；点O过水面时，鱼漂到达了平衡位置，所受合力为零，加速度最小，C错误；由简谐运动的特点可知，鱼漂由上往下运动时，速度先增大后减小，D错误。 [练5] (探究情境)(多选)牛顿在发现万有引力定律后曾思考过这样一个问题：假设地球是一个质量均匀分布的球体，已知质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零。沿地球的南北极打一个内壁光滑的洞，在洞口无初速度释放一个小球(小球的直径略小于洞的直径)，在小球向下端点运动的过程中，下列说法正确的是(　　) A．小球在洞内做简谐运动 B．小球在地心处动能最小 C．小球可以穿出小洞 D．若小球释放的位置再向下移动一点，则小球振动周期不变 AD　解析：设地球半径为R、质量为M，小球质量为m，小球偏离地心的位移为x，根据题意，由引力公式得F＝G，又因为M＝ρ·πR3，当小球偏离地心的位移为x时，此处地球的质量为M′＝ρ·πx3，考虑到方向性可求出小球偏离地心的位移为x时所受万有引力的合力为F＝－x，可知引力的合力大小与球偏离地心的位移x成正比，方向相反，所以小球做简谐运动，简谐运动周期与振幅无关，A、D正确；当合力为零时，速度最大，所以小球在地心处动能最大，在洞口无初速度释放一个小球，小球先加速再减速，根据对称性知小球不能穿出小洞，B、C错误。 [对应学生用书P52] 1．下列关于简谐运动回复力的说法正确的是(　　) A．回复力是使物体回到平衡位置的力，它只能由物体受到的合外力来提供 B．回复力可以是物体所受到的某一个力的分力 C．回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同 D．回复力的方向总是跟物体的速度方向相反 B　解析：回复力是做简谐运动的物体所受到的指向平衡位置的力，不一定是合力，也可以是物体所受到的某一个力的分力，A错误，B正确；回复力的方向总是指向平衡位置，跟物体偏离平衡位置的位移方向相反，C错误；回复力的方向总是指向平衡位置，可能跟物体的速度方向相反，也可能跟物体的速度方向相同，D错误。 2.(2023·河北校联考模拟)如图所示，在光滑杆下面铺一张白纸，一个带有铅笔的弹簧振子在A、B两点间做简谐运动，白纸沿垂直杆方向以0.4 m/s的速度移动，铅笔在白纸上留下的痕迹如图所示。已知弹簧的劲度系数k＝10 N/m，振子(小球与铅笔)的质量为0.2 kg，不考虑一切摩擦，弹簧的质量忽略不计，弹簧的弹性势能Ep＝kx2，x为弹簧的形变量。下列说法正确的是(　　) A．图线为铅笔的运动轨迹 B．弹簧振子的周期为0.25 s C．铅笔在x＝5 cm的位置留下痕迹时，振子的加速度为－4 m/s2 D．铅笔在x＝10 cm的位置留下痕迹时，振子的动能为0.32 J C　解析：铅笔在一条直线上往复运动，图线不是铅笔的运动轨迹，A错误；一个周期内白纸移动距离l＝20 cm，白纸移动速度为v＝0.4 m/s，该弹簧振子的周期为T＝＝0.5 s，B错误；振幅A＝8 cm，铅笔在x＝5 cm的位置留下痕迹时，弹簧弹力F＝－kA＝－0.8 N，振子的加速度大小为a＝＝－4 m/s2，C正确；根据能量守恒，铅笔在x＝10 cm的位置留下痕迹时，振子的动能为Ek＝Ep＝kA2＝0.032 J，D错误。 3．(2023·广西南宁三中高二期中)如图甲所示，将一个轻质弹簧与小球组成的弹簧振子竖直悬挂，上端装有一个记录弹力的力传感器。当振子上下振动时，弹力随时间的变化规律如图乙所示。已知弹簧的劲度系数k＝100 N/m，g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A．小球的质量为2 kg B．t＝2 s时小球的加速度为0 C．0～2 s时间段内，弹簧的弹力对小球的冲量大小为20 N·s D．小球的振幅为0.2 m C　解析：根据题图可知，平衡位置处弹力为10 N，F＝mg，解得小球的质量为1 kg，A错误；t＝2 s时小球只受重力，加速度为g，B错误；0～2 s时间段内，小球初、末速度均为零，根据动量定理得IF－mgt＝0－0，解得IF＝20 N·s，弹簧的弹力对小球的冲量大小为20 N·s，C正确；Fmax－mg＝kA，解得小球的振幅A＝0.1 m，D错误。 4.(多选)(2023·广西桂林高二期中)两个木块A、B质量分别为m、M，用劲度系数为k的轻质弹簧连在一起，放在水平地面上，如图所示，用外力将木块A压下一段距离静止，释放后A上下做简谐运动。在振动过程中，木块B刚好始终不离开地面(即它对地面最小压力为零)。以下说法正确的是(　　) A．在振动过程中木块A的机械能守恒 B．木块A做简谐运动的振幅为 C．木块A做简谐运动的振幅为 D．木块B对地面的最大压力是2(M＋m)g BD　解析：振动过程中木块A与弹簧整体机械能守恒，而木块A的机械能不守恒，A错误；当弹簧处于伸长至最长状态时，木块B刚好对地面压力为零，故此时弹簧弹力F＝Mg，m有最大加速度，由F＋mg＝ma得：a＝，由对称性，当m运动至最低点时，弹簧弹力大小为F′，但此时弹簧是处于压缩状态，根据牛顿第二定律得：F′－mg＝ma，即F′＝m(g＋a)＝2mg＋Mg，所以F压＝F′＋Mg＝2(M＋m)g，D正确；A在平衡位置时弹簧压缩，振幅为最大位移与平衡位置的距离，则振幅为：，B正确，C错误。 5.(多选)如图所示，弹簧下端挂一个质量为m的物体，物体在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长，则物体在振动过程中(　　) A．物体在最低点时所受的弹力大小应为2mg B．弹簧的弹性势能和物体的动能之和不变 C.弹簧的最大弹性势能等于2mgA D．物体的最大动能应等于mgA AC　解析：物体做简谐运动，最高点和最低点关于平衡位置对称，最高点加速度为g，最低点加速度也为g，方向向上，在最低点有F－mg＝ma，a＝g，故F＝2mg，A正确；根据物体和弹簧总的机械能守恒，可知弹簧的弹性势能、物体的动能、物体的重力势能三者之和不变，B错误；物体下落到最低点时，重力势能的减少量全部转化为弹簧的弹性势能，所以弹簧的最大弹性势能为Ep＝mg×2A＝2mgA，C正确；当弹簧的弹力等于物体的重力时，物体速度最大，动能最大，此时弹簧处于拉伸状态，弹性势能Ep′不为零，根据系统机械能守恒，可知此时物体的动能为Ek＝mgA－Ep′，即Ek小于mgA，D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $$