2.2 简谐运动的描述（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中物理选择性必修第一册（粤教版2019）

第二节　简谐运动的描述 课程内容要求 核心素养提炼 1.知道简谐运动的函数表达式． 2．掌握简谐运动的x­t图像． 3．了解相位、初相和相位差的概念. 1.物理观念：简谐运动函数表达式相位． 2．科学思维：用图像和公式相结合的方法解决简谐运动的问题． 3．科学态度与责任：学会用数学分析的方法解决物理问题. 一、简谐运动的函数描述 1．简谐运动位移——时间图像的函数表达式 x＝Acos(ωt＋φ)． 2．根据ω＝＝2πf，函数表达式也可以表示为 (1)x＝A_cos_(＋φ)． (2)x＝A_cos_(2πft＋φ)． [思考] (1)简谐运动的表达式一般表示为x＝Acos(ωt＋φ)，那么简谐运动的函数表达式能否用正弦函数表示？ 提示　能用正弦函数表示．简谐运动的位移和时间的关系既可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表示． 二、简谐运动的图像描述 1．振动图像 2．图像信息 (1)振幅A1和A2、周期T. (2)振动“步调”不同． 3．相位、初相和相位差 (1)相位：函数式x＝cos(ωt＋φ)中的ωt＋φ叫作相位． (2)初相：对应t＝0时的相位φ叫作初相． (3)相位差：表示振动先后关系．对于频率相同、相位不同的振子Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝φ1－φ2. [判断] (1)简谐运动的位移图像表示物体的运动轨迹．(×) (2)从简谐运动位移图像上可以直观地确定振幅、周期等．(√) (3)周期相同，相位相差2π的两个振子振动步调一致．(√) 探究点一　简谐运动表达式与运动图像的结合 如图为某简谐运动的图像． (1)由图像可以知道什么物理量？ (2)能否用简谐运动表达式表示x与t的变化关系？ 提示　(1)由图像可以知道振幅是5 cm，周期是2.0 s. (2)能． 1．简谐运动图像即xt图像是直观表示质点振动情况的一种手段，直观表示了质点的位移x随时间t变化的规律． 2．x＝Acos(ωt＋φ)或x＝Asin(ωt＋φ)是用函数表达式的形式反映质点的振动情况． 3．两者对同一个简谐运动的描述应该是一致的．我们能够做到两个方面：一是根据振动方程作出振动图像，二是根据振动图像读出振幅、周期、初相，进而写出位移的函数表达式． 有一弹簧振子在水平方向上的BC之间做简谐运动，已知BC间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过周期振子有正向最大加速度． (1)求振子的振幅和周期； (2)在图中作出该振子的位移—时间图像； (3)写出振子振动的正弦函数表达式． 解析　(1)振幅A＝10 cm，T＝ s＝0.2 s. (2)四分之一周期时具有正的最大加速度，故有负向最大位移，如图所示． (3)设振动方程为x＝Asin(ωt＋φ)，当t＝0时，y＝0，则sin φ＝0，得φ＝0或φ＝π，当再过较短时间，y为负值，所以φ＝π，所以振动方程为x＝10sin(10πt＋π)cm. 答案　(1)10 cm　0.2 s　(2)图见解析 (3)x＝10sin(10πt＋π)cm [变式]　[例1]中，若振子从正向最大位移处开始计时． (1)画出振子的位移—时间图像； (2)写出振子振动的正弦函数表达式． 解析　(1)由题知：A＝10 cm，T＝0.20 s，t＝0时刻在正向最大位移处，其振动图像如图： (2)设振动方向x＝Asin(ωt＋φ)， t＝0时，y＝10，则sin φ＝1，∴φ＝，ω＝＝10 π rad/s ∴x＝10 sin10πt＋ 答案　(1)见解析图　(2)x＝10 sin 10πt＋ [训练1]　如图所示，一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪很大，游船上下浮动．可把游艇浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s．当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐．地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船．在一个周期内，游客能舒服地登船的时间是(　　) A．0.5 s　　　　　　　　　 B．0.75 s C．1.0 s D．1.5 s C　[由题中所给条件写出游船做简谐运动的振动方程x＝20sint＝20sint(cm)，画出xt图像，如图所示，能舒服登船的时间Δt＝t2－t1，在一个周期内，当x＝10 cm时，解得t1＝0.25 s，t2＝1.25 s，则Δt＝t2－t1＝1.25 s－0.25 s＝1.0 s，正确答案C.] 探究点二　对简谐运动图像的理解 如图所示，在弹簧振子的小球上固定安置一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，铅笔可在纸上留下痕迹． (1)振子振动时白纸不动，画出的轨迹是怎样的？ (2)振子振动时，匀速拖动白纸时，画出的轨迹又是怎样的？ 提示　(1)是一条平行于小球运动方向的线段． (2)是一条正弦曲线． 1．图像形状：正(余)弦曲线． 2．物理意义：表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律． 3．获取信息 (1)任意时刻质点位移的大小和方向．如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2. 甲 (2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a点此刻向上振动．图乙中b点，下一时刻离平衡位置更近，故b此刻向上振动． 乙 (3)某段时间内位移、速度、加速度的变化情况判断：先判断质点在这段时间内的振动方向，从而确定各物理量的变化．如图甲所示，质点在t1时刻到t0时刻这段时间内，离平衡位置的位移变小，故质点正向平衡位置运动，速度增大，位移和加速度都变小；t2时刻，质点从负位移处远离平衡位置运动，则速度为负值且减小，位移、加速度增大． 如图1所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图2所示，下列说法正确的是(　　) A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向右 B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处 C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度完全相同 D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐增大 D　[由图可知t＝0.8 s时，振子在平衡位置向左运动，A错误；由图2可看出，当t＝0.2 s时，x>6 cm，故B错误；当t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子分别在B、A两点，加速度大小相等、方向相反，C错误；在0.4～0.8 s时间内，振子由最大位移处向平衡位置运动，速度越来越大，D正确．] [训练2]　(多选)如图所示为某质点做简谐运动的图像，若t＝0时，质点正经过O点向b运动，则下列说法正确的是(　　) A．质点在0.7 s时，正在远离平衡位置运动 B．质点在1.5 s时的位移最大 C．1.2～1.4 s，质点的位移在增大 D．1.6～1.8 s，质点的位移在增大 BC　[由于位移是指由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，故质点在0.7 s时的位移方向向右，且正在向平衡位置运动，所以A项错误；质点在1.5 s时的位移达到最大，故B项正确；在1.2～1.4 s，质点正在远离平衡位置，所以其位移在增加，故C项正确；1.6～1.8 s时间内，质点正向平衡位置运动，所以其位移正在减小，故D项错误．] 1.(描述简谐运动的概念)一个物体做简谐运动，下列说法中正确的是(　　) A．物体运动过程中相距最远的两点之间的距离叫作振幅 B．物体先后两次经过同一位置所经历的时间叫作振动周期 C．物体在1秒钟内完成全振动的次数叫作振动频率 D．物体在各个时刻所处的不同状态叫作初相位 C　[偏离平衡位置最大的距离叫作振幅，故A错误；物体先后以相同的运动状态通过同一位置所经历的时间叫作振动周期，故B错误；物体在1秒钟内完成全振动的次数叫作振动频率，故C正确；物体在各个时刻所处的不同状态叫作相位，故D错误．] 2．(简谐运动的表达式)(多选)有两个简谐运动，其表达式分别是x1＝4cos cm，x2＝5coscm，下列说法正确的是(　　) A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同 C．它们的相位差恒定 D．它们的振动步调一致 BC　[它们的振幅分别是4 cm、5 cm，选项A错误；ω都是100π rad/s，所以周期都是 s，选项B正确；由Δφ＝－＝得相位差恒定，选项C正确；Δφ≠0，即振动步调不一致，选项D错误．] 3．(表达式和图像的结合)(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系为x＝Asin，则质点(　　) A．第1 s末与第3 s末的位移相同 B．第1 s末与第3 s末的速度相同 C．3 s末至5 s末的位移方向都相同 D．3 s末至5 s末的速度方向都相同 AD　[由关系式可知，将t＝1 s和t＝3 s代入关系式中求得两时刻位移相同，故A正确．画出对应的位移—时间图像， 由图像可以看出，第1 s末和第3 s末的速度方向不同，故B错误．由图像可知，3 s末至5 s末的位移大小相同，方向相反，故C错误．由图像可知，3 s末至5 s末的速度是大小相同，方向也相同，故D正确．] 4．(简谐运动图像的应用)如图所示是某质点做简谐运动的图像，根据图像中的信息，回答下列问题： (1)质点在第3 s末的位移是多少？质点振动过程中的最大位移为多少？ (2)在前4 s内，质点经过的路程为多少？ 解析　(1)由xt图像可以读出3 s末质点的位移为－10 cm，振动过程中的最大位移为10 cm. (2)前4 s内质点先沿正方向由平衡位置运动了10 cm到达正向最大位移处，又沿负方向运动了20 cm到达负向最大位移处，然后又沿正方向运动了10 cm回到平衡位置处，故总路程为40 cm. 答案　(1)－10 cm　10 cm　(2)40 cm 学科网（北京）股份有限公司 $$