专题08 二次函数5种常考题型归类-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（吉林专用）

专题08 二次函数 （解析版） 二次函数的图像和性质 1．（2021·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ． 【答案】 【分析】点代入抛物线中求出解析式为，再设CD=2x，进而求得E点坐标为(x,4-2x)，代入中即可求解． 【详解】解：将点代入抛物线中，解得， ∴抛物线解析式为， 设CD、EF分别与轴交于点M和点N， 当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x， 此时E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线中， 得到：， 解得，(负值舍去)， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键． 2．（2022·吉林长春·中考真题）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若；若，即可求解． 【详解】解：， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 若，当时，y随x的增大而减小， 此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意， 若，当时，函数值y最小，最小值为1， ∴， 解得：或（舍去）； 综上所述，a的值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 3．（2024·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连结、． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求证：当取不为零的任意实数时，的值始终为2； (3)作的垂直平分线交直线于点，以为边、为对角线作菱形，连结． ①当与此抛物线的对称轴重合时，求菱形的面积； ②当此抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见详解 (3)①；②或或 【分析】（1）将代入，解方程即可； （2）过点B作于点H，由题意得，则，，因此； （3）①记交于点M， ，而对称轴为直线，则，解得：，则，，由，得，则，因此； ②分类讨论，数形结合，记抛物线顶点为点F，则，故菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当时，符合题意；当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意， 过点F作于点Q，由，得到，解得：或（舍），故，当时，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；当时，符合题意：当m继续变小，直至点A与点F重合，此时，故；当m继续变小，直线经过点F时，也符合题意， 过点F作于点Q，同上可得，，解得：或（舍），当m继续变小时，仍符合题意，因此，故m的取值范围为：或或． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得：， ∴抛物线表达式为：； （2）解：过点B作于点H，则， 由题意得：， ∴，， ∴在中，； （3）解：①如图，记交于点M， 由题意得，， 由， 得：对称轴为直线： ∵四边形是菱形， ∴点A、C关于对称，， ∵与此抛物线的对称轴重合， ∴， 解得：， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，则， ∴； ②记抛物线顶点为点F，把代入，得：， ∴， ∵抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大， ∴菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线， 当时，如图，符合题意， 当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意，如图： 过点F作于点Q， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 当时，如图，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意； 当时，如图，符合题意： 当m继续变小，直至点A与点F重合，此时，符合题意，如图： ∴； 当m继续变小，直至直线经过点F时，也符合题意，如图： 过点F作于点Q，同上可得， ， ∴， 解得：或（舍）， 当m继续变小时，仍符合题意，如图： ∴， 综上所述，m的取值范围为：或或． 【点睛】本题考查了抛物线与几何的综合，菱形的性质，待定系数法求函数解析式，求锐角的正切值，正确理解题意，利用数形结合的思想，找出临界状态是解决本题的关键． 4．（2024·吉林·中考真题）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6． (1)直接写出k，a，b的值． (2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）． Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围． Ⅱ．若关于x的方程（t为实数），在时无解，求t的取值范围． Ⅲ．若在函数图像上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)Ⅰ：或；Ⅱ：或；Ⅲ：或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的额关键． （1）先确定输入x值的范围，确定好之后将x，y的值代入所给的y关于x的函数解析式种解方程或方程组即可； （2）Ⅰ：可知一次函数解析式为：，二次函数解析式为：，当时，，对称为直线，开口向上，故时，y随着x的增大而增大；当时，，，故时，y随着x的增大而增大； Ⅱ：问题转化为抛物线与直线在时无交点，考虑两个临界状态，当时，抛物线与直线在时正好一个交点，因此当时，抛物线与直线在时没有交点；当，，故当时，抛物线与直线在时正好一个交点，因此当时，抛物线与直线在时没有交点，当或时，抛物线与直线在时没有交点，即方程无解； Ⅲ： 可求点P、Q关于直线对称，当，，当时，，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当时，，时，，故①当，由题意得：，则；②当，由题意得：，则，综上：或． 【详解】（1）解：∵， ∴将，代入， 得：， 解得：， ∵， ∴将，代入 得：， 解得：； （2）解：Ⅰ，∵， ∴一次函数解析式为：，二次函数解析式为： 当时，，对称为直线，开口向上， ∴时，y随着x的增大而增大； 当时，，， ∴时，y随着x的增大而增大， 综上，x的取值范围：或； Ⅱ，∵， ∴，在时无解， ∴问题转化为抛物线与直线在时无交点， ∵对于，当时， ∴顶点为，如图： ∴当时，抛物线与直线在时正好一个交点， ∴当时，抛物线与直线在时没有交点； 当，， ∴当时，抛物线与直线在时正好一个交点， ∴当时，抛物线与直线在时没有交点， ∴当或时，抛物线与直线在时没有交点， 即：当或时，关于x的方程（t为实数），在时无解； Ⅲ：∵， ∴， ∴点P、Q关于直线对称， 当，，当时，， ∵当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当时，，时，， ∴①当，如图： 由题意得：， ∴； ②当，如图： 由题意得：， ∴， 综上：或． 二次函数的最值 5．（2023·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，连接，．    (1)求此抛物线的解析式． (2)当点与此抛物线的顶点重合时，求的值． (3)当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差． (4)设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)点与点的纵坐标的差为或 (4)或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点的横坐标为，即可求解； （3）分轴时，轴时分别根据抛物线的对称性求得的横坐标与的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解； （4）分四种情况讨论，①如图所示，当都在对称轴的左侧时，当在对称轴两侧时，当点在的右侧时，当的纵坐标小于时，分别求得，根据建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点． ∴ ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， 顶点坐标为， ∵点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为 ∴， 解得：； （3）①轴时，点关于对称轴对称， ， ∴，则，， ∴， ∴点与点的纵坐标的差为； ②当轴时，则关于直线对称， ∴， 则 ∴，； ∴点与点的纵坐标的差为； 综上所述，点与点的纵坐标的差为或； （4）①如图所示，当都在对称轴的左侧时，    则 ∴ ∵，即 ∴； ∵ ∴ 解得：或（舍去）； ②当在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，    则，即， 则， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）； ③当点在的右侧且在直线上方时，即，   ， ∴ 解得：或（舍去）； ④当在直线上或下方时，即，   ，， ， 解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（2022·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围； (3)若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为． ①求的值； ②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)①或3；②或或 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得； （2）先根据抛物线的解析式求出此抛物线与轴的另一个交点坐标为，再画出函数图象，由此即可得； （3）①先求出抛物线的对称轴和顶点坐标、以及点的坐标，再分和两种情况，分别画出函数图象，利用函数的增减性求解即可得； ②设点的坐标为，分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的定义建立方程组，解方程组即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 则此抛物线的解析式为． （2）解：对于二次函数， 当时，，解得或， 则此抛物线与轴的另一个交点坐标为， 画出函数图象如下： 则当点在轴上方时，的取值范围为或． （3）解：①二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 即， （Ⅰ）如图，当时， 当时，随的增大而减小， 则此时点即为最低点， 所以， 解得或（不符题设，舍去）； （Ⅱ）如图，当时， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 则此时抛物线的顶点即为最低点， 所以， 解得，符合题设， 综上，的值为或3； ②设点的坐标为， 由题意，分以下两种情况： （Ⅰ）如图，当时，设对称轴直线与轴的交点为点， 则在等腰中，只能是， 垂直平分，且， （等腰三角形的三线合一）， ， 解得， 则此时点的坐标为或； （Ⅱ）当时， 由（3）①可知，此时， 则点， ， ， ， 当时，是等腰直角三角形， 则，即， 方程组无解， 所以此时不存在符合条件的点； 当时，是等腰直角三角形， 则，即， 解得， 所以此时点的坐标为； 当时，是等腰直角三角形， 则，即， 方程组无解， 所以此时不存在符合条件的点； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、等腰直角三角形、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 二次函数与一元二次方程 7．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 实际问题与二次函数 8．（2023·吉林长春·中考真题）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．    【答案】 【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令求平移后的抛物线与轴的交点即可． 【详解】解：由题意可知： 、、， 设抛物线解析式为：， 将代入解析式， 解得：， ， 消防车同时后退米，即抛物线向左（右）平移米， 平移后的抛物线解析式为：， 令，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式． 9．（2022·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为． (1)当点在边上时，的长为 ；（用含的代数式表示） (2)当点落在边上时，求的值； (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)2x (2)1 (3) 【分析】（1）先证明∠A=∠AQP=30°，即AP=PQ，根据题意有AP=2x，即PQ=2x； （2）当M点在BC上，Q点在AC上，在（1）中已求得AP=PQ=2x，再证明△MNB是等边三角形，即有BN=MN，根据AB=6x=6cm，即有x=1（s）； （3）分类讨论：当时，此时菱形PQMN在△ABC的内部，此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积，过Q点作QG⊥AB于G点，求出菱形的面积即可；当x＞1，且Q点在线段AC上时，过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，先证明△ENB是等边三角形、△MEF是等边三角形，重叠部分是菱形PQMN的面积减去等边△MEF的面积，求出菱形PQMN的面积和等边△MEF的面积即可，此时需要求出当Q点在C点时的临界条件；当时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，过Q点作QG⊥AB于G点，重叠部分的面积就是△PBQ的面积，求出等边△PBQ的面积即可． 【详解】（1）当Q点在AC上时， ∵∠A=30°，∠APQ=120°， ∴∠AQP=30°， ∴∠A=∠AQP， ∴AP=PQ， ∵运动速度为每秒2cm，运动时间为x秒， ∴AP=2x， ∴PQ=2x； （2）当M点在BC上，Q点在AC上，如图， 在（1）中已求得AP=PQ=2x， ∵四边形QPMN是菱形， ∴PQ=PN=MN=2x，， ∵∠APQ=120°， ∴∠QPB=60°， ∵， ∴∠MNB=∠QPB=60°， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°， ∴△MNB是等边三角形， ∴BN=MN， ∴AB=AP+PN+BN=2x×3=6x=6cm， ∴x=1（s）； （3）当P点运动到B点时，用时6÷2=3（s）， 即x的取值范围为：， 当M点刚好在BC上时， 在（2）中已求得此时x=1， 分情况讨论， 即当时，此时菱形PQMN在△ABC的内部， ∴此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积， 过Q点作QG⊥AB于G点，如图， ∵∠APQ=120°， ∴∠QPN=60°，即菱形PQMN的内角∠QPN=∠QMN=60°， ∴QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=， ∴重叠的面积等于菱形PQMN的面积为，即为：； 当x＞1，且Q点在线段AC上时， 过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，如图， ∵， ∴∠MNB=∠QPN=60， ∵∠B=60°， ∴△ENB是等边三角形， 同理可证明△MEF是等边三角形 ∴BN=NE，∠MEF=60°，ME=EF， ∵AP=PQ=PN=MN=2x，AB=6， ∴BN=6-AN=6-4x， ∴ME=MN-NE=2x-BN=6x-6， ∵MH⊥EF， ∴MH=ME×sin∠MEH=(6x-6)×sin60°=， ∴△MEF的面积为：， QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=， ∵菱形PQMN的面积为， ∴重叠部分的面积为， 当Q点与C点重合时，可知此时N点与B点重合，如图， ∵∠CPB=∠CBA=60°， ∴△PBC是等边三角形， ∴PC=PB， ∵AP=PQ=2x， ∴AP=PB=2x， ∴AB=AP+PB=4x=6， 则x=， 即此时重合部分的面积为：，； 当时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，过Q点作QG⊥AB于G点，如图， ∵AP=2x， ∴PB=AB-AP=6-2x， ∵∠QPB=∠ABC=60°， ∴△PQB是等边三角形， ∴PQ=PB，同时印证菱形PQMN的顶点N始终与B点重合， ∴QG=PQ×sin∠QPN=(6-2x)×sin60°=， ∴， ∴此时重叠部分的面积， 综上所述：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，理清运动过程中Q点的位置以及菱形PQMN的位置是解答本题的关键．解答本题需要注意分类讨论的思想． 10．（2021·吉林·中考真题）如图，在矩形中，，．动点从点出发沿折线向终点运动，在边上以的速度运动；在边上以的速度运动，过点作线段与射线相交于点，且，连接，．设点的运动时间为，与重合部分图形的面积为． （1）当点与点重合时，直接写出的长； （2）当点在边上运动时，直接写出的长（用含的代数式表示）； （3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】（1）在中，由求解即可； （2）点在上运动时间为，则点在上时． （3）分类讨论①：点在上，点在上；②：点在上，点在延长线上；③：点在上． 【详解】解：（1）如图， 在中，，， ∴， ∴． （2）点在上运动时间为， ∴点在上时：． （3）当时，点在上，作于点，交于点，作于点， 同（1）可得． ∴， 当时， ①∴时，点在上， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②当时，点在延长线上，交于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴． ③当时，点在上，如图， ∵， ∴． 综上所述：． 【点睛】题目主要考查运用三角函数解三角形求出相应边的长度，然后利用三角形面积公式确定函数解析式，同时也对二次函数在几何动点问题进行考查，难点是在进行分类讨论时，作出对应图形并作出相应辅助线，同时确定相应的自变量范围． 11．（2021·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）的顶点为A． （1）当时，点A的坐标是 ，抛物线与y轴交点的坐标是 ． （2）若点A在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围． （3）当时，若函数的最小值为3，求m的值． （4）分别过点、作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值． 【答案】(1)，抛物线与y轴交点的坐标为(0，)；(2)，；(3) m的值为或；(4) ，或 【分析】(1)将时代入直接可以求出顶点A的坐标，令中求出与y轴交点坐标； (2)顶点，由点A在第一象限，且即可求出的值，进而求出解析式，再由开口向上可知在对称轴左侧y随x的增大而减小，由此即可求解； (3)分m≥0和m＜0时讨论：当m≥0且时，函数的最小值为时取得；当，且时，时，函数的最小值为时取得； (4)先算出P、Q、M、N四个点的坐标，然后再分情况讨论二次函数与矩形PQMN的两边交点，求出B、C坐标，由“B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等”即可求解． 【详解】解：(1)由题意可知，二次函数顶点坐标， 当时，顶点坐标为， 此时抛物线解析式为：，令， ∴， ∴抛物线与y轴交点的坐标为(0，)； (2)顶点坐标， ∴， 又已知， ∴，且A点在第一象限， ∴，此时抛物线的解析式为：， 抛物线的对称轴为， 由开口向上可知在对称轴左侧y随x的增大而减小， ∴y随x的增大而减小时的取值范围为：， 故答案为：，； (3)函数的对称轴为，且开口向上， 当，且时，时，函数有最小值为， 由已知：函数的最小值为3， ∴，解得， 当，且时，时，函数有最小值为， 由已知：函数的最小值为3， ∴，解得或(正值舍去)， 故m的值为或； (4)由题意可知，、、、， ①如图所示，当m>0时，当抛物线与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上、点C在MN边上， ∴令y=2，则， ∴或（舍去）， ∴，C（m，2m）， ∵点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等， ∴， 解得：， 如图所示，若点B在PM边上、点C在NQ边上， ∵点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等， ∴， 解得：， ∵点B的纵坐标大于点C的纵坐标， ∴不符合题意，舍去， ∴， 如图所示，若点B在PQ边上、点C在NQ边上， ∵点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等， ∴4=2-2m， 解得：m=-1<0，不符合题意，舍去， ②如图所示，当m<0时，若点B在NQ边上，点C在PM边上， ∵点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等， ∴， 解得：， 或， 解得：， 综上，m的值为或或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图像及性质，涉及到分类讨论思想，情况不定时需要分类讨论，难度较大，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键． 二次函数综合 12．（2020·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为 ．    【答案】 【分析】根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ， 抛物线、为常数）与线段交于、两点，且， 设点的坐标为，则点的坐标为，， 抛物线， 解得，． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 13．（2023·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．    (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； (2)当点在轴上时，求点的坐标； (3)该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． (4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)；顶点坐标为 (2) (3)或 (4)或或 【分析】 （1）将点代入抛物线解析式，待定系数法即可求解； （2）当时，，求得抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中，得出，即可求解； （3）①如图所示，当，即时，②当，即时，分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为，建立方程，解方程即可求解； （4）根据在轴的上方，得出，根据题意分三种情况讨论①当是的中点，②同理当为的中点时，③，根据题意分别得出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， 解得： ∴抛物线解析式为； ∵， ∴顶点坐标为， （2）解：由， 当时，， 解得：， ∵抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中． ∴ ∴ 解得：， ∵点的坐标为， ∴； （3）①如图所示，当，即时，    抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点为顶点，最低点为点， ∵顶点坐标为， 则纵坐标之差为 依题意， 解得：； ②当，即时，    ∵，即， 依题意，， 解得：或（舍去）， 综上所述，或； （4）解：如图所示，    ∵在轴的上方， ∴ ∴ ∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为 ∴ ∵, ①当是的中点，如图所示    则， ∴代入， 即， 解得：（舍去）或； ②同理当为的中点时，如图所示，，，则点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，    ∴， 解得：， ③如图所示，    设，则， ∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为 ∴ 即 ∴， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， 解得：， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 14．（2022·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）经过点．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（）．以点A为中心，构造正方形，，且轴． (1)求该抛物线对应的函数表达式： (2)若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连接．当时，求点B的坐标； (3)若，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围； (4)当抛物线与正方形的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或或． 【分析】（1）将点代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）设，根据对称性可得，根据，即可求解； （3）根据题意分两种情况讨论，分别求得当正方形点在轴上时，此时与点重合，当经过抛物线的对称轴时，进而观察图像即可求解； （4）根据题意分三种情况讨论，根据正方形的性质以及点的坐标位置，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线（b是常数）经过点 ∴ 解得 （2）如图， 由 则对称轴为直线， 设，则 解得 （3）点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（）．以点A为中心，构造正方形，，且轴 ，且在轴上，如图， ①当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，如图，当正方形点在轴上时，此时与点重合， 的解析式为 ，将代入 即 解得 观察图形可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大； ②当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，当经过抛物线的对称轴时， 解得， 观察图形可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大； 综上所述，m的取值范围为或 （4）①如图，设正方形与抛物线的交点分别为，当时，则 是正方形的中心， 即 ②如图，当点在抛物线对称轴左侧，轴右侧时， 交点的纵坐标之差为， 的纵坐标为 的横坐标为 在抛物线上， 解得 ③当在抛物线对称轴的右侧时，正方形与抛物线的交点分别为，，设直线交轴于点，如图， 则 即 设直线解析式为 则 解得 直线解析式为 联立 解得（舍去） 即的横坐标为，即， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的对称性，正方形的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键． 15．（2021·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． （1）求此二次函数的解析式； （2）当时，求二次函数的最大值和最小值； （3）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围． 【答案】（1）；（2）最大值为；最小值为－2；（3）①；②或时，与图象交点个数为1，时，与图象有2个交点． 【分析】（1）利用待定系数法求解． （2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解． （3）①由求出取值范围， ②通过数形结合求解． 【详解】解：（1）将，点代入得： ， 解得， ∴． （2）∵， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线． ∴当时，取最小值为－2， ∵， ∴当时，取最大值． （3）①， 当时，，的长度随的增大而减小， 当时，，的长度随增大而增大， ∴满足题意， 解得． ②∵， ∴， 解得， 如图，当时，点在最低点，与图象有1交点， 增大过程中，，点与点在对称轴右侧，与图象只有1个交点， 直线关于抛物线对称轴直线对称后直线为， ∴时，与图象有2个交点， 当时，与图象有1个交点， 综上所述，或时，与图象交点个数为1，时，与图象有2个交点． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解． 16．（2020·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，函数（为常数）的图象与轴交于点． （1）求点的坐标． （2）当此函数图象经过点时，求此函数的表达式，并写出函数值随的增大而增大时的取值范围． （3）当时，若函数（为常数）的图象的最低点到直线的距离为2，求的值． （4）设，三个顶点的坐标分别为、、．当函数（为常数）的图象与的直角边有交点时，交点记为点．过点作轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为（与不重合），过点作轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为．若，直接写出的值． 【答案】（1）；（2），当时，随的增大而增大；（3）或；（4）或 【分析】（1）由题意可知当x=0时，代入，进行求解即可得出结果； （2）根据题意先求出函数的表达式，进而得出抛物线的开口向上，对称轴为x=-1，则当x＞-1时，y随x的增大而增大； （3）由题意分，那么对称轴在轴右侧以及，那么对称轴在轴左侧两种情况，依次建立含a的方程分别进行求解即可； （4）根据题意分当点在边上时以及当点在边上时两种情况，进而求得PP′并利用，建立含a的方程分别进行求解即可. 【详解】解：（1）当时，，所以． （2）将点代入，得，解得． 所以 如图1所示，抛物线的开口向上，对称轴为． 因此当时，随的增大而增大． （3）抛物线的对称轴为，顶点坐标为． 如图2，如果，那么对称轴在轴右侧，最低点就是． 已知最低点到直线的距离为2，所以．解得． 如图3，如果，那么对称轴在轴左侧，顶点就是最低点． 所以．整理，得． 解得（如图3），或（舍去正值）． （4），或． 抛物线的对称轴为， ，所以． ①如图4，当点在边上时，． 因为，所以点在对称轴的左侧．所以． 由，得．解得． ②如图5，当点在边上时，． 解方程，得．所以． 由，得． 解得，或（舍去）． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数图象与性质、待定系数法求解析式、直角三角形的性质、解一元二次方程、分类讨论等知识；熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键． 17．（2020·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，且点的坐标为，过点作垂直于轴的直线．是该抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作于点；是直线上的一点，其纵坐标为，以，为边作矩形． （1）求的值． （2）当点与点重合时，求的值． （3）当矩形是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求的值． （4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或． 【分析】（1）将A点坐标代入函数解析式即可求得b的值； （2）分别表示出P、Q、M的坐标，根据Q、M的横坐标相同，它们重合时纵坐标也相同，列出方程求解即可； （3）分别表示出PQ和MQ的长度，根据矩形是正方形时，即可求得m的值，再根据顶点在正方形内部，排除不符合条件的m的值； （4）分，，，四种情况讨论，结合图形分析即可． 【详解】解：（1）将点代入 得， 解得b=1,； （2）由（1）可得函数的解析式为， ∴, ∵于点， ∴, ∵是直线上的一点，其纵坐标为， ∴， 若点与点重合，则 ， 解得； （3）由（2）可得，， 当矩形是正方形时， 即， 即或， 解得， 解得， 又， ∴抛物线的顶点为(1，2)， ∵抛物线的顶点在该正方形内部， ∴P点在抛物线对称轴左侧，即，且M点的纵坐标大于抛物线顶点的纵坐标，即， 解得，故m的值为； （4）①如下图 当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小， 则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，且P点应该在x轴上侧， 即且， 解得， 解得， ∴， ②如下图 当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小， 则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标， 即，解得， ∴； ③当时，P点和M点都在直线x=3上不构成矩形，不符合题意； ④如下图 当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小， 则M点的纵坐标应该大于P点纵坐标， 即，解得或， 故， 综上所述或． 【点睛】本题考查二次函数综合，正方形的性质定理，求二次函数解析式．能分别表示出M、P、Q的坐标并结合图形分析是解决此题的关键，注意分类讨论． 二次函数的图像和性质 18．（2024·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（a、h为常数）与直线（m为常数）相交于A、B两点，若抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等，且的面积为4，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性，三角形面积公式，待定系数法求解析式，是解决问题的关键． 根据轴，抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与到x轴的距离相等，可知C为顶点，，对称轴为直线，得到在x轴的上方， ，C到的距离为4，根据的面积为4，得到，设，，得到，即得． 【详解】∵抛物线（a、h为常数）与直线（m为常数）相交于A、B两点， ∴轴，作图如下， ∵抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等， ∴C为顶点，，对称轴为直线， ∴C在x轴下方，到x轴的距离为2， ∴在x轴的上方，到x轴的距离为2， ∴， ∴C到的距离为：， ∵， ∴， 设点A在点B的左边，则，， ∴， ∴． 故答案为：． 19．（2024·吉林长春·三模）下列4个函数，①；②；③；④，其中图象是中心对称图形，且对称中心在原点的共有 个． 【答案】1 【分析】本题考查函数图象与性质，涉及函数的中心对称性等知识，根据一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质、二次函数图象与性质、正比例函数图象与性质逐项验证即可得到答案，熟记初中四类函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：①的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点，故①不符合题意； ②的图象是中心对称图形，且对称中心在原点，故②符合题意； ③的图象不是中心对称图形，故③不符合题意； ④的图象不是关于原点对称的中心对称图形，故④不符合题意； 综上所述，其中图象是中心对称图形，且对称中心在原点的共有1个， 故答案为：1． 20．（2024·吉林·模拟预测）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，其中．下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而减小； ③关于x的方程有实数根，则n是非负数； ④代数式的值大于0． 其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的符号问题，二次函数与方程关系，二次函数图像性质，解题的关键是能根据题目中的已知条件找到相关的数量关系． ①将代入即可得到b的范围； ②将代入即可； ③把代入可判断n的正负； ④将代入即可； 【详解】解：①将代入得， ， ， ，即.结论正确，故①符合题意； ②对称轴为直线， ，， ， 又， ， ， ，开口向下， 时，即对称轴右侧，y随x的增大而减小.结论正确，故②符合题意； ③把代入得． 方程有实数根， ， 即， ， ， ， ， ， 是负数，n为非负数不正确.故③不符合题意； ④将代入， ， ， ， ，， ， 即，④正确，故④符合题意； 故答案为：①②④． 21．（2024·吉林长春·模拟预测）二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 有如下结论： ①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是直线；③抛物线与y轴的交点坐标为；④由抛物线可知的解集是．其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的性质：熟练掌握二次函数 的性质是解决问题的关键.也考查了待定系数法求抛物线解析式. 利用交点式求出抛物线的解析式为则根据二次函数的性质可对①②进行判断；利用 时， 可对③进行判断；利用抛物线与轴的交点坐标为，则写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断. 【详解】∵抛物线经过点， ∴设抛物线的解析式为 把代入得 解得 ∴抛物线解析式为即 ， ∴抛物线开口向上，所以①正确； 抛物线的对称轴是直线 所以②正确； 抛物线与轴的交点坐标为所以③错误； ∵抛物线与轴交于点， 且抛物线开口向上， ∴当时， ， 的解集是所以④正确. 故答案为： ①②④. 22．（2024·吉林长春·模拟预测）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，先把原抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：， ∴将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为，即， 故答案为：． 二次函数的最值 23．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为、，点P在线段上，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，若点Q在反比例函数的图象上，则k的最大值为（    ） A． B． C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及坐标与图形变化，根据题意可知，设点的坐标为，则，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于的函数解析式，利用二次函数最值求出最值即可．熟练掌握二次函数最值求法是关键． 【详解】解：根据题意可知， 设点的坐标为，则， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 当时，取最大值． 故选：B． 24．（2024·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，点P、点Q均在此抛物线上，其横坐标分别为m、，抛物线上点P、Q之间的部分记为图像G（包括点P、点Q）．连接，以为对角线作矩形，且矩形的各边均与坐标轴平行或垂直． (1)求此抛物线的解析式； (2)当时，该二次函数的最大值是______，最小值是______； (3)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围； (4)当矩形的面积被坐标轴平分，且该抛物线的最低点是图像G的最低点时，求m的值． 【答案】(1) (2)， (3)或 (4)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图像的性质等知识点，灵活运用二次函数的相关性质成为解题的关键． （1）将点代入求得c的值即可解答； （2）先确定抛物线的对称轴，然后再根据二次函数的性质求最值即可； （3）根据图像以及题意列不等式求解即可； （4）先确定P、Q、M、N的坐标，然后根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入可得，解得：， 所以此抛物线的解析式． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为：， ∵， ∴当时，有最小值， ∵， ∴当时，有最大值． 故答案为：，． （3）解： ∵点P、点Q均在此抛物线上，其横坐标分别为m、， ∴，， ∴,， ∵抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小， ∴，或 解得：或； （4）解：∵点P、点Q均在此抛物线上，其横坐标分别为m、， ∴，， ∴,， ∵矩形的面积被坐标轴平分，且该抛物线的最低点是图像G的最低点时， ①当矩形的面积被x轴平分，则， ∴点P、点Q的纵坐标互为相反数， ∴，解得：（不符合题意）或， ②当矩形的面积被y轴平分，则， ∴点P、点Q的横坐标互为相反数， ∴，解得： ∴当或时，矩形的面积被坐标轴平分，且该抛物线的最低点是图像G的最低点． 二次函数与一元二次方程 25．（2024·吉林长春·模拟预测）若抛物线（为常数）与轴有且只有一个公共点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键在于理解抛物线与轴的交点与根的判别式有关：根的判别式大于0，有两个交点；根的判别式小于0，没有交点；根的判别式等于0，有一个交点．根据抛物线与轴只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出的值． 【详解】解：抛物线（为常数）与轴有且只有一个公共点， ， 解得， 故答案为：． 26．（2024·吉林长春·模拟预测）已知二次函数的图象的顶点在x轴上时，则实数k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题．熟练掌握抛物线与x轴交点个数与根判别式的关系，是解题的关键．抛物线与x轴交点个数与根判别式的关系：抛物线与x轴有一个交点；抛物线与x轴有两个交点；抛物线与x轴有没有交点． 根据抛物线与x轴有一个交点，根的判别式等于0的性质解答即可． 【详解】二次函数的图象的顶点在x轴上， ∴， ∴． 故答案为：． 27．（2024·吉林长春·二模）若抛物线（a为常数）与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点与根的判别式有关：根的判别式大于0，有两个交点；根的判别式大于0，没有交点；根的判别式等于0，有一个交点．根据抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出a的值． 【详解】∵抛物线（a为常数）与x轴有且只有一个公共点， ∴， ∴． 故答案为：． 28．（2024·吉林长春·二模）若抛物线与直线有两个公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与直线的交点问题、一元二次方程根的判别式，由题意得出方程有两个不相等的实数根，再由根的判别式得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线与直线有两个公共点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 29．（2024·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交于点，点B、C在抛物线上，其横坐标分别为m，． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)若，当点A、B的纵坐标之差为1时，求点B的坐标； (3)该抛物线在点B、C之间的部分（包括B、C两点）记作图象M，设图象M上的点的纵坐标为，当时，求m的值； (4)过点B作直线轴，将该抛物线在点B右侧的部分沿直线l翻折，得到的图象与该抛物线在点B及点B左侧的图象组成一个新图象记作图象N．当直线与图象N有三个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)m的取值范围为或 【分析】（1）根据抛物线关于直线对称和与y轴交于点即可求得b、c的值，从而求得抛物线对应的函数表达式； （2）根据点B横坐标求得点B纵坐标，结合列出等式求解即可； （3）根据抛物线关于直线对称可得其顶点坐标为，开口向上，故其纵坐标不会小于，要，则只需要B、C纵坐标即可，根据B、C横坐标和抛物线函数表达式可求得B、C纵坐标，根据不等式，结合一元二次方程求解，即可解题； （4）根据抛物线的图象和翻折与对称轴的性质可知，要直线与图象N有三个公共点，故点B坐标不能为抛物线顶点，考虑点B在直线两侧的情况，结合二次函数与一元二次方程及不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交于点， ，， ， 抛物线对应的函数表达式为； （2）解：点B、C在抛物线上，其横坐标分别为m，， 将m其代入得：， 点B的纵坐标为：， 当，当点A、B的纵坐标之差为1时可得： ，解得：或， 当时，点B的坐标为即， 当时，点B的坐标为即， 点B的坐标为或； （3）解：由（1）可知，抛物线对应的函数表达式为，其对称轴为直线， 其函数图象开口向上，顶点为即， ，，， ， 点B、C在抛物线上，其横坐标分别为m，，要使图象M上的点的纵坐标范围为，可得或， 当时，解得或（舍去） ①， 当时，解得（舍去）或 ②， 综合①②可得，当时，或； （4）解：点B在抛物线上，其横坐标分别为m，抛物线对应的函数表达式为， 点的坐标为， 要直线与图象N有三个公共点， 则点B不在的顶点上， 当点B在抛物线的对称轴右侧时，有， 此时有，且， 解得， 当时，解得：（舍去），， 综上所述可得：； 当点B在抛物线的对称轴左侧时，有， 此时有且， 当时，解得：，（舍去）， 即有③， 当时，解得：，（舍去）， 即有④， 结合③④可得， 综上所述，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，求抛物线的解析式，二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式，二次函数图象与一次函数的交点情况，翻折与对称轴的性质，坐标与图形，解题的关键是熟练运用相关知识． 30．（2024·吉林白城·模拟预测）如图、在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点A在抛物线上，点A的横坐标为m．点C的坐标为，以为对角线作矩形，使轴． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)求抛物线与y轴的交点坐标； (3)当时，求抛物线在矩形内部的图象（包含边界）的最大值与最小值的差； (4)当抛物线与矩形的边恰好有4个交点（包含端点）时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)2 (4)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用． (1)运用待定系数法即可求得答案； (2)令函数解析式中的横坐标为0，求得纵坐标的值，即可得到答案． (3)当时，可得，结合图形即可求得答案； (4)当，解得：， 当，解得即可得出答案； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点 ∴，解得 ∴抛物线所对应的函数解析式为； （2）在函数解析式中，令，得， ∴抛物线与y轴的交点坐标是． （3）当时，则， ， 把代入得 ∵以为对角线作矩形，使轴， ∴，如图， ∴抛物线在矩形内部的图象（包含边界）的最大值为4，最小值为2， ∴最大值与最小值的差为； （4）由题意得： 当解得， ， 当解得：， 综上:或． 实际问题与二次函数 31．（2024·吉林松原·模拟预测）如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在处，此时桥洞中水面宽度仅为4米，桥洞顶部点O到水面的距离仅为1米；旱季最低水位线在处，此时桥洞中水面宽度达12米，那么最低水位与最高水位之间的距离为 米． 【答案】8 【分析】本题主要考查二次函数的应用，结合图形弄清实际意义是解题的关键．以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，先求出函数关系式，再求出点D的坐标，最后求解即可． 【详解】解：如图，以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系， 设抛物线的函数关系式为， 由题意可得， 代入函数关系式得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 可设， 代入抛物线的解析式，得：， ∴， ∴， ∴， ∴最低水位与最高水位之间的距离为8米． 故答案为：8 32．（2024·吉林白城·模拟预测）如图是一款抛物线型落地灯简示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面2.25米，最高点C距灯柱的水平距离为1.5米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离为 米．    【答案】 【分析】本题考查了将二次函数的实际应用转化为二次函数图象的抽象能力以及用待定系数法求函数解析式与点的坐标的能力，解题的关键是建立坐标系，将实际问题转化为数学问题．以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的值，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则点C坐标，点B坐标 设抛物线的解析式为， 将点B代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 当时，， 解得：（舍去）或， 茶几到灯柱的距离为米， 故答案为：． 33 ．（2024·吉林长春·二模）长春公园拟建一个喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜着喷出水柱，经过测量水柱在不同位置到水管的水平距离和对应的竖直高度呈抛物线型，当喷水管离地面3.2米喷水时，水柱在离水管水平距离3米处离地面竖直高度最大，最大高度是5米．此喷水管可以上下调节，喷出的水柱形状不变且随之上下平移，若调节后的落水点（水落到地面的距离）向内平移了1米，则喷水管需要向下平移 米． 【答案】1.8 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键. 依据题意，由表格数据即可作图；结合图象，设函数的解析式为再将代入求出后即可得解，依据题意,令 即: 从而解得后，即可判断原抛物线的落水点，然后求出新抛物线的落水点，再设喷水管需要向下平移米，故新抛物线的表达式为 又将代入得求后即可得解. 【详解】解：建立平面直角坐标系为： 设与之间的函数表达式为 观察图象可知，顶点坐标为， 代入得， 将代入得， ∴解得: ， ∴抛物线的表达式为， 由题意，抛物线与轴相交，令 即， 解之得：(不合题意，舍去)。 ∴原抛物线的落水点为. ∴新抛物线的落水点为即. 设喷水管需要向下平移米， ∴新抛物线的表达式为 ， 将代入得, ， ∴解得: ， 答：喷水管需要向下平移米， 故答案为：． 34．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是的中点．动点从点出发，沿折线以的速度运动，作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当时，的形状是______． (2)当点Q与点B重合时，求x的值． (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)3 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）由题意得出当时，点在上，如图，作于，则，证明，得出，即可得证； （2）求出当点与点重合时，此时点的运动的距离为，计算即可得出答案； （3）分三个阶段：当时，点在上运动；当时，点在上运动，作于；当时，点在上运动，作于，分别利用矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，点运动的距离为：， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点． ∴， ∴当时，点在中点上， 如图，作于，则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是等腰直角三角形； （2）如图，当点与点重合时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴此时点的运动的距离为， ∴； （3）∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点． ∴， 如图，当时，点在上运动， ， 此时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 如图，当时，点在上运动，作于，则， ∴四边形为矩形， ∴， 同（1）可得，， ∴， ∴的形状是等腰直角三角形， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，点在上运动，作于， 同理可得：四边形为矩形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 35．（2024·吉林·模拟预测）某公司准备对甲、乙两款产品进行投资，通过市场调查得到了投资甲产品一年后的利润（万元），投资乙产品一年后的利润（万元）随投入成本x（万元）（且x为整数）变化的数据如下表： 投入成本x（万元） … 1 2 4 8 … 甲产品利润（万元） … 0.5 1 2 4 … 乙产品利润（万元） … 2.25 4 6 4 … (1)与x，与x之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于x的函数解析式和关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若该公司投资了甲、乙两款产品． ①若一年后乙产品的利润是甲产品的两倍，求乙产品投入的成本是多少？ ②要想一年后公司投资的这两款产品的利润和最大，并且两款产品的总利润率为，那么该公司共投入的成本是多少？（利润率） 【答案】(1)， (2)①6万元；②40万元 【分析】（1）设，将表中数据代入计算即可求出答案； （2）①根据题意列出等式即可得到答案； ②设一年后两种产品获得的利润和为w万元，总共投入成本为m万元，计算出当时，w有最大值，最大值为，即可得到解答． 【详解】（1）设，将代入， 解得， ， 设， 将和和代入， ，解得， ． （2）①由题意得：， 故， 解得：（舍去），． 乙产品投入的成本是6万元． ②设一年后两种产品获得的利润和为w万元，总共投入成本为m万元， 投入乙产品为n万元，则投入甲产品为万元， ， 抛物线开口向下，， 当时，w有最大值，最大值为． ， 解得． 答：该公司共投入成本是40万元． 36．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，在矩形中，，，点是的中点．动点从点出发，沿折线以的速度运动，作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当时，的形状是 ． (2)当点与点重合时，求的值． (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2) (3) 【分析】（1）由题意得出当时，点在上，如图，作于，则，证明，得出，即可得证； （2）求出当点与点重合时，此时点的运动的距离为，计算即可得出答案； （3）分三个阶段：当时，点在上运动；当时，点在上运动，作于；当时，点在上运动，作于，分别利用矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，点运动的距离为：， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点． ∴， ∴当时，点在中点上， 如图，作于，则， ， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是等腰直角三角形； （2）解：如图，当点与点重合时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴此时点的运动的距离为， ∴； （3）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点． ∴， 如图，当时，点在上运动， ， 此时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 如图，当时，点在上运动，作于，则， ， ∴四边形为矩形， ∴， 同（1）可得，， ∴， ∴的形状是等腰直角三角形， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，点在上运动，作于， ， 同理可得：四边形为矩形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 二次函数综合 37．（2024·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过，点在抛物线上，横坐标为，点的坐标为，过点作垂直该抛物线的对称轴于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式及对称轴； (2)当点落在直线上时，求点的坐标； (3)连结并延长交抛物线对称轴于点，作点关于抛物线对称轴对称点，连结、和． ①求的值； ②当在对称轴左侧时，若四边形的周长与周长之比为，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)抛物线对应的函数表达式为，对称轴为． (2)点的坐标为或 (3) 【分析】（1）待定系数法即可求出抛物线对应的函数表达式，可求出其对称轴． （2）根据题意的点的纵坐标为，把代入中，利用公式法求解一元二次方程即可求点的坐标． （3）①过点作关于抛物线对称轴的对称点，连接，可得三点共线，设点为，表示和，即，得出四边形为平行四边形，进而证明为的中位线，即可求出． ②由上易证四边形为菱形，故菱形的周长为，周长为，即，代入数值，利用公式法即可求解，，再根据当在对称轴左侧时，，即可舍去，从而得出的值． 【详解】（1）解：把代入 得：， ∴， ∴该抛物线对应的函数表达式为， ∴对称轴为直线，即． （2）解：由题意可得，直线为，点在直线上 ∴点的纵坐标为， 把代入得，， 解得，， ∴或， ∴点的坐标为或； （3）①解：过点作关于抛物线对称轴的对称点，连接，如图 又∵点关于抛物线对称轴的对称点为点，延长交抛物线对称轴于点， ∴三点共线， 设点为， 又∵抛物线对称轴是，点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴点为 ∴ ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴ ∴ ∵ ∴四边形为平行四边形， ∴ ∵点为的中点， ∴为的中位线，即 ∴ ②∵为的中位线，垂直平分，四边形为平行四边形， ∴，， ∴ ∴四边形为菱形 ∴菱形的周长为 ∵抛物线对称轴是，点的坐标为 ∴点的坐标为， ∴ ∴周长为 ∵四边形的周长与周长之比为 ∴ ∵点为，点的坐标为， ∴ 将和代入 化简可得 解得：， ∴当在对称轴左侧时，即 ∴舍去， 即 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查待定系数法，抛物线的对称轴，菱形的性和判定，平行四边形的性质和判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的公式法求根，熟练掌握待定系数法，勾股定理，平行四边形的性质，解方程是解题的关键． 38．（2024·吉林松原·模拟预测）如图1，已知抛物线与x轴负半轴交于点A，点B在y轴正半轴上，连接，交抛物线于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)如图2，过点C作轴于点D，点P为线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点E，过点P作轴于点G，交线段于点F，设点P的横坐标为m． ①求线段的长（用含m的代数式表示）； ②已知点M是x轴上一点，N是坐标平面内一点，当以点E、F、M、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时m的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②当点为顶点的四边形是正方形时，或 【分析】（1）运用待定系数法把把点代入抛物线即可求解； （2）根据二次函数图象的性质，令时，解一元二次方程即可； （3）根据正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论：当是正方形的边；当是正方形的对角线；由此列式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入抛物线得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：在，当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：①∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是抛物线的一点，且横坐标为， ∴， ∴， ∵过点作轴于点， ∴， ∴， ∴； ②设直线的解析式为， 把代入中得， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在直线的图象上，且点的横坐标为， ∴， 由①得，，点， ∴， 设， ∵点的纵坐标相同， ∴轴，， 当为正方形的边时，，则点与点重合，点与点重合，或是点与点重合，点与点重合，如图所示， ∴， 解得，； 当为正方形的对角线时，连接，交于点Q， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形，则， ∴， 解得，； 综上所述，当点为顶点的四边形是正方形时，或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论思想等知识的综合运用是解题的关键． 39．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线的顶点为，点、均在此抛物线上（点在对称轴右侧），且点、的横坐标分别为、，连接，过点作轴于点，过点作轴于点． (1)______，______； (2)当点落在轴上时，求的值； (3)当时，求线段的长； (4)当点在轴右侧时，作四边形．若四边形的边和抛物线有交点（不包括四边形的顶点），设此交点为点，当的面积是四边形面积的时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或或 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标公式，即可解答； （2）由（1）可得：抛物线的解析式为，根据点在对称轴右侧，点B横坐标为，得出，根据点落在轴上时，得出，求出m的值，进而得出，，过点B作轴于点H，易得，即可解答； （3）根据题意可得，，则，根据，得出，求出或，进而得出点A和点B的坐标，最后根据两点之间距离公式，即可求解； （4）先求出m的取值范围，根据题意进行分类讨论：①当与抛物线相交于点N时，②当与抛物线相交于点N时，此时点A在对称轴右侧，即，③当于抛物线相交于点N时，此时点A在对称轴右侧，即，根据三角形和四边形面积公式和等量关系，建立关于m的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：由（1）可得：抛物线的解析式为， ∵点在对称轴右侧，点B横坐标为， ∴， 解得：， ∵点A横坐标为m， ∴， ∵点落在轴上时， ∴， 解得：（舍去）， ∴，， 过点B作轴于点H， ∴， ∴； （3）解：∵点、的横坐标分别为、， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 当时，，， ∴， 当时，，， ∴， 综上：或； （4）解：∵点A在y轴右侧，点B在对称轴右侧， ∴， 解得：， ①当与抛物线相交于点N时， 把代入得：， ∴， ∵，， ∴，， 过点N作y轴的垂线，与相交于点M，过点A作于点P，过点B作于点Q， 易得四边形是矩形， ∴， ∵的面积是四边形面积的， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即点N为中点， ∴， 解得：，（舍去）， ②当与抛物线相交于点N时，此时点A在对称轴右侧，即， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴， ， ∵的面积是四边形面积的， ∴， 解得：，， 当时，点A和点B重合，不符合题意，舍去， ③当与物线相交于点N时，此时点A在对称轴右侧，即， 同理可得： ， ∵，，，， ∴，， ∴， ， ∵的面积是四边形面积的， ∴， 解得：（舍去），， 综上：或或． 【点睛】本题综合考查了二次函数，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，根据题意画出图形，具有分类讨论的思想． 40．（2024·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，且此抛物线经过点，点A、B均在此抛物线上，点A、B的横坐标分别为m、，过点B作y轴的垂线交此抛物线于点C，连结，以、为边作． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)当线段BC长为2时，求点A的坐标； (3)当的顶点落在抛物线的对称轴上时，求的面积； (4)设抛物线的对称轴交的边于M、N两点，若此抛物线与的边有交点（不包括的顶点），交点记为点H，作．当的面积是面积的时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4) 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据对称轴求出的值，将代入即可得到答案； （2）根据题意求出点的坐标，将用含的式子表示出来，即可得到答案； （3）根据题意将面积表示出来，即，分情况进行讨论求出答案； （4）根据题意得到，进行计算即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ， ， ， 将代入函数解析式， ，解得， ； （2）解：令， 令， ， 令，， ， ， ， 当时， ， 故或； （3）解：作于点， ，记为， ①，此时点在点左侧，故点在轴右侧，即， ，， 若在对称轴上，， 若在对称轴上，，（舍） ， 若在对称轴上，，（舍）， 若在对称轴上，， ②，此时点在点右侧，故点在轴左侧，即， ，， ， 由①可知，不可能在对称轴上， 若要使四边形是平行四边形，点只能在点左侧，故不可能在对称轴上， 综上，面积为或； （4）解：令， 令， ， 令，， ， ， ， ， 高一样， ， ， ， ， 解得； 41．（2024·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B左侧），点P、Q为抛物线上两点（点P与点Q不重合），点P的横坐标为m，点Q的横坐标为． (1)求线段的长； (2)当时，求m的值； (3)当抛物线在点P和点Q之间的部分（包括点P与点Q两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求m的值； (4)当点P在点B左侧时，连结，过点P作y轴的垂线交该抛物线于点M，以为边作，连接，设的面积为，的面积为，当时，直接写出m的值． 【答案】(1)4 (2)1或3 (3)或 (4) 【分析】（1）令，求出点的坐标，即可求解； （2）由题意得到，利用两点间距离公式列出方程即可求解； （3）分点P在点Q上方和点P在点Q下方，两种情况讨论即可； （4）根据题意画出示意图，设交y轴于点E，交y轴于点F，由，根据平行四边形的性质得到，进而得到，再根据，分别求出的面积，的面积，利用建立方程求解即可． 【详解】（1）解：令，即， 解得：， 根据题意：， ； （2）解：点P、Q为抛物线上两点（点P与点Q不重合），点P的横坐标为m，点Q的横坐标为． ， ， 整理得：， 解得：， m的值为1或3； （3）解：由（2）知， 当点P在点Q上方时，， 解得：， 则，即， 解得：； 和点P在点Q下方， 同理得：， 则，即， 解得：； 综上，最高点与最低点的纵坐标之差为时，m的值为或； （4）解：如图，设交y轴于点E，交y轴于点F，   ，则， 四边形是平行四边形， ， 轴，则轴， 点P与点M关于对称， 点M的横坐标为：， ， ， 点N的横坐标为：， ， 点P在点B左侧， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得：或（舍去，不符合题意）， m的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，二次函数与特殊的平行四边形综合．二次函数与面积综合问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与特殊的平行四边形综合是解题的关键． 42．（2024·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，抛物线经过点两点，且与直线交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点为顶点的四边形是以或边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或或 (3)存在，的最小值为， 【分析】（1）由四边形为正方形及点D的坐标，可求得点B的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）由抛物线解析式求出抛物线的对称轴，则可得点E的坐标，从而求得； 分两种情况：①当吋；②当时，设点F坐标为，利用或建立关于a的方程，求出a的值，即可求得点F的坐标； （3）连接，易得四边形BOMP是平行四边形，则，从而有 ，故当的值最小时，则值最小，当点三点共线时，的值为最小，此时与抛物线对称轴的交点为M，且由勾股定理可求得的值，即可求得的最小值；再求出的解析式，即可求得它与对称轴的交点M的坐标，从而求得点P的坐标． 【详解】（1）解:四边形为正方形，， ， ， ； 把点B、D坐标代入得：，解得：， 拋物线的解析式为： （2）解：由（1）得，抛物线解析式为， 则抛物线的对称轴为直线， 点与点关于抛物线的对称轴对称， ， ， 设点，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：①当吋，如图所示： 由两点距离公式可得，即， 解得:， 点的坐标为或； ②当时，如图所示: 由两点距离公式可得，即， 解得:， 点的坐标为或； 综上所述：点的坐标为或或或； （3）解：由题意可得如图所示： 连接， 由(2)可知点D与点关于抛物线的对称轴对称，， ； 过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 若使的值为最小，即为最小， ∴当点三点共线时，的值为最小，此时与抛物线对称轴的交点为M，如图所示： ， ， 的最小值为，即的最小值为， 设线段的解折式为，代入点的坐标得：， 线段的解析式为， ， ． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，两点间线段最短等知识，综合性强，注意分类讨论及数形结合． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 二次函数 （原卷版） 二次函数的图像和性质 1．（2021·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ． 2．（2022·吉林长春·中考真题）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ． 3．（2024·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连结、． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求证：当取不为零的任意实数时，的值始终为2； (3)作的垂直平分线交直线于点，以为边、为对角线作菱形，连结． ①当与此抛物线的对称轴重合时，求菱形的面积； ②当此抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 4．（2024·吉林·中考真题）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6． (1)直接写出k，a，b的值． (2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）． Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围． Ⅱ．若关于x的方程（t为实数），在时无解，求t的取值范围． Ⅲ．若在函数图像上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围． 二次函数的最值 5．（2023·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，连接，．    (1)求此抛物线的解析式． (2)当点与此抛物线的顶点重合时，求的值． (3)当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差． (4)设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值． 6．（2022·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围； (3)若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为． ①求的值； ②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标． 二次函数与一元二次方程 7．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ． 实际问题与二次函数 8．（2023·吉林长春·中考真题）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．    9．（2022·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为． (1)当点在边上时，的长为 ；（用含的代数式表示） (2)当点落在边上时，求的值； (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 10．（2021·吉林·中考真题）如图，在矩形中，，．动点从点出发沿折线向终点运动，在边上以的速度运动；在边上以的速度运动，过点作线段与射线相交于点，且，连接，．设点的运动时间为，与重合部分图形的面积为． （1）当点与点重合时，直接写出的长； （2）当点在边上运动时，直接写出的长（用含的代数式表示）； （3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 11．（2021·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）的顶点为A． （1）当时，点A的坐标是 ，抛物线与y轴交点的坐标是 ． （2）若点A在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围． （3）当时，若函数的最小值为3，求m的值． （4）分别过点、作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值． 二次函数综合 12．（2020·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为 ．    13．（2023·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．    (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； (2)当点在轴上时，求点的坐标； (3)该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． (4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值． 14．（2022·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）经过点．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（）．以点A为中心，构造正方形，，且轴． (1)求该抛物线对应的函数表达式： (2)若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连接．当时，求点B的坐标； (3)若，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围； (4)当抛物线与正方形的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值． 15．（2021·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． （1）求此二次函数的解析式； （2）当时，求二次函数的最大值和最小值； （3）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围． 16．（2020·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，函数（为常数）的图象与轴交于点． （1）求点的坐标． （2）当此函数图象经过点时，求此函数的表达式，并写出函数值随的增大而增大时的取值范围． （3）当时，若函数（为常数）的图象的最低点到直线的距离为2，求的值． （4）设，三个顶点的坐标分别为、、．当函数（为常数）的图象与的直角边有交点时，交点记为点．过点作轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为（与不重合），过点作轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为．若，直接写出的值． 17．（2020·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，且点的坐标为，过点作垂直于轴的直线．是该抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作于点；是直线上的一点，其纵坐标为，以，为边作矩形． （1）求的值． （2）当点与点重合时，求的值． （3）当矩形是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求的值． （4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 二次函数的图像和性质 18．（2024·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（a、h为常数）与直线（m为常数）相交于A、B两点，若抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等，且的面积为4，则a的值为 ． 19．（2024·吉林长春·三模）下列4个函数，①；②；③；④，其中图象是中心对称图形，且对称中心在原点的共有 个． 20．（2024·吉林·模拟预测）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，其中．下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而减小； ③关于x的方程有实数根，则n是非负数； ④代数式的值大于0． 其中正确的结论是 （填写序号）． 21．（2024·吉林长春·模拟预测）二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 有如下结论： ①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是直线；③抛物线与y轴的交点坐标为；④由抛物线可知的解集是．其中正确的是 ． 22．（2024·吉林长春·模拟预测）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为 ． 二次函数的最值 23．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为、，点P在线段上，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，若点Q在反比例函数的图象上，则k的最大值为（    ） A． B． C．12 D．10 24．（2024·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，点P、点Q均在此抛物线上，其横坐标分别为m、，抛物线上点P、Q之间的部分记为图像G（包括点P、点Q）．连接，以为对角线作矩形，且矩形的各边均与坐标轴平行或垂直． (1)求此抛物线的解析式； (2)当时，该二次函数的最大值是______，最小值是______； (3)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围； (4)当矩形的面积被坐标轴平分，且该抛物线的最低点是图像G的最低点时，求m的值． 二次函数与一元二次方程 25．（2024·吉林长春·模拟预测）若抛物线（为常数）与轴有且只有一个公共点，则的值为 ． 26．（2024·吉林长春·模拟预测）已知二次函数的图象的顶点在x轴上时，则实数k的值是 ． 27．（2024·吉林长春·二模）若抛物线（a为常数）与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ． 28．（2024·吉林长春·二模）若抛物线与直线有两个公共点，则的取值范围为 ． 29．（2024·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交于点，点B、C在抛物线上，其横坐标分别为m，． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)若，当点A、B的纵坐标之差为1时，求点B的坐标； (3)该抛物线在点B、C之间的部分（包括B、C两点）记作图象M，设图象M上的点的纵坐标为，当时，求m的值； (4)过点B作直线轴，将该抛物线在点B右侧的部分沿直线l翻折，得到的图象与该抛物线在点B及点B左侧的图象组成一个新图象记作图象N．当直线与图象N有三个公共点时，直接写出m的取值范围． 30．（2024·吉林白城·模拟预测）如图、在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点A在抛物线上，点A的横坐标为m．点C的坐标为，以为对角线作矩形，使轴． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)求抛物线与y轴的交点坐标； (3)当时，求抛物线在矩形内部的图象（包含边界）的最大值与最小值的差； (4)当抛物线与矩形的边恰好有4个交点（包含端点）时，直接写出m的取值范围． 实际问题与二次函数 31．（2024·吉林松原·模拟预测）如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在处，此时桥洞中水面宽度仅为4米，桥洞顶部点O到水面的距离仅为1米；旱季最低水位线在处，此时桥洞中水面宽度达12米，那么最低水位与最高水位之间的距离为 米． 32．（2024·吉林白城·模拟预测）如图是一款抛物线型落地灯简示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面2.25米，最高点C距灯柱的水平距离为1.5米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离为 米．    33．（2024·吉林长春·二模）长春公园拟建一个喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜着喷出水柱，经过测量水柱在不同位置到水管的水平距离和对应的竖直高度呈抛物线型，当喷水管离地面3.2米喷水时，水柱在离水管水平距离3米处离地面竖直高度最大，最大高度是5米．此喷水管可以上下调节，喷出的水柱形状不变且随之上下平移，若调节后的落水点（水落到地面的距离）向内平移了1米，则喷水管需要向下平移 米． 34．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是的中点．动点从点出发，沿折线以的速度运动，作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当时，的形状是______． (2)当点Q与点B重合时，求x的值． (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 35．（2024·吉林·模拟预测）某公司准备对甲、乙两款产品进行投资，通过市场调查得到了投资甲产品一年后的利润（万元），投资乙产品一年后的利润（万元）随投入成本x（万元）（且x为整数）变化的数据如下表： 投入成本x（万元） … 1 2 4 8 … 甲产品利润（万元） … 0.5 1 2 4 … 乙产品利润（万元） … 2.25 4 6 4 … (1)与x，与x之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于x的函数解析式和关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若该公司投资了甲、乙两款产品． ①若一年后乙产品的利润是甲产品的两倍，求乙产品投入的成本是多少？ ②要想一年后公司投资的这两款产品的利润和最大，并且两款产品的总利润率为，那么该公司共投入的成本是多少？（利润率） 36．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，在矩形中，，，点是的中点．动点从点出发，沿折线以的速度运动，作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当时，的形状是 ． (2)当点与点重合时，求的值． (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 二次函数综合 37．（2024·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过，点在抛物线上，横坐标为，点的坐标为，过点作垂直该抛物线的对称轴于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式及对称轴； (2)当点落在直线上时，求点的坐标； (3)连结并延长交抛物线对称轴于点，作点关于抛物线对称轴对称点，连结、和． ①求的值； ②当在对称轴左侧时，若四边形的周长与周长之比为，直接写出所有满足条件的的值． 38．（2024·吉林松原·模拟预测）如图1，已知抛物线与x轴负半轴交于点A，点B在y轴正半轴上，连接，交抛物线于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)如图2，过点C作轴于点D，点P为线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点E，过点P作轴于点G，交线段于点F，设点P的横坐标为m． ①求线段的长（用含m的代数式表示）； ②已知点M是x轴上一点，N是坐标平面内一点，当以点E、F、M、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时m的值． 39．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线的顶点为，点、均在此抛物线上（点在对称轴右侧），且点、的横坐标分别为、，连接，过点作轴于点，过点作轴于点． (1)______，______； (2)当点落在轴上时，求的值； (3)当时，求线段的长； (4)当点在轴右侧时，作四边形．若四边形的边和抛物线有交点（不包括四边形的顶点），设此交点为点，当的面积是四边形面积的时，直接写出的值． 40．（2024·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，且此抛物线经过点，点A、B均在此抛物线上，点A、B的横坐标分别为m、，过点B作y轴的垂线交此抛物线于点C，连结，以、为边作． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)当线段BC长为2时，求点A的坐标； (3)当的顶点落在抛物线的对称轴上时，求的面积； (4)设抛物线的对称轴交的边于M、N两点，若此抛物线与的边有交点（不包括的顶点），交点记为点H，作．当的面积是面积的时，直接写出m的值． 41．（2024·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B左侧），点P、Q为抛物线上两点（点P与点Q不重合），点P的横坐标为m，点Q的横坐标为． (1)求线段的长； (2)当时，求m的值； (3)当抛物线在点P和点Q之间的部分（包括点P与点Q两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求m的值； (4)当点P在点B左侧时，连结，过点P作y轴的垂线交该抛物线于点M，以为边作，连接，设的面积为，的面积为，当时，直接写出m的值． 42．（2024·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，抛物线经过点两点，且与直线交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点为顶点的四边形是以或边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$