第五章 二次函数 单元检测卷（A卷) 2024-2025学年苏科版九年级数学下册

2024-2025学年九年级下册第五章 二次函数 单元检测卷（A卷） (苏科版） （满分 120分，时间 90分钟） 考试须知： 答题时应特别注意，请勿错位． 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列各式中，y是x的二次函数是（　　） A． B． C． D． 2.与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数是（    ） A． B． C． D． . 3．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（       ） A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y随x的增大而减小 C．图象有最低点，其坐标是 D．图象有最高点，其坐标是 4. （2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 5.（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6.若抛物线的顶点在x轴上，则b＝（ ） A B. C. D. 7．如图，抛物线的对称轴为直线x＝1，经过点（3，0）．下列结论：①abc＞0；②；③3a+c＝0；④抛物线经过点，则；⑤（m为任意实数）． 其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8.如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，点从点出发沿路线以每秒1个单位的速度运动，点从点出发沿路线以每秒个单位的速度运动，当一个点到达终点时另一个点随之停止运动，设，运动时间为秒，则正确表达与的关系图象是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9..已知函数为二次函数，则m的值为 10.二次函数的顶点坐标是_________． 11. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表．则的值是__． x … 0 … y … … 12．将抛物线以原点为中心旋转180度得到的抛物线解析式为_________ 13．若函数图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是 14. 二次函数的图象如图所示．当时，自变量x的取值范围是 _____． ． 15. （2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为 16. 九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 ． 三、解答题（本大题共8小题，共64分，解答时应写出文字说明或演算步骤。） 17．(8分） 如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，2）、B（0，﹣1）、C（1，﹣2）． （1）求二次函数的表达式； （2）画出二次函数的图象； （3）结合图象，直接写出当0＜x＜3时，y的取值范围 　 　． 18.（7分） 如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，设矩形垂直于墙的一边，即的长为． （1）若矩形养殖场面积为，求此时的的值． （2）当为多少时，矩形养殖场的面积最大?最大值是多少? 19.已知二次函数： （1）若二次函数图象与x轴有交点，求m的取值范围． （2）当二次函数的图象经过点时，确定m的值，并求出此二次函数与坐标轴的交点坐标 20．（7分）（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值； (2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 21.（7分）如图，抛物线与轴交于A、两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点，点A、、的坐标分别为，， （1）直线的表达式为_________； （2）求抛物线所对应的函数表达式； （3）①顶点的坐标为_____________； ②当时，的取值范围是______________． 22.（8分）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） (1)求缆索所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索上，，且，，求的长． 23.（9分）李师傅到批发市场购进阳光玫瑰进行销售，这种阳光玫瑰每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过20箱；当购买1箱时，批发价为8.5元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.3元．根据李师傅的销售经验，这种阳光玫瑰售价为13元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱． (1)求出阳光玫瑰批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；（写出自变量的取值范围） (2)若每天购进的阳光玫瑰需当天全部售完，请你计算，李师傅每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？ 24.（10分）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标； （3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下册第五章 二次函数 单元检测卷答案 （A卷）(苏科版） 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一个选项符合题意） 1.D 2.B 3.B 4.A 5.D 6.A 7.C 8.B 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 10. 11. 12. 13. 且 14. 15. 16. 三、解答题（本大题共8小题，共64分，解答时应写出文字说明或演算步骤。） 17.（1）∵函数经过A （﹣1，2）、B （0，﹣1）、C （1，﹣2）， ∴把A，B，C三点代入函数解析式中得：， 解得， ∴二次函数解析式为：y＝x2﹣2x﹣1， （2）画出二次函数的图象如图： （3）由图象可知，当0＜x＜3时，y的取值范围﹣2≤y＜2. 故答案为：﹣2≤y＜2. 18.【小问1详解】 解：∵矩形，， ∴， 由题意，得， 解得，， 当时，（舍去）， 当时，． 答：此时x的值为6m． 【小问2详解】 解：设矩形养殖场的面积为， 由（1）得，， ∵， ∴当时，S最大，最大值为40.5， 答：当x为4.5时，矩形养殖场的面积最大，最大值为． 19.【小问1详解】 解：∵函数与x轴有交点 ∴， ∴， 【小问2详解】 ∵图象经过点， ∴，得， ∴， 当时，， 函数与y轴交于， 当时，或， 函数与x轴交于或． 20.（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点， ∴， 解得，， ∴； （2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，无解，不符合题意，舍去； 当时，，； ∴． 21.【小问1详解】 解：设直线的表达式为：， 将点B、C代入中得，， 解得：， ∴设直线的表达式为：， 故答案为：； 【小问2详解】 把，，代入抛物线中 得中 解得， ∴函数表达式为． 【小问3详解】 ①将变形得，， ∴顶点的坐标为：， 故答案为：； ②由题可知时，y有最大值，， 时，y有最小值，， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 22.（1）解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为， 设缆索所在抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为， ∵， ∴把代入得，， 解得，， ∴或， ∵， ∴的长为． 23. （1）解：，，且x为整数 （2）解：设李师傅每天应购进这种水果x箱，每天所获利润为w元， 则， ∵，x为整数，且， ∴当时，取最大值，最大值为（元）， 答：李师傅每天应购进这种水果箱，才能使每天所获利润最大，最大利润是元． 24.（1）先由直线AB的解析式为y=x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=﹣x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式． ∵y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当y=0时，x=﹣3，即A点坐标为（﹣3，0），当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3）． 将A（﹣3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得 ，解得． ∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3． （2）设第三象限内的点F的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D的坐标，再设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，根据S△AEF=S△AEG+S△AFG﹣S△EFG=3，列出关于m的方程，解方程求出m的值，进而得出点F的坐标． 如图1，设第三象限内的点F的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3）， 则m＜0，﹣m2﹣2m+3＜0． ∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4， ∴对称轴为直线x=﹣1，顶点D的坐标为（﹣1，4）． 设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG， 则G（﹣1，0），AG=2． ∵直线AB的解析式为y=x+3， ∴当x=﹣1时，y=﹣1+3=2．∴E点坐标为（﹣1，2）． ∵S△AEF=S△AEG+S△AFG﹣S△EFG =×2×2+×2×（m2+2m﹣3）﹣×2×（﹣1﹣m）=m2+3m， ∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，m2+3m=3， 解得m1=，m2=（舍去）． 当m=时，﹣m2﹣2m+3=﹣m2﹣3m+m+3=﹣3+m+3=m=． ∴点F的坐标为（，）． （3）方法1： 设P点坐标为（﹣1，n），． ∵B（0，3），C（1，0），∴BC2=12+32=10． 分三种情况： ①如图2，如果∠PBC=90°，那么PB2+BC2=PC2， 即（0+1）2+（n﹣3）2+10=（1+1）2+（n﹣0）2， 化简整理得6n=16，解得n=． ∴P点坐标为（﹣1，）． ∵顶点D的坐标为（﹣1，4）， ∴PD=4﹣=． ∵点P的速度为每秒1个单位长度， ∴t1=秒． ②如图3，如果∠BPC=90°，那么PB2+PC2=BC2， 即（0+1）2+（n﹣3）2+（1+1）2+（n﹣0）2=10， 化简整理得n2﹣3n+2=0，解得n=2或1． ∴P点坐标为（﹣1，2）或（﹣1，1）， ∵顶点D的坐标为（﹣1，4）， ∴PD=4﹣2=2或PD=4﹣1=3． ∵点P的速度为每秒1个单位长度，∴t2=2秒，t3=3秒． ③如图4，如果∠BCP=90°，那么BC2+PC2=PB2， 即10+（1+1）2+（n﹣0）2=（0+1）2+（n﹣3）2， 化简整理得6n=﹣4，解得n=． ∴P点坐标为（﹣1，）． ∵顶点D的坐标为（﹣1，4），∴PD=4+=． ∵点P的速度为每秒1个单位长度， ∴t4=秒． 学科网（北京）股份有限公司 $$