第04讲 用空间向量研究直线平面的关系（4个知识点+5种题型+过关检测）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第04讲 用空间向量研究直线平面的关系（4个知识点+5种题型+过关检测） 知识点1：用向量表示点、直线、平面的位置 一、空间中点的向量和直线的向量表示 1．设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝＋t. 2．空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 注意点： (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 二、空间中平面的向量表示 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb. 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 注意点： (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 知识点2：平面的法向量及其应用 求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如，. (2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (3)联立方程组并求解． (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量． 知识点3：空间中直线平面的平行 1.直线和直线平行 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 证明线线平行的两种思路： (1)(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明． (2)(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示． 2.直线和平面平行 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 注意点： (1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)特别强调直线在平面外． 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法： (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示． (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证． (3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 3.平面和平面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. 证明面面平行问题的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 知识点4：空间中直线、平面的垂直 1.直线与直线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 注意点： (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 2.直线与平面垂直 设直线 l 的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 证明线面垂直的方法： (1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论． 3.平面与平面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 题型1：根据方向向量确定两直线的位置关系 【例题1】（23-24高二上·广东湛江·期中）直线与的方向向量分别为和，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．重合 【变式1】（2021高二·全国·专题练习）若直线、的方向向量分别为，，则与的位置关系是（    ） A． B． C．、相交不垂直 D．不能确定 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知空间直角坐标系中的点，平面过点并且与直线垂直，动点是平面内的任意一点，则直线的一个方向向量为 ，点的坐标满足的条件为 ． 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）根据下列条件，判断相应的线､面位置关系： （1）直线的方向向量分别是； （2）直线，的方向向量分别是，； 题型2：平面法向量的求法 【例题2】（21-22高二上·湖北孝感·期末）已知点，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）已知直线的一个方向向量为，且过点．若平面过直线与点，则平面的一个法向量是 ． 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量. 题型3：利用空间向量解决平行问题 【例题3】（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）若直线，且的方向向量为，平面的法向量为，则的值为（    ） A．4 B． C． D．8 【变式1】（23-24高二下·甘肃·期中）已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．l与斜交 B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·北京西城·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则 ． 【变式3】（22-23高二·全国·课堂例题）已知正方体中，M，N分别是与的中点．求证：面． 题型4：利用空间向量解决垂直问题 【例题4】（23-24高二上·浙江金华·期末）已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高二上·河北邯郸·期中）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则＝（　　） A．﹣3 B．3 C．6 D．9 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）向量是平面内的两个不共线的向量，直线的一个方向向量为，则与是否垂直？ (填“是”或“否”)． 【变式3】（24-25高二上·全国·假期作业）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面；    题型5：空间中的探索性问题 【例题5】（22-23高二上·上海嘉定·期中）在正方体中，为上一动点，则下列各选项正确的是（      ） A．存在点使得与平面垂直 B．存在点使得与平面垂直 C．存在点使得与平面垂直 D．存在点使得与平面垂直 【变式1】（22-23高二上·天津蓟州·阶段练习）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【变式2】（23-24高二上·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式3】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点. (1)证明：当为棱的中点时，平面； (2)是否存在点，使得；若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．（23-24高二上·北京房山·期末）设直线的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）若直线l的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数（    ） A．2 B． C． D．10 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A． B． C．或 D．与的位置关系不能判断 4．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（    ） A．⊥ B． C．与相交但不垂直 D．或 5．（22-23高二上·四川成都·期中）已知，，，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·广东东莞·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B．2 C．6 D． 7．（22-23高二上·江苏·阶段练习）已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二上·浙江绍兴·期中）如图，在正方体中，与平面垂直的向量是（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知平面与平面平行，若平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高二上·云南昆明·期中）以下命题正确的是（    ） A．平面，的法向量分别为，，则 B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 11．（23-24高二上·四川凉山·期末）下列结论正确的是（    ） A．若向量，，，则，，共面 B．已知平面，不重合，平面和平面的一个法向量均为，则 C．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．若向量，，则在上的投影向量为 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课前预习）空间中直线、平面的垂直 （1）线线垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，则 . （2）线面垂直 新知生成 设直线的方向向量是，平面的法向量是，则 . （3）面面垂直 若平面的法向量，平面的法向量，则 . 13．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知（a，）是直线l的方向向量，是平面的法向量，如果，则 . 14．（23-24高二上·北京昌平·期中）设平面的法向量分别为 若 则 . 四、解答题 15．（2024·山西·三模）如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 16．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：    (1)平面平面； (2)平面平面. 17．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E为BC的中点. (1)证明：平面ABCD； (2)在线段AN上是否存在点S，使得平面AMN?如果存在，求出线段AS的长度；若不存在，请说明理由. 18．（23-24高二上·四川雅安·期中）如图，在正方体中，分别是的中点． (1)用空间向量法证明：平面； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由． 19．（23-24高二上·上海黄浦·期中）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，． (1)证明：； (2)线段上是否存在一点，使得直线垂直平面，若存在，求出线段的长，若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 用空间向量研究直线平面的关系（4个知识点+5种题型+过关检测） 知识点1：用向量表示点、直线、平面的位置 一、空间中点的向量和直线的向量表示 1．设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝＋t. 2．空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 注意点： (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 二、空间中平面的向量表示 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb. 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 注意点： (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 知识点2：平面的法向量及其应用 求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如，. (2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (3)联立方程组并求解． (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量． 知识点3：空间中直线平面的平行 1.直线和直线平行 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 证明线线平行的两种思路： (1)(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明． (2)(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示． 2.直线和平面平行 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 注意点： (1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)特别强调直线在平面外． 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法： (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示． (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证． (3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 3.平面和平面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. 证明面面平行问题的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 知识点4：空间中直线、平面的垂直 1.直线与直线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 注意点： (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 2.直线与平面垂直 设直线 l 的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 证明线面垂直的方法： (1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论． 3.平面与平面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 题型1：根据方向向量确定两直线的位置关系 【例题1】（23-24高二上·广东湛江·期中）直线与的方向向量分别为和，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．重合 【答案】B 【分析】判断向量、的关系，即可得出直线与的位置关系. 【详解】因为直线与的方向向量分别为和， 则，所以，，则. 故选：B 【变式1】（2021高二·全国·专题练习）若直线、的方向向量分别为，，则与的位置关系是（    ） A． B． C．、相交不垂直 D．不能确定 【答案】A 【分析】由题可得，即可判断. 【详解】由题意，直线、的方向向量分别为，， ， ∴与的位置关系是. 故选：A. 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知空间直角坐标系中的点，平面过点并且与直线垂直，动点是平面内的任意一点，则直线的一个方向向量为 ，点的坐标满足的条件为 ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】（1）根据直线方向向量得定义求出直线得方向向量即可，由题意可得，再根据空间向量数量积得坐标公式求解即可. 【详解】直线的一个方向向量为， 由题意知，因为，所以， ， 则，即， 所以. 故答案为：； 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）根据下列条件，判断相应的线､面位置关系： （1）直线的方向向量分别是； （2）直线，的方向向量分别是，； 【答案】(1)（2） 【分析】（1）根据空间向量垂直的坐标运算可得答案； （2）根据，得出； 【详解】（1）， ，即； （2）因为，， 所以，所以，即 题型2：平面法向量的求法 【例题2】（21-22高二上·湖北孝感·期末）已知点，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面的一个法向量为，利用列方程求解即可. 【详解】由知， 设平面的一个法向量为，所以， 取，解得，选项D符合， 另外选项ABC中的向量与选项D中的向量不共线. 故选：D 【变式1】（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设平面的一个法向量为，利用列方程求解即可. 【详解】由已知， 设平面的一个法向量为， 取，解得， 选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线. 故选：A 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）已知直线的一个方向向量为，且过点．若平面过直线与点，则平面的一个法向量是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定条件，求出，再借助方程组求出平面的一个法向量作答. 【详解】依题意，，显然与不共线，设平面的一个法向量， 则，取，得，， 因此是平面的一个法向量，平面的法向量（）. 故答案为：答案不唯一 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量. 【答案】即为平面的法向量，是平面的法向量 【分析】先证出是三条两两垂直的线段，建立空间直角坐标系，得到点的坐标，求出平面的法向量. 【详解】因为，，所以， 因为平面，平面，平面， 所以， 所以是三条两两垂直的线段， 以A为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 于是，，.    易得是平面的法向量. 设平面的一个法向量为， 则，解得. 又，解得. 所以即为平面的法向量， 所以即为平面的法向量，是平面的法向量 题型3：利用空间向量解决平行问题 【例题3】（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）若直线，且的方向向量为，平面的法向量为，则的值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】根据线面平行列方程，化简求得的值. 【详解】∵，的方向向量为，平面的法向量为， ∴，∴，∴. 故选：A 【变式1】（23-24高二下·甘肃·期中）已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．l与斜交 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，得到，即可得到答案. 【详解】由平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为， 可得，所以，则. 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·北京西城·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据，可得两平面的法向量共线，再根据空间向量的共线定理即可得解. 【详解】因为， 所以两平面的法向量共线， 所以存在唯一实数，使得， 所以，解得， 所以. 故答案为： 【变式3】（22-23高二·全国·课堂例题）已知正方体中，M，N分别是与的中点．求证：面． 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答. 【详解】在正方体中，以A为原点，的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，    令正方体的棱长为1，则， 线段的中点，线段的中点，则， 因为平面，则是平面的一个法向量，而且， 显然，因此，又平面， 所以面 题型4：利用空间向量解决垂直问题 【例题4】（23-24高二上·浙江金华·期末）已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线方向向量与平面法向量的位置关系得两平面的位置关系，由此即可得解. 【详解】由题意或. 故选：B. 【变式1】（21-22高二上·河北邯郸·期中）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则＝（　　） A．﹣3 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据线面垂直的向量表示即可求解. 【详解】因为，所以，解得， 所以. 故选：B 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）向量是平面内的两个不共线的向量，直线的一个方向向量为，则与是否垂直？ (填“是”或“否”)． 【答案】否 【分析】根据题意可知验证向量数量积是否为零，即可判断出直线与平面是否垂直. 【详解】易知，所以， ，即与不垂直， 所以与不垂直． 故答案为：否 【变式3】（24-25高二上·全国·假期作业）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面；    【答案】证明见解析． 【分析】以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得和，结合，即可证得平面； 【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    可得，，，则． 设点的坐标为，因为，所以， 即，，， 所以点的坐标为，即． 因为，所以，则． 由已知，且，平面，平面， 所以平面 题型5：空间中的探索性问题 【例题5】（22-23高二上·上海嘉定·期中）在正方体中，为上一动点，则下列各选项正确的是（      ） A．存在点使得与平面垂直 B．存在点使得与平面垂直 C．存在点使得与平面垂直 D．存在点使得与平面垂直 【答案】D 【分析】如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，求出平面的法向量，设，然后逐个分析判断即可. 【详解】如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设， 对于A，，若与平面垂直，则与共线，则存在唯一，使，则，所以，方程组不成立，所以与不共线，所以与平面不垂直，所以A错误， 对于B，，若与平面垂直，则与共线，则存在唯一，使，则，所以，得不合题意，所以与不共线，所以与平面不垂直，所以B错误， 对于C，，若与平面垂直，则与共线，则存在唯一，使，则，所以，方程组不成立，所以与不共线，所以与平面不垂直，所以C错误， 对于D，，若与平面垂直，则与共线，则存在唯一，使，则，所以，得符合题意，所以当时，与共线，此时与平面垂直，所以D正确， 故选：D 【变式1】（22-23高二上·天津蓟州·阶段练习）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，P为线段的中点 【分析】（1）根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； （2）由空间向量的坐标运算，由与平面的法向量垂直，代入计算，即可求解. 【详解】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面 【变式2】（23-24高二上·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）取中点，连接，依题意可得、即可证明平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积为求解即可. 【详解】（1）取中点，连接，如图，    又为的中点， ，由，则， 又为等腰直角三角形，，， ，又，平面， 平面，又平面， （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，平面，故， 故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设，   ， 则，，， 若存在使得平面平面，且，， 则，解得，， 则，， 设为平面的一个法向量，则， 令，即， 设是平面的一个法向量，则， 令，则， ，可得． 存在使得平面平面，此时 【变式3】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点. (1)证明：当为棱的中点时，平面； (2)是否存在点，使得；若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）取中点为，通过平行关系证明四边形为平行四边形，再结合线面平行的判定定理完成证明； （2）建立合适空间直角坐标系，将垂直关系转化为向量的数量积为，结合结果进行判断即可. 【详解】（1）当为的中点时，取中点为，连接， 因为分别为的中点，故可得， 根据已知条件可知：，故， 故四边形为平行四边形，则， 又平面平面， 故面； （2）因为平面平面，故， 又四边形为矩形，故，则两两垂直， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，设， 若，则， 即，解得，不满足题意， 故不存在. 一、单选题 1．（23-24高二上·北京房山·期末）设直线的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用空间向量判定空间位置关系即可. 【详解】对于A，若两个平面的法向量互相垂直，则两个平面垂直，即A正确； 对于B，若两个不同的平面的法向量互相平行，则两个平面互相平行，即B正确； 对于C，若一直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线垂直于该平面，即C正确； 对于D，若一直线的方向向量与一平面的法向量垂直，则该直线平行于该平面或者在该面内，即D错误. 故选：D 2．（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）若直线l的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数（    ） A．2 B． C． D．10 【答案】A 【分析】利用空间位置关系的向量证明，列式求解即得. 【详解】由直线l的方向向量，平面的一个法向量，， 得，则，解得， 所以实数. 故选：A 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A． B． C．或 D．与的位置关系不能判断 【答案】A 【分析】根据向量共线即可判定. 【详解】由于，故直线的方向向量与平面法向量平行，故， 故选：A 4．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（    ） A．⊥ B． C．与相交但不垂直 D．或 【答案】D 【分析】根据，所以，进而可以得到与的关系. 【详解】因为， 所以，所以或. 故选：D. 5．（22-23高二上·四川成都·期中）已知，，，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入法向量的计算公式，即可求解. 【详解】，，令法向量为，则， ，可取. 故选：A. 6．（23-24高二上·广东东莞·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B．2 C．6 D． 【答案】A 【分析】由平面垂直得法向量数量积为0，即可求解. 【详解】由题意，所以，解得. 故选：A. 7．（22-23高二上·江苏·阶段练习）已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面法向量的定义，列式计算得解. 【详解】显然与不平行，设平面α的法向量为， 则，所以，令，得，. 所以． 故选：C. 8．（22-23高二上·浙江绍兴·期中）如图，在正方体中，与平面垂直的向量是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明直线平面即可. 【详解】，    连接，在正方体中有平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 同理可得， 平面， 所以平面，所以是与平面垂直的向量. 故选：B 二、多选题 9．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知平面与平面平行，若平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】 利用空间向量的坐标分别判断与四个选项中的向量是否平行即可得解. 【详解】因为平面与平面平行，所以平面的法向量与平面的法向量平行， 对于选项A: 若，则此时，满足平面的法向量与平面的法向量平行，故选项A正确； 对于选项B: 若，则此时无解，不满足平面的法向量与平面的法向量平行，故选项B错误； 对于选项C: 若，则此时，满足平面的法向量与平面的法向量平行，故选项C正确； 对于选项D: 若，则此时无解，不满足平面的法向量与平面的法向量平行，故选项D错误. 故选：AC. 10．（22-23高二上·云南昆明·期中）以下命题正确的是（    ） A．平面，的法向量分别为，，则 B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】BD 【分析】由法向量是否共线判断A；计算数量积判断B；由直线与平面平行的意义判断C；由法向量的意义，列式计算判断D. 【详解】对于A，向量与不共线，平面与不平行，A错误； 对于B，由，，得，与垂直，B正确； 对于C，，，则或，C错误； 对于D，，由是平面的法向量， 得，解得，D正确. 故选：BD 11．（23-24高二上·四川凉山·期末）下列结论正确的是（    ） A．若向量，，，则，，共面 B．已知平面，不重合，平面和平面的一个法向量均为，则 C．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．若向量，，则在上的投影向量为 【答案】AB 【分析】利用空间向量的共面定理判断选项A；根据利用法向量判断两平面的平行关系确定选项B;根据向量与平行的关系判断选项C；利用投影向量的定义求解选项D. 【详解】对A观察可知，，所以共面，A正确； 对B， 平面和平面的一个法向量相等，则,B正确； 对C，，所以或，C错误； 对D，因为，， 所以， 所以在上的投影向量为，D错误； 故选:AB. 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课前预习）空间中直线、平面的垂直 （1）线线垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，则 . （2）线面垂直 新知生成 设直线的方向向量是，平面的法向量是，则 . （3）面面垂直 若平面的法向量，平面的法向量，则 . 【答案】 【分析】略 【详解】略 13．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知（a，）是直线l的方向向量，是平面的法向量，如果，则 . 【答案】39 【分析】由可得：，利用空间向量共线的充要条件列方程组计算即得. 【详解】因，依题意，必有，即存在唯一的实数，使，即：， 则，解得：，故. 故答案为：39. 14．（23-24高二上·北京昌平·期中）设平面的法向量分别为 若 则 . 【答案】 【分析】由面面平行得到法向量共线，再利用向量的共线定理即可解决. 【详解】因为所以，可得 又 可得，则. 故答案为：. 四、解答题 15．（2024·山西·三模）如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）由（1）可得：，利用空间向量证明线线垂直. 【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 可得 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为，且平面，所以∥平面. （2）由（1）可得：， 则，所以. 16．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：    (1)平面平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用空间向量法证明线面垂直证明面面垂直； （2）利用空间向量法证明平面，再根据线面垂直的性质得到面面平行； 【详解】（1）证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.    则，，，，，. 设，则，，. 因为，，， 所以，. 所以，，即，. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）因为，，， 所以，. 所以，. 因为平面，所以平面. 又由（1）知平面，所以平面平面. 17．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E为BC的中点. (1)证明：平面ABCD； (2)在线段AN上是否存在点S，使得平面AMN?如果存在，求出线段AS的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由平面，平面ABCD，所以，因为，所以四边形MDBN为平行四边形，所以可证明结论. （2）建系，设，由平面AMN，解出，再由向量的模长公式计算长度. 【详解】（1）证明：连接BD，如图(1).    因为平面，平面ABCD， 所以. 因为， 所以四边形MDBN为平行四边形. 所以. 又平面，平面ABCD，所以平面ABCD. （2）由题意知DM，DC，DA两两垂直. 以点D为原点，DA，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图(2)的空间直角坐标系，    则，，，，， 假设在线段AN上存在点S，使得平面AMN，连接AE. 易知，，. 设，， 则. 由平面AMN，得即 解得. 此时，所以. 故在线段AN上存在点S，使得平面AMN，此时线段AS的长度为. 18．（23-24高二上·四川雅安·期中）如图，在正方体中，分别是的中点． (1)用空间向量法证明：平面； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，在的延长线上，且 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据共线求证， （2）根据法向量与直线的方向向量垂直即可求解. 【详解】（1）证明：以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ． 设平面的法向量为， 则取，则，得， 平面． （2）存在点，使得平面，在的延长线上，且． 由题意得， 设，则， 平面，得． 19．（23-24高二上·上海黄浦·期中）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，． (1)证明：； (2)线段上是否存在一点，使得直线垂直平面，若存在，求出线段的长，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由线面垂直得线线垂直，再由底面上的，可得平面，从而证得线线垂直； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法表示线面垂直，求得，得其长度． 【详解】（1）证明：∵在四棱锥中，面，面，面，∴，. 在直角梯形中，，. 又面面，,∴平面，又面，∴； （2）由题意及（1）得，存在一点，使得直线垂直平面. 在四棱锥中，，， 以为轴建立空间直角坐标系如图所示： 根据题意可得：， ∴. 根据点在线段上，∴. 设，则， 由得，得，∴， ∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$