专题03 相反数和绝对值重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题03 相反数和绝对值重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 相反数的辨别与定义 题型二 判断是否互为相反数 题型三 利用相反数的意义化简多重符号 题型四 相反数与数轴的综合 题型五 绝对值的意义 题型六 求一个数的绝对值 题型七 化简绝对值 题型八 绝对值非负性解题 题型九 绝对值方程 题型十 绝对值的其他应用 题型十一 有理数的大小比较 题型十二 有理数大小比较的实际应用 知识点1：相反数的概念 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身； ③相反数是成对出现的（0除外）。 知识点2：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 知识点3：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 知识点4：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 知识点5：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 知识点6：绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 知识点7：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【经典例题一 相反数的辨别与定义】 【例1】（22-23七年级·江苏·假期作业）下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 1．（22-23七年级上·天津宝坻·期中）下列说法不正确的是（    ） A．互为相反数的两个数到原点的距离相等 B．所有的有理数都有相反数 C．正数和负数互为相反数 D．在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数 2．（23-24七年级上·新疆和田·阶段练习）的相反数是 ． 3．（23-24七年级上·吉林长春·期末）已知下列有理数：，4． (1)在给定的数轴上表示这些数． (2)这些数中是否存在互为相反数的两个数？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数． 【经典例题二 判断是否互为相反数】 【例2】（2023九年级·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．最小的正整数是0 B．是负数 C．符号不同的两个数互为相反数 D．的相反数是 1．（22-23七年级上·新疆伊犁·阶段练习）下列各对数中，是互为相反数的是（　　） A．﹣（+7）与+（﹣7） B．﹣与+（﹣0.5） C．与 D．+（﹣0.01）与 2．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）在① +（+2）与﹣（﹣2）；② +（﹣2）与﹣（+2）；③ +（+2）与+（﹣2）；④ +（+2）与﹣（+2）；⑤ +（﹣2）与﹣（﹣2）；⑥﹣（﹣2）与﹣（+2）这六对数中，它们是互为相反数的有 组． 3．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）设a，b在数轴上表示的实数到原点的距离相等，且位于原点的两侧，c，d互为倒数，e的绝对值为1，请求出下列代数式的值：2a+2b﹣+e． 【经典例题三 利用相反数的意义化简多重符号】 【例3】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）下列式子的化简结果等于5的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）化简：（    ） A． B． C． D．10 2．（22-23七年级上·广西河池·阶段练习）计算：—(—10)= ；-|－8| ． 3．（2023七年级·全国·专题练习）化简：（1）； （2）； （3）． 【经典例题四 相反数与数轴的综合】 【例4】（222-23七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上两点A、B表示的数互为相反数，若点B表示的数为6，则点A表示的数为（    ） A．6 B．﹣6 C．0 D．无法确定 1．（23-24七年级上·河南平顶山·期中）点A、C、O、B在数轴上的位置如图所示，O为原点，，点C对应的有理数是a，若，则点B对应的有理数是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·辽宁鞍山·期中）如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，C表示的数互为相反数，且，则点B表示的数是 ． 3．（22-23七年级上·河南鹤壁·阶段练习）如图，图中数轴的单位长度为2，请回答下列问题： (1)如果点、表示的数是互为相反数，那么点表示的数是多少？ (2)如果点、表示的数是互为相反数，那么点、表示的数是多少？ 【经典例题五 绝对值的意义】 【例5】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法：①；②；③相反数大于它本身的数一定是负数；④绝对值等于它本身的数一定是正数．其中正确的序号为（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 1．（23-24七年级上·江西抚州·期末）适合的整数a的值有（    ） A．5个 B．7个 C．8个 D．9个 2．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）适合的正整数a的值有 个 3．（23-24七年级上·山东滨州·期中）阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1)表示数轴上4与________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数所对应的点到________所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数所对应的点到_________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数，使得．这样的整数有________个． (4)利用绝对值的几何意义，写出的最小值． 【经典例题六 求一个数的绝对值】 【例6】（2023·四川巴中·模拟预测）的绝对值的相反数是（  ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．和 C．和 D．和 2．（2024七年级·全国·竞赛）对于任意的有理数和，称为和的“绝对差”．小枫同学对这2016个整数进行如下操作：划掉两个整数，并在这列数的后面写上这两个整数的“绝对差”．重复操作，直到剩下一个数，这个数最大是 ． 3．（22-23六年级上·山东泰安·课后作业）已知，求的值． 【经典例题七 化简绝对值】 【例7】（2023·重庆渝北·一模）已知实数a，b，c满足，且，则下列说法中，正确的个数是（    ） ①；②；③化简； A．0 B．1 C．2 D．3 1．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 2．（23-24七年级上·甘肃酒泉·期末）如果有理数在数轴上的位置如图所示，则= ． 3．（23-24七年级上·福建莆田·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）数轴上表示5与的两点之间的距离是 ； （2）①若，则x= ； ②若使x所表示的点到表示2和的点的距离之和为5，求所有符合条件的整数的和． 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）若，求的值． 【经典例题八 绝对值非负性解题】 【例8】（2024七年级·全国·竞赛）若与互为相反数，则（    ）． A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知a，b，c均为整数，且，那么的值 ． 3．（23-24七年级上·陕西西安·期末）（1）写出图中表示点，点的数； （2）在数轴上标出表示的点和表示的点； （3）若在数轴上另取一点，且两点间的距离是9，则点对应的数是几？ 【经典例题九 绝对值方程】 【例9】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）适合的整数的值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）已知是方程的解，则k的值为（    ） A．11或 B．9或 C．11或 D．或9 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）若，那么 ． 3．（22-23七年级上·江苏南通·期中）对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为______； (2)若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于41的“美好关联数”为1，…． ①的最小值为______；②的值为______．（最小值） 【经典例题十 绝对值的其他应用】 【例10】（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）数轴上有，，，，五个点，各点的位置与所表示的数如图所示，且．若数轴上有一点，所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述正确的是（    ） A．在，之间 B．在，之间 C．在，之间 D．在，之间 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）点A，B在数轴上分别表示有理数a、b．A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： ①数轴上表示1和3两点之间的距离是 ； ②x表示一个有理数，且，则有理数x的值是 ． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和6的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为______；代数式的意义可理解为数轴上表示数______和数______这两点的距离． （2）探索材料2：的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点的距离为5，由于数轴上数和数7到数2的距离为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值． （3）探索材料3：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和，不妨记数轴上数2为点A，数x为点B，数为点C．若要求的最小值，即求的最小值．结合数轴可知，当点B在A点和C点之间时，最小，最小值为．综上，的最小值为5． ①求代数式的最小值； ②求代数式的最小值． 【经典例题十一 有理数的大小比较】 【例11】（23-24·江苏宿迁·模拟预测）当时，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）大于而小于2.3的整数共有（　　）个． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．（23-24七年级上·江西吉安·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【经典例题十二 有理数大小比较的实际应用】 【例12】（2024·湖北恩施·一模）今年春节后有一段时间气候异常寒冷，某一天，北京、杭州、哈尔滨、金华四个城市的最低气温分别是，其中最低气温是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，检测4个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，最接近标准质量的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24七年级下·福建福州·期末）小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是 ． 3．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）一种圆形的机器零件规定直径为200毫米,为检测它们的质量，从中抽取6件进行检测，比规定直径大的毫米数记作正数，比规定直径小的毫米数记作负数．检查记录如下： 1 2 3 4 5 6 0.2 -0.1 -0.3 0.1 0 -0.2 （1）第几号的机器零件直径最大？第几号最小？并求出最大直径和最小直径的长度； （2）质量最好的是哪个？质量最差的呢？ 1．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）若，则等于（    ） A． B． C． D．或 2．（2023七年级上·全国·专题练习）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．﹣|﹣7|和+（﹣7） B．+（﹣10）和﹣（+10） C．﹣（﹣43）和﹣（+43） D．+（﹣54）和﹣（+54） 3．（22-23七年级上·四川眉山·期末）下列比较大小正确的是（　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知a、b在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级上·重庆江津·期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（    ） ①若，则或；②若，则； ③若，则；④关于的方程有无数个解． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）比较大小： 7．（23-24七年级上·四川成都·期末）如果，那么的值为 ． 8．（22-23七年级上·全国·单元测试）化简： ， ， ． 9．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）当 时，取得最小值为 ． 10．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知、、为非零有理数，请你探究以下问题： （1）当时， ； （2）的最小值为 ． 11．（22-23七年级上·山西太原·阶段练习）（1）在数轴把下列各数表示出来，并比较它们的相反数的大小：－3，0，－，，0.25 （2）比较下列各组数的大小 ①与                   ②与 12．（22-23七年级上·湖北·课后作业）化简下列各符号 （1）；   （2）；  （3）（共n个负号）． 你能否根据化简的结果找到更简单的化简的规律呢？试一试． 13．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）操作与探究.对数轴上的任意一点P． ①作出点N使得N和P表示的数互为相反数，再把N对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．我们称P′是P的N变换点； ②把P点向右平移1个单位，得到点M，作出点P′′使得P′′和M表示的数互为相反数，我们称P′′是P的M变换点． （1）如图，若点P表示的数是－4，则P的N变换点P′表示的数是 ________ ； （2）若P的M变换点P′′表示的数是2，则点P表示的数是 ________ ； （3）若P′，P′′分别为P的N变换点和M变换点，且OP′＝2OP′′，求点P表示的数． 14．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）阅读材料：如图，，，，若A、B两点在数轴上分别表示有理数a、b，则．例如，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题： (1)，则______． (2)，则______． (3)，则______． (4)式子的最小值为______． (5)若，则______． 15．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）阅读下面材料： 在数轴上2与所对应的两点之间的距离为； 在数轴上与3所对应的两点之间的距离为； 在数轴上与所对应的两点之间的距离为． 归纳：在数轴上点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离或． 回答下列问题： (1)数轴上表示数x和1的两点之间的距离表示为 ；数轴上表示数x和 的两点之间的距离表示为； (2)试说明当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，的值总是一个固定的值，并求出这个固定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相反数和绝对值重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 相反数的辨别与定义 题型二 判断是否互为相反数 题型三 利用相反数的意义化简多重符号 题型四 相反数与数轴的综合 题型五 绝对值的意义 题型六 求一个数的绝对值 题型七 化简绝对值 题型八 绝对值非负性解题 题型九 绝对值方程 题型十 绝对值的其他应用 题型十一 有理数的大小比较 题型十二 有理数大小比较的实际应用 知识点1：相反数的概念 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身； ③相反数是成对出现的（0除外）。 知识点2：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 知识点3：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 知识点4：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 知识点5：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 知识点6：绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 知识点7：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【经典例题一 相反数的辨别与定义】 【例1】（22-23七年级·江苏·假期作业）下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 【答案】B 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0进行解答即可． 【详解】解：和互为相反数，则①正确； 只有符号不同的两个数互为相反数，②错误； 0的相反数是0，所以互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数，③错误； 的相反数是，④错误； 0的相反数是0，一个数和它的相反数可能相等，⑤错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0是解题的关键． 1．（22-23七年级上·天津宝坻·期中）下列说法不正确的是（    ） A．互为相反数的两个数到原点的距离相等 B．所有的有理数都有相反数 C．正数和负数互为相反数 D．在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数 【答案】C 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：A. 互为相反数的两个数到原点的距离相等，正确，故本选项不符合题意； B. 所有的有理数都有相反数，正确，故本选项不符合题意； C. 绝对值相等的正数和负数互为相反数，故错误，符合题意； D. 在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数． 2．（23-24七年级上·新疆和田·阶段练习）的相反数是 ． 【答案】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案． 【详解】解：的相反数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义． 3．（23-24七年级上·吉林长春·期末）已知下列有理数：，4． (1)在给定的数轴上表示这些数． (2)这些数中是否存在互为相反数的两个数？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数． 【答案】(1)见解析； (2)存在，与是互为相反数，它们之间的整数是、0、1． 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，相反数的意义，数轴上两点的距离，数形结合是解题的关键． （1）将已知数表示在数轴上即可； （2）根据相反数的意义找出互为相反的两个数，并写出所有整数． 【详解】（1）解：数轴如图所示； （2）解：存在，与是互为相反数， 和之间的整数为，0，1． 【经典例题二 判断是否互为相反数】 【例2】（2023九年级·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．最小的正整数是0 B．是负数 C．符号不同的两个数互为相反数 D．的相反数是 【答案】D 【分析】根据有理数、相反数的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、最小的正整数是1，故该选项说法错误，不符合题意； B、 不一定是负数，例如：，是正数，故该选项说法错误，不符合题意； C、 只有符号不同的两个数互为相反数，故该选项说法错误，不符合题意； D、 的相反数是，故该选项说法正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数、相反数等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 1．（22-23七年级上·新疆伊犁·阶段练习）下列各对数中，是互为相反数的是（　　） A．﹣（+7）与+（﹣7） B．﹣与+（﹣0.5） C．与 D．+（﹣0.01）与 【答案】C 【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 【详解】解：−（＋7）＝−7，＋（−7）＝−7，故这对数不互为相反数，故本选项错误； B、﹣与+（﹣0.5）不互为相反数，故本选项错误； C、，与互为相反数，故本选项正确； D、＋（−0.01）＝−0.01，＝−0.01，故这对数不互为相反数，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数的知识，解答本题的关键是掌握相反数的定义． 2．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）在① +（+2）与﹣（﹣2）；② +（﹣2）与﹣（+2）；③ +（+2）与+（﹣2）；④ +（+2）与﹣（+2）；⑤ +（﹣2）与﹣（﹣2）；⑥﹣（﹣2）与﹣（+2）这六对数中，它们是互为相反数的有 组． 【答案】4 【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：①＋（＋2）与−（−2），不是互为相反数； ②＋（−2）与−（＋2），不是互为相反数； ③＋（＋2）与＋（−2），是互为相反数； ④＋（＋2）与−（＋2），是互为相反数； ⑤＋（−2）与−（−2），是互为相反数； ⑥−（−2）与−（＋2），是互为相反数． 是互为相反数的有4组． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记概念是解题的关键． 3．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）设a，b在数轴上表示的实数到原点的距离相等，且位于原点的两侧，c，d互为倒数，e的绝对值为1，请求出下列代数式的值：2a+2b﹣+e． 【答案】或 【分析】根据题意，a，b在数轴上表示的实数到原点的距离相等，且位于原点的两侧,所以，c，d互为倒数，所以，e的绝对值为1，所以，列出等量关系，然后把条件代入即可. 【详解】解： 由题意得， 时， 原式， ②， 原式＝， 答：代数式的值为或 【点睛】本题考查的是有理数部分的知识点，利用相反数、倒数以及绝对值的含义求出表等式之后在代入即可. 【经典例题三 利用相反数的意义化简多重符号】 【例3】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）下列式子的化简结果等于5的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简多重符号，根据去括号法则解答即可；掌握去括号是括号外是负号，则括号内要变号是解题的关键． 【详解】解：A. ，故符合题意； B. ，故不符合题意； C. ，故不符合题意； D. ，故不符合题意． 故选A． 1．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）化简：（    ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】本题考查了化简多重符号，多重符号化简方法：一个数前面有偶数个“”号，结果为正；一个数前面有奇数个“”号，结果为负；0前面无论有几个“”号，结果都为0，由此进行计算即可，熟练掌握多重符号化简方法是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 2．（22-23七年级上·广西河池·阶段练习）计算：—(—10)= ；-|－8| ． 【答案】 10 －8 【分析】（1）偶数个“－”号，最终结果为正； （2）先求绝对值，再进行多重符号化简 【详解】（1）∵-(-10)中有2个“－”，为偶数个 ∴-(-10)=10 （2）∵|－8|=8 ∴－|－8|=－8 故答案为：10；－8 【点睛】本题考查多重符号化简，主要是根据“﹣”的个数的奇偶数量来判断 3．（2023七年级·全国·专题练习）化简：（1）； （2）； （3）． 【答案】（1）3；（2）-6；（3）-2017 【详解】（1）；（2）；（3）． 【经典例题四 相反数与数轴的综合】 【例4】（222-23七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上两点A、B表示的数互为相反数，若点B表示的数为6，则点A表示的数为（    ） A．6 B．﹣6 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置，利用相反数定义确定出点A表示的数即可. 【详解】解：∵数轴上两点A，B表示的数互为相反数，点B表示的数为6， ∴点A表示的数为﹣6， 故选：B. 【点睛】此题考查数轴与有理数，相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键. 1．（23-24七年级上·河南平顶山·期中）点A、C、O、B在数轴上的位置如图所示，O为原点，，点C对应的有理数是a，若，则点B对应的有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，以及相反数的意义．由点C对应的有理数是a，，根据两点之间的距离求出点A，然后利用相反数的意义即可求解． 【详解】解：∵点C对应的有理数是a，， ∴点A对应的有理数为：， ∵， ∴A，B是一对相反数． ∴点B为， 故选：C． 2．（22-23七年级上·辽宁鞍山·期中）如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，C表示的数互为相反数，且，则点B表示的数是 ． 【答案】1 【分析】此题可借助数形结合的方法求解，由于、两点表示的数互为相反数，因此、一定是关于原点对称的，从而确定原点的位置，将每个间隔视为一个单位长度，即可得出点表示的数． 【详解】解：由于点，表示的数互为相反数，且， 原点与各点的位置如图所示： 将单位长度视为1， 因此所表示的数为1． 故答案为：1． 【点睛】此题考查了数轴与相反数的有关内容，相反数在数轴的体现是关于原点对称，利用这个性质作为突破口． 3．（22-23七年级上·河南鹤壁·阶段练习）如图，图中数轴的单位长度为2，请回答下列问题： (1)如果点、表示的数是互为相反数，那么点表示的数是多少？ (2)如果点、表示的数是互为相反数，那么点、表示的数是多少？ 【答案】(1)点表示的数是 (2)点表示的数是1，表示的数是-9 【分析】（1）根据互为相反数的意义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C表示的数即可； （2）根据互为相反数的意义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C、D表示的数即可． 【详解】（1）解：∵点、表示的数是互为相反数，且AB=12， ∴点B在原点O右侧6个单位处，如图所示∶ 此时点C在原点O的左侧2个单位长度处， ∴点表示的数是； （2）解：∵点、表示的数是互为相反数，且BD=18， ∴点B在原点O右侧9个单位处，如图所示∶ 此时点C在原点O的右侧1个单位长度处， 点D在原点O的左侧9个单位长度处， 点表示的数是1，表示的数是． 【点睛】本题考查了相反数，数轴，熟练掌握相反数的意义，并确定出原点的位置是解题的关键． 【经典例题五 绝对值的意义】 【例5】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法：①；②；③相反数大于它本身的数一定是负数；④绝对值等于它本身的数一定是正数．其中正确的序号为（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查绝对值及相反数，根据绝对值及相反数的性质逐项判断即可，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：①、a为任意实数时，，故①符合题意； ②、当时，，故②不符合题意； ③、只有负数的相反数大于它本身，故③符合题意； ④、因为，0不是正数，也不是负数，故④不符合题意； 综上，正确的为①③， 故选：C． 1．（23-24七年级上·江西抚州·期末）适合的整数a的值有（    ） A．5个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴，绝对值的几何意义，此方程可理解为数轴上a到和3的距离的和，由此可得出a的值，进而可得出答案． 【详解】解：， 可理解为数轴上a到和3的距离的和， 和3之间的距离为8， 当时，均满足， a为整数， 可以为，，，，，0，1，2，3，共9个， 故选D． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）适合的正整数a的值有 个 【答案】8 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，分当时，当时，当时，三种情况去绝对值得到的取值范围，从而得到只有当时成立，据此求出满足题意的正整数a的值即可得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∴只有当时成立， ∴正整数a的值有，共8个， 故答案为：8． 3．（23-24七年级上·山东滨州·期中）阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1)表示数轴上4与________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数所对应的点到________所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数所对应的点到_________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数，使得．这样的整数有________个． (4)利用绝对值的几何意义，写出的最小值． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题主要考查绝对值与数轴的综合应用， （1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解； （2）根据数轴上的两点距离可直接进行求解； （3）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数x所对应的点到−2的距离和到5的距离的和为7，继而求解； （4）首先结合数轴判断出式子的几何意义，再结合数轴判断． 【详解】（1）解：由题意得： 表示数轴上4与所对应的两点之间的距离． （2）表示数轴上有理数所对应的点到5所对应点之间的距离， 表示数轴上有理数到所对应点之间的距离． （3）由题意得： 表示数轴上有理数所对应的数到数轴上与5的距离之和等于7， 又， ， 又为整数， 表示的数为：，，0，1，2，3，4，5，所以有8个整数． （4）由题意得： 当时，有最小值， 令，代入可得，最小值为： ． 【经典例题六 求一个数的绝对值】 【例6】（2023·四川巴中·模拟预测）的绝对值的相反数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义和绝对值的意义，根据意义即可求解，解题的关键是正确理解表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】根据绝对值的定义可得：的绝对值是， 根据相反数的定义可得：的相反数是， 故选：． 1．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的计算，互为相反数的两数之和为零，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A．，，故A选项不符合题意； B．，，，故B选项不符合题意； C．，，故C选项不符合题意； D．，，，故D选项符合题意； 故选：D． 2．（2024七年级·全国·竞赛）对于任意的有理数和，称为和的“绝对差”．小枫同学对这2016个整数进行如下操作：划掉两个整数，并在这列数的后面写上这两个整数的“绝对差”．重复操作，直到剩下一个数，这个数最大是 ． 【答案】2016 【分析】本题考查了绝对值的计算；除1与2016外，共有2014个数，从2开始，每相邻两个连续的整数为一组，划掉这样相邻的两个数，加上1，如此操作，可得这列数为：708个1与2016；这708个1，每两个一组划掉，最后剩下两个数为0，2016，故可求得最后剩下的这个最大数． 【详解】解：由运算规律可知，要使最后剩下的一个数最大，则除1与2016外，共有2014个数，从2开始，每相邻两个连续的整数为一组，其“绝对差”为1，划掉这样相邻的两个数，加上整数1，共加上707个1，这样的一列数为：708个1与2016，这708个1，每两个一组划掉，其“绝对差”均为0，故最后剩下的两个数为0与2016，2016与0的“绝对差”为2016， 故可最后剩下的这个最大数为2016． 故答案为：2016． 3．（22-23六年级上·山东泰安·课后作业）已知，求的值． 【答案】或或或 【解析】略 【经典例题七 化简绝对值】 【例7】（2023·重庆渝北·一模）已知实数a，b，c满足，且，则下列说法中，正确的个数是（    ） ①；②；③化简； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】 本题考查了绝对值的化简，解题的关键是熟知正数与0的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数． 根据绝对值的意义分类讨论，逐项判断正确与否即可． 【详解】解：∵， 当时，，得，不符合题意； 当时，，得，故①错误； 将代入得，， 因得，，故②正确； ∵，， ∴ ，故③错误． 故正确的选项有②，正确的个数是1． 故选：B． 1．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的含义，分四种情况讨论即可得到结果，不重不漏是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值等于或， 故选：D． 2．（23-24七年级上·甘肃酒泉·期末）如果有理数在数轴上的位置如图所示，则= ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的点、绝对值等知识，先判定每个绝对值的正负，根据绝对值的法则，即可得出答案，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：由图可知，， 即，，， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·福建莆田·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）数轴上表示5与的两点之间的距离是 ； （2）①若，则x= ； ②若使x所表示的点到表示2和的点的距离之和为5，求所有符合条件的整数的和． 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）①1或；② （3）或 【分析】本题考查了有理数与数轴 （1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可； （2）①根据题意可得方程或，求出的值即可； ②根据绝对值的几何意义可知，求出符合条件的整数即可； （3）根据绝对值的几何意义，分情况讨论即可． 【详解】解：（1）表示5和两点之间的距离是， 故答案为：； （2）①∵， ∴或， 解得或， 故答案为：1或； ②∵使所表示的点到表示和的点的距离之和为， ∴， ∵与的距离是， ∴， ∴所有符合条件的整数x的值为， ∴，即和为， 故答案为：； （3）∵， ∴，或，或，或， ∵或不成立， ∴或， 解得：或． 【经典例题八 绝对值非负性解题】 【例8】（2024七年级·全国·竞赛）若与互为相反数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性等知识点，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据相反数的定义及非负数的性质列出方程求出a、b的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故选B． 1．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5 【答案】D 【分析】先根据相反数的定义以及绝对值的定义求得a、b的值，再根据非负数的性质求得m、n的值，然后计算即可．掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零是解题的关键． 【详解】解：∵与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数， ∴， ∵， ∴或， 又∵，或，， ∴或， ∴或， ∴或， ∴的值为3或5． 故选：D． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知a，b，c均为整数，且，那么的值 ． 【答案】1或2或3或4 【分析】此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键．首先根据，，均为整数得，均为非负整数，再根据即可得出①，，②，，③，，据此根据每一种情况求出的值即可． 【详解】解：，，均为整数， ，均为非负整数， 又， ，，或，，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，，， ； ③当，时，此时或2， 或． 综上所述，的值是1或2或3或4． 故此题答案为：1或2或3或4． 3．（23-24七年级上·陕西西安·期末）（1）写出图中表示点，点的数； （2）在数轴上标出表示的点和表示的点； （3）若在数轴上另取一点，且两点间的距离是9，则点对应的数是几？ 【答案】（1）点表示的数是点表示的数是；（2）图见解析；（3）或． 【分析】本题主要考查数轴的特点，有理数与数轴的性质，两点之间距离，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）根据数轴特点，图形结合即可求解； （2）将有理数在数轴上表示即可； （3）根据两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）根据题意可得，点表示的数是点表示的数是； （2）如图所示，点表示和点表示． （3）设点表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点对应的数是或． 【经典例题九 绝对值方程】 【例9】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）适合的整数的值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查解绝对值方程，可理解为到和5的距离的和，由此可得出的值，进而可得出答案． 【详解】解：， 该方程表示到和5的距离的和为12， ， ， 整数的值有，，0，1，共4个， 故选C． 1．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）已知是方程的解，则k的值为（    ） A．11或 B．9或 C．11或 D．或9 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及绝对值求值，熟练掌握绝对值求解是解题的关键．将代入方程，根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：将代入方程，得， ， 解得或． 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）若，那么 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值的含义即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， 故答案为：或． 3．（22-23七年级上·江苏南通·期中）对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为______； (2)若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于41的“美好关联数”为1，…． ①的最小值为______；②的值为______．（最小值） 【答案】(1)8 (2)或 (3)①1；②840 【分析】（1）根据“美好关联数”定义进行求解即可； （2）根据“美好关联数”定义列方程，再解方程即可； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值． 本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． 【详解】（1）解：， 故答案为：8； （2）解：∵x和2关于3的“美好关联数”为4， ∴， ∴， 解得或； （3）解：①∵和关于1的“美好关联数”为1， ∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， ∴只有当时，有最小值1； ②由题意可知：， 的最小值； ， 的最小值； ， 的最小值； ， 的最小值； ， 的最小值； ∴的最小值： ． 【经典例题十 绝对值的其他应用】 【例10】（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将式子转化为按值大小排序排列，观察可发现，取最中间的值就是式子的最小值，即可求出答案. 【详解】解： 当时，有最小值. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值的化简计算，解题的关键在于明确绝对值的化简法和明确式子中要求取得最小值的意思. 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）数轴上有，，，，五个点，各点的位置与所表示的数如图所示，且．若数轴上有一点，所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述正确的是（    ） A．在，之间 B．在，之间 C．在，之间 D．在，之间 【答案】B 【分析】根据O、A、B、C、五个点在数轴上的位置和绝对值的定义即可得到结论． 【详解】解：由题意可得：点A表示的数为-5，点B表示的数为3，点C表示的数为-1，点D表示的数为d，且AC=BC ∵， ∴MD=BD， 又∵-5＜d＜-1＜3 ∴M点介于O、C之间， 故选：B． 【点睛】本题考查的是数与数轴，利用数形结合思想解题是关键． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）点A，B在数轴上分别表示有理数a、b．A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： ①数轴上表示1和3两点之间的距离是 ； ②x表示一个有理数，且，则有理数x的值是 ． 【答案】 2 －5或3 【分析】（1）根据数轴可直接得出答案； （2）根据绝对值的几何意义，结合数轴进行求解即可． 【详解】解：（1）如图，由数轴可知，表示1和3两点之间的距离是2； （2）由题意可知，的意义为：x到2的距离加上x到－4的距离等于8， ∴由数轴可知，当x＝－5或x＝3时，x到2的距离加上x到－4的距离等于8，即此时， 故答案为：（1）2；（2）－5或3． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，注意掌握数形结合思想的应用． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和6的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为______；代数式的意义可理解为数轴上表示数______和数______这两点的距离． （2）探索材料2：的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点的距离为5，由于数轴上数和数7到数2的距离为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值． （3）探索材料3：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和，不妨记数轴上数2为点A，数x为点B，数为点C．若要求的最小值，即求的最小值．结合数轴可知，当点B在A点和C点之间时，最小，最小值为．综上，的最小值为5． ①求代数式的最小值； ②求代数式的最小值． 【答案】（1）5，x，4；（2）或；（3）①的最小值为6；②的最小值为7 【分析】（1）根据绝对值的意义即有理数的加减法法则计算即可； （2）利用绝对值的双值性建立方程求解即可； （3）根据材料正确理解计算即可． 【详解】解：（1）， 表示表示数x和数4这两点的距离， 故答案为：5，x，4； （2）， ， 或， 解得：或； （3）①由探究材料3得，当时，有最小值，最小值为6． ， ∴最小值为6． ②由探究材料3得，这是在求点x到、、三点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为7， ． 的最小值为7． 【点睛】本题考查数轴上点与点之间的距离，解题的关键是掌握数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于及分类思想的应用． 【经典例题十一 有理数的大小比较】 【例11】（23-24·江苏宿迁·模拟预测）当时，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的大小比较， 熟知正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，根据可令求出的值，再比较大小即可，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】解： ∴令则 ， 故选：A． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）大于而小于2.3的整数共有（　　）个． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】本题考查了比较有理数的大小，找出符合条件的点，即可得到答案． 【详解】解：大于而小于2.3的整数有，，，，0，1，2，共7个， 故选：C． 2．（23-24七年级上·江西吉安·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了两个负数的大小比较方法，利用绝对值概念根据两个负数绝对值大的数反而小比较两个负数的大小关系，解题的关键是正确理解两个负数相比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，则 故答案为：． 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)；绝对值 (2) 【分析】本题主要考查有理数大小比较： （1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可； （2）找出中间量是，再比较大小即可， 【详解】（1）上述方法是先通过找中间量来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； 故答案为：；绝对值； （2）∵， ∴， ∴． 【经典例题十二 有理数大小比较的实际应用】 【例12】（2024·湖北恩施·一模）今年春节后有一段时间气候异常寒冷，某一天，北京、杭州、哈尔滨、金华四个城市的最低气温分别是，其中最低气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较的知识，解答本题的关键是掌握有理数的大小比较法则．根据有理数的大小比较，即可作出判断． 【详解】解：， 故温度最低是， 故选：C． 1．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，检测4个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，最接近标准质量的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了正负数的实际应用以及绝对值的意义，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 用上面各个选项显示的数值求出其绝对值，然后比较绝对值，绝对值最小就是最接近标准质量，即可作答． 【详解】解： ，， ∵ ∴最接近标准质量的是． 故选：C． 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解． 分别列出两数相加为6，8，10，12的所有可能性，设这四个数分别为，其中，分析得出较小的两数之和为6，较大的两数之和为12，可得，分类讨论即可． 【详解】解：相加得6的两个整数可能为：1，5或2，4或3，3． 相加得8的两个整数可能为：1，7或2，6或3，5或4，4． 相加得10的两个整数可能为：1，9或2，8或3，7或4，6或5，5． 相加得12的两个整数可能为：1，11或2，10或3，9或4，8或5，7或6，6． 设这四个数分别为，其中，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到， ，， （1）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （2）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （3）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 故这四个数为：或或， ∴卡片上的数最小可以是1，①正确； 卡片上的数最大是可以是8，②错误； 卡片上的数不可以是4个连续的整数，③错误； 卡片上的数有且仅有2个数相等，④正确； 故答案为：①④． 3．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）一种圆形的机器零件规定直径为200毫米,为检测它们的质量，从中抽取6件进行检测，比规定直径大的毫米数记作正数，比规定直径小的毫米数记作负数．检查记录如下： 1 2 3 4 5 6 0.2 -0.1 -0.3 0.1 0 -0.2 （1）第几号的机器零件直径最大？第几号最小？并求出最大直径和最小直径的长度； （2）质量最好的是哪个？质量最差的呢？ 【答案】（1）1号的直径最大，最大直径是200.2（mm）；3号的直径最小，最小直径是199.7（mm）；（2）质量最好的是5号，质量最差的是3号． 【分析】（1）先比较表格中6个数据的大小，然后根据最大的数据和最小的数据即为直径最大和最小解答即可； （2）与规定质量差的绝对值最小的就是质量最好的，与规定质量差的绝对值最大的就是质量最差的，据此解答即可． 【详解】解：（1）由﹣0.3＜﹣0.2＜﹣0.1＜0＜0.1＜0.2知：1号的直径最大，最大直径是200+0.2=200.2（mm）； 3号的直径最小，最小直径是200﹣0.3=199.7（mm）； （2）由于， 所以质量最好的是5号，质量最差的是3号． 【点睛】本题考查了正负数在实际中的应用、有理数的大小比较以及绝对值的实际应用，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键． 1．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）若，则等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据绝对值的概念即可求解． 【详解】∵正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值为零， ∴，， ∴，则， 故选：． 【点睛】此题考查了绝对值的概念，掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值为零是解题的关键． 2．（2023七年级上·全国·专题练习）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．﹣|﹣7|和+（﹣7） B．+（﹣10）和﹣（+10） C．﹣（﹣43）和﹣（+43） D．+（﹣54）和﹣（+54） 【答案】C 【分析】化简后，根据相反数的定义判断即可． 【详解】A．﹣|﹣7|=﹣7，+（﹣7）=﹣7，所以它们不互为相反数； B．+（﹣10）=﹣10，﹣（+10）=﹣10，所以它们不互为相反数； C．﹣（﹣43）=43，﹣（+43）=﹣43，所以它们互为相反数； D．+（﹣54）=﹣54，﹣（+54）=﹣54，所以它们不互为相反数； 故选C． 【点睛】本题考查了有理数的化简，相反数的定义，熟练进行化简，灵活运用相反数的定义是解题的关键． 3．（22-23七年级上·四川眉山·期末）下列比较大小正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简符号，再根据有理数的大小比较法则比较即可． 【详解】解：A、∵-|-5|=-5，+（-5）=-5， ∴，故本选项不符合题意； B、∵， ∴，故本选项符合题意； C、∵， ∴，故本选项不符合题意； D、∵，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值、相反数和有理数的大小比较，能正确化简符号是解此题的关键． 4．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知a、b在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键．根据a、b在数轴上的位置进行化简即可． 【详解】解：根据a、b在数轴上的位置，得：且， ，， ． 故选A． 5．（22-23七年级上·重庆江津·期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（    ） ①若，则或；②若，则； ③若，则；④关于的方程有无数个解． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】应用绝对值的几何意义进行判定即可得出答案． 【详解】解：①若，可得，则则或2023；所以①说法正确； ②若，几何意义是数轴到表示数1的点和表示数3的点的距离相等的点，即可得出；所以②说法正确； ③当时，则，所以③说法不正确； ④因为的几何意义是到数轴上表示的点与表示2的点的距离和等于3的点，即时满足题意，所以有无数个解，故④说法正确． 故选：C． 【点睛】本题重要考查了数轴及绝对值，熟练掌握数轴及绝对值的几何意义进行求解是解决本题的关键． 6．（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）比较大小： 【答案】＞ 【分析】根据两负数比较大小的法则进行比较即可． 【详解】∵−（＋8）＝−8，−|−9|＝−9，−8＞−9， ∴−（＋8）＞−|−9|． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知两负数比较大小的法则是解答此题的关键． 7．（23-24七年级上·四川成都·期末）如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求出、的值，再代入计算即可． 【详解】， ， ，， 解得，， ． 故答案为：． 8．（22-23七年级上·全国·单元测试）化简： ， ， ． 【答案】 【分析】直接利用去括号法则化简求出答案． 【详解】−(+4)=−4,−(−6)=6,−[−(+5)]=5. 故答案为−4，6，5. 【点睛】本题考查了相反数的定义，解题的关键是熟练的掌握相反数的定义. 9．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）当 时，取得最小值为 ． 【答案】 1012 1023132 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是解题关键．根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值，再根据绝对值的意义化简求值即可． 【详解】解：由绝对值的几何意义可知，是数轴上表示的点与表示1的点之间的距离； 是数轴上表示的点与表示2的点之间的距离； …… 是数轴上表示的点与表示2023的点之间的距离； 即在数轴上找出表示的点，使它到表示1、2、3……2023各点的距离之和最小， 当时，取得最小值， 此时 ， 故答案为：1012，1023132． 10．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知、、为非零有理数，请你探究以下问题： （1）当时， ； （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据绝对值的性质得当时，则，由此可得出答案； （2）根据、、为非零有理数，可分为以下四种情况进行讨论：①当、、均为正时，则 ，， ，；②当、、两正一负时，不妨假设，，，则 ，， ，；③当、、一正两负时，不妨假设，，，则 ，， ，；④当、、均为负时，则 ，， ，；根据每一种情况求出式子的值即可得出答案． 【详解】（1）解：、、为非零有理数，且， ， ， 故答案为：； （2）解：、、为非零有理数， ∴有以下四种情况： 当、、均为正时，则 ，， ，， ； 当、、两正一负时，不妨假设，，，则 ，， ，， ； 当、、一正两负时，不妨假设，，，则 ，， ，， ； 当、、均为负时，则 ，， ，， ； 综上所述：的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，理解题意，熟练掌握绝对值的意义是解答此题的关键；分类讨论是解答此题的难点，也是易错点． 11．（22-23七年级上·山西太原·阶段练习）（1）在数轴把下列各数表示出来，并比较它们的相反数的大小：－3，0，－，，0.25 （2）比较下列各组数的大小 ①与                   ②与 【答案】（1）数轴见详解；；（2）①；② 【分析】（1）由数轴的定义画出数轴并标出各数，然后写出它们的相反数并比较大小； （2）由比较大小的法则进行比较，即可得到答案． 【详解】解：（1）数轴如图所示： 由题意，的相反数是3；0的相反数是0；的相反数是；的相反数是；0.25的相反数是； ∴； （2）①∵， ∴； ②，， ∴； 【点睛】本题考查了数轴的定义，相反数的定义，比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题． 12．（22-23七年级上·湖北·课后作业）化简下列各符号 （1）；   （2）；  （3）（共n个负号）． 你能否根据化简的结果找到更简单的化简的规律呢？试一试． 【答案】（1）；（2）；（3）6（n为偶数）；-6（n为奇数） 【详解】试题分析：根据相反数的定义分别进行化简即可；根据化简的结果回答问题即可． 试题解析：解：（1）；（2）； （3）； 总结规律：一个数的前面有奇数个负号，化简的结果等于它的相反数，有偶数个负号，化简的结果等于它本身． 点睛：本题考查了利用相反数的定义进行化简，是基础题，熟记概念是解题的关键． 13．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）操作与探究.对数轴上的任意一点P． ①作出点N使得N和P表示的数互为相反数，再把N对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．我们称P′是P的N变换点； ②把P点向右平移1个单位，得到点M，作出点P′′使得P′′和M表示的数互为相反数，我们称P′′是P的M变换点． （1）如图，若点P表示的数是－4，则P的N变换点P′表示的数是 ________ ； （2）若P的M变换点P′′表示的数是2，则点P表示的数是 ________ ； （3）若P′，P′′分别为P的N变换点和M变换点，且OP′＝2OP′′，求点P表示的数． 【答案】（1）5；（2）-3；（3） 或 ． 【分析】（1）根据①的操作步骤可得出P′表示的数； （2）设点P表示的数为x，根据②的操作步骤则-（x+1）=2，得出点P表示的数； （3）设点P表示的数为y，则P′表示的数是-y+1，P′′表示的数是-（y+1），根据OP′＝2OP′′列方程解出即可得出点P表示的数． 【详解】解：（1）由①得，若点P表示的数是-4，则点P′表示的数是-（-4）+1=5； （2）设点P表示的数为x，根据②的操作步骤则-（x+1）=2， 解得：x=-3； 则点P表示的数是-3； （3）设点P表示的数为y，则P′表示的数是-y+1，P′′表示的数是-（y+1）， ∵OP′＝2OP′′， ∴ 解得： ， ， ∴点P表示的数是 或 ． 故答案为（1）5；（2）-3；（3） 或 ． 【点睛】本题考查数轴的知识，注意掌握题意要求的操作步骤，运用方程思想求解． 14．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）阅读材料：如图，，，，若A、B两点在数轴上分别表示有理数a、b，则．例如，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题： (1)，则______． (2)，则______． (3)，则______． (4)式子的最小值为______． (5)若，则______． 【答案】(1)4或； (2)3或 (3)1 (4)2 (5)6或 【分析】本题考查了绝对值的几何意义． （1）根据绝对值的意义求解即可； （2）根据绝对值的意义，可知表示与1两数在数轴上所对的两点之间的距离为2，即可求解； （3）根据绝对值的意义，结合数轴可知：数对应的点是3和对应点的中点时，，进而即可求解； （4）根据绝对值的意义，结合数轴可知：当数在数3和之间时，的值最小，进而即可求解； （5）分三种情况：当时，当时，当时，化简绝对值进行解答即可． 解答此类问题要用到数形结合和分类讨论的思想，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义可知：表示与原点两数在数轴上所对的两点之间的距离为4， ∴或， 故答案为：4或； （2）根据绝对值的意义可知：表示与1两数在数轴上所对的两点之间的距离为2， 结合数轴可知：或， 故答案为：3或； （3）根据绝对值的意义可知：表示与3两数在数轴上所对的两点之间的距离，表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离， ∵， 结合数轴可知：数对应的点是3和对应点的中点， ∴， 故答案为：1； （4）根据绝对值的意义可知：表示与3两数在数轴上所对的两点之间的距离，表示与1两数在数轴上所对的两点之间的距离， 则表示，与3，1两数在数轴上的距离之和， 结合数轴可知：当数在数3和之间时，的值最小， 则，此时：， 故答案为：2； （5）∵， 当时，，解得：； 当时，，此时不存在是的； 当时，，解得：； 综上，或． 故答案为：6或． 15．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）阅读下面材料： 在数轴上2与所对应的两点之间的距离为； 在数轴上与3所对应的两点之间的距离为； 在数轴上与所对应的两点之间的距离为． 归纳：在数轴上点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离或． 回答下列问题： (1)数轴上表示数x和1的两点之间的距离表示为 ；数轴上表示数x和 的两点之间的距离表示为； (2)试说明当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，的值总是一个固定的值，并求出这个固定值． 【答案】(1)或， (2)这个固定值为5 【分析】本题考查了绝对值的意义与性质： （1）结合题干条件，即可作答； （2）因为当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，即，再根据绝对值的性质进行化简，即可作答； 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，数轴上表示数x和1的两点之间的距离表示为或， 因为， 所以数轴上表示数x和的两点之间的距离表示为； （2）解：依题意， 因为当表示数x的点在与3的对应点之间移动时， 所以， 故， 即当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，的值总是一个固定的值，且为5． 学科网（北京）股份有限公司 $$