第二十二章 二次函数（单元重点综合测试，人教版）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记•巧练（湖南专用）

第二十二章 二次函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）对于抛物线 ，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．函数的最大值是3 C．开口向下，顶点坐标 D．当时，随的增大而增大. 3．（本题3分）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5．（本题3分）函数的最大值和最小值分别为（   ） A．4和 B．5和 C．5和 D．和4 6．（本题3分）若抛物线与轴只有一个公共点，且过点，，则的值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．0 7．（本题3分）函数和函数（是常数，且）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．（本题3分）观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）二次函数的图象如图所示，其对称轴是．下列说法中，错误的个数为（    ） ①；②若点、同时在二次函数的图象上，则；③；④当时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（本题3分）如图，正方形的边长为，点P以的速度从点A出发沿着方向运动到点B停止，点Q以的速度沿运动到点D停止，P，Q两点同时出发，设运动的时间为，的面积为，则y关于x的函数图象大致是（    ） A． B． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）若函数是关于的二次函数．则常数的值是 ． 12．（本题3分）下列说法中正确的序号是 ①在函数y=﹣x2中，当x=0时y有最大值0； ②在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大 ③抛物线y=2x2，y=﹣x2，y=﹣中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=﹣x2的开口最大 ④不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点 13．（本题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系： x … 3 5 7 … y … 2.5 2.5 ﹣1.5 … 则a+b+c= ． 14．（本题3分）若二次函数（为整数）的函数值恒为正数，则的最大值是 ． 15．（本题3分）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝﹣5x2+20x，在飞行过程中，当小球的行高度为15m时，则飞行时间是 ． 16．（本题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=﹣1．若其与x轴的一个交点为A（2，0），则由图象可知，当自变量x的取值范围是 时，函数值y＜0． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点． (1)求这个函数的关系式； (2)试判断点是否在此函数图象上． 18．（本题6分）已知二次函数y=x2+3x+m的图象与x轴交于点A（﹣4，0）． （1）求m的值； （2）求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标． 19．（本题6分）已知二次函数． 用配方法将化为的形式；并写出对称轴和顶点坐标； 在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； 当x取何值时，y随x的增大而减少？ 当x取何值时，，，； 当时，求y的取值范围． 20．（本题9分）如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC; 21．（本题8分）如图，二次函数的图象交x轴于点和点，交y轴于点C，且点C、D是二次函数图象上关于对称轴对称的一对点，一次函数的图象经过点B、D． (1)求二次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集为________． 22．（本题8分）已知关于x的方程． (1)求证：不论m为任何实数， 此方程总有实数根； (2)若抛物线与轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式； (3)若点与在（2）中抛物线上，且，求的值． 23．（本题9分）某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克 30元，物价部 门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量 y（千克）是销售单价 x（元）的一次函数，解析式为： ．在销售过程中，每天 还要支付其他费用450元． (1)求该公司销售该原料日获利 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元． 24．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积； （3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标． 25．（本题10分）已知：正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，设点B（4，4），点P（t，0）是x轴上一动点，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交直线BC于点D，连AD． （1）如图1，当点P在线段OC上时，求证：OP＝CD； （2）在点P运动过程中，△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时，求t的值； （3）如图2，抛物线y＝﹣x2+x+4上是否存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义“形如，为常数且”作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：A、该函数是二次函数，故本选项符合题意； B、当时，不是二次函数，故本选项不符合题意； C、，该函数是一次函数，故本选项不符合题意． D、该函数不是函数，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．（本题3分）对于抛物线 ，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．函数的最大值是3 C．开口向下，顶点坐标 D．当时，随的增大而增大. 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线是顶点式，可得对称轴是直线，函数的最大值是3，开口向下，顶点坐标，当时，随的增大而减小；即可得． 【详解】解：A、对于抛物线，对称轴是直线，选项说法正确，不符合题意； B、对于抛物线，函数的最大值是3，选项说法正确，不符合题意； C、对于抛物线，开口向下，顶点坐标，选项说法正确，不符合题意； D、对于抛物线，当时，随的增大而减小，选项说法错误，符合题意； 故选：D． 3．（本题3分）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为： 故选：D 4．（本题3分）若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据“当开口方向向上时，离着对称轴越远的点的纵坐标越大”即可作答． 【详解】解：抛物线解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当点离着对称轴越远，对应点的纵坐标越大， 点离着对称轴最远，其次是点，点离着对称轴最近， ． 故选：C． 5．（本题3分）函数的最大值和最小值分别为（   ） A．4和 B．5和 C．5和 D．和4 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据函数求出对称轴，根据二次函数的性质进行计算即可． 【详解】解：中， 对称轴， 故在对称轴处求出最小值，当时，， 当时，， 时，， 故选C． 6．（本题3分）若抛物线与轴只有一个公共点，且过点，，则的值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．0 【答案】A 【分析】因为这个抛物线过点A(m，n)，B(m+6，n)，可以直接看出对称轴是直线x=m+3，故设抛物线解析式为y=(x-m-3)2，直接将A(m，n)代入，所以n=3． 【详解】解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A(m，n)，B(m+6，n)， ∴该抛物线的对称轴是直线：x=m+3， ∴设抛物线解析式为y=(x-m-3)2， 把A(m，n)代入，得 n=(m-m-3)2， 解得n=9． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点式方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 7．（本题3分）函数和函数（是常数，且）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断，关键是的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为，与y轴的交点坐标为． 【详解】A．由函数的图象可知，即函数开口向上，与图象不符，故A选项错误； B．由函数的图象可知，即函数开口向上，对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误； C．由函数的图象可知，即函数开口向下，与图象不符，故C选项错误； D．由函数的图象可知，即函数开口向上，对称轴为，则对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故D选项正确． 故选：D． 8．（本题3分）观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的估算，解题的关键是根据表格数据找出位于哪两个数之间即可． 【详解】解：由表格可知， 当时，与时， ∴时，， 故选C． 9．（本题3分）二次函数的图象如图所示，其对称轴是．下列说法中，错误的个数为（    ） ①；②若点、同时在二次函数的图象上，则；③；④当时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象的性质，对称轴等知识进行一一判定即可求解，掌握二次函数图象的性质，图形结合分析是解题的关键． 【详解】解：根据图示可得，， ∵对称轴为， ∴， ∴，故①正确； 当时，；当时，； ∴， ∵， ∴，故②正确； 由②正确可得，当时，，且， ∴， ∵时，， ∴，则， ∵不能确定与的大小， ∴不能确定，故③错误； ∵当时，； 当时，； ∴故④不正确； 综上所述，错误的有2个， 故选：B ． 10．（本题3分）如图，正方形的边长为，点P以的速度从点A出发沿着方向运动到点B停止，点Q以的速度沿运动到点D停止，P，Q两点同时出发，设运动的时间为，的面积为，则y关于x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数及二次函数与几何动点问题的综合运用．熟练掌握动点产生的三角形面积计算方法，是解题关键． 根据题意，当Q点分别在、上运动时，形成了不同情况下的三角形，据此进一步用x将相对应的情况下的三角形的面积表示出来，最后观察解析式即可． 【详解】正方形的边长为，点P的速度为，点Q的速度为，P，Q两点同时出发，运动的时间为， ①当时，如下图， ，， ∴， ∵的面积为， ∴， 是开口向下顶点为的抛物线， ∴B、D符合； ②当时，如下图， ， 是y随x增大而减小的线段， ∴只有B符合． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）若函数是关于的二次函数．则常数的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，列出关于的方程和不等式，是解题的关键． 根据二次函数的定义即可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， 解得：． 故答案为： 12．（本题3分）下列说法中正确的序号是 ①在函数y=﹣x2中，当x=0时y有最大值0； ②在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大 ③抛物线y=2x2，y=﹣x2，y=﹣中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=﹣x2的开口最大 ④不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点 【答案】①②④ 【分析】根据二次函数y＝ax2的图象与性质逐一判断即得答案 【详解】解：由函数的解析式y＝－x2，可知a=﹣1＜0，得到函数的开口向下，有最大值y=0，故①正确； 由函数的解析式y＝2x2，可知其对称轴为y轴，对称轴的左边（x＜0），y随x增大而减小，对称轴的右边（x＞0），y随x增大而增大，故②正确； 根据二次函数的性质，系数a决定抛物线的开口方向和开口大小，且越大开口越小，可知抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口第二小，而y开口最大，故③不正确； 不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点，故④正确． 综上，正确的结论是：①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数y=ax2的与性质是解题的关键． 13．（本题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系： x … 3 5 7 … y … 2.5 2.5 ﹣1.5 … 则a+b+c= ． 【答案】﹣1.5． 【分析】先根据表中数据求出抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性可知，当x=1时，y的值是1.5，可求出a+b+c的值. 【详解】∵x=3，y=2.5；x=5，y=2.5， ∴抛物线的对称轴为直线x=4， ∴当x=1和x=7时函数值相等， 而x=7时，y=﹣1.5， ∴x=1时，y=﹣1.5， 即a+b+c=﹣1.5． 故答案为﹣1.5． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握如果两个点关于对称轴对称，那么这两点的函数值相等是解答本题的关键. 14．（本题3分）若二次函数（为整数）的函数值恒为正数，则的最大值是 ． 【答案】-2 【分析】将二次函数一般式化为顶点式,让顶点纵坐标大于零即可解题. 【详解】∵=（x+1）2-(1+C), 由题可知,函数的顶点在x轴上方,此时顶点坐标是（-1,-1-C） ∴-1-C0,解得：C-1, ∵为整数, ∴C=-2. 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质,属于简单题,理解顶点坐标的特征是解题关键. 15．（本题3分）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝﹣5x2+20x，在飞行过程中，当小球的行高度为15m时，则飞行时间是 ． 【答案】1s或3s 【分析】根据题意可以得到15=﹣5x2+20x，然后求出x的值，即可解答本题． 【详解】∵y=﹣5x2+20x， ∴当y=15时，15=﹣5x2+20x，得x1=1，x2=3， 故答案为1s或3s． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和一元二次方程的知识解答． 16．（本题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=﹣1．若其与x轴的一个交点为A（2，0），则由图象可知，当自变量x的取值范围是 时，函数值y＜0． 【答案】x＞2或x＜﹣4 【分析】利用二次函数的对称性，得出图象与x轴的另一个交点坐标，再结合图象，得出y的取值小于0时，图象为x轴下方部分，即可得出自变量x的取值范围． 【详解】解：∵二次函数对称轴为直线x=-1，与x轴交点为A（2，0）， ∴根据二次函数的对称性，可得到图象与x轴的另一个交点坐标为（-4，0）， 又∵函数开口向下，x轴下方部分y＜0， ∴x＞2或x＜-4， 故答案为x＞2或x＜-4． 【点睛】此题主要考查了二次函数的对称性，以及结合二次函数图象观察函数的取值问题． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点． (1)求这个函数的关系式； (2)试判断点是否在此函数图象上． 【答案】(1) (2)在此函数图象上，见解析 【分析】本题主要考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数是本题得关键. （1）根据题意设出，将抛物线的顶点坐标代入可得：.再把代入，求出的值，即可得出二次函数的解析式； （2）代入即可判断. 【详解】（1）解：设二次函数的关系式为：， ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线表达式为：， 将点代入函得， 解得， ∴二次函数的关系式为； （2）解：当时，， ∴在此函数图象上. 18．（本题6分）已知二次函数y=x2+3x+m的图象与x轴交于点A（﹣4，0）． （1）求m的值； （2）求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标． 【答案】（1）m=-4；（2）（0，﹣4），（1，0）． 【分析】（1）将A点坐标（﹣4，0）代入y=x2+3x+m，即可求解； （2）令x=0时，则：y=﹣4，令y=0，则x2+3x﹣4=0，即可求解． 【详解】（1）将A点坐标（﹣4，0）代入y=x2+3x+m得：16﹣12+m=0，解得：m=﹣4； （2）当x=0时，则：y=﹣4，∴函数图象与y轴的交点为（0，﹣4）． 令y=0，则x2+3x﹣4=0，解得：x1=1，x2=﹣4，∴函数图象与x轴的另一个交点为（1，0）． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，是二次函数基础类题目． 19．（本题6分）已知二次函数． 用配方法将化为的形式；并写出对称轴和顶点坐标； 在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； 当x取何值时，y随x的增大而减少？ 当x取何值时，，，； 当时，求y的取值范围． 【答案】（1）直线，顶点坐标为：；（2）详见解析；（3）当时，y随x的增大而减少；（4）当时，或，当时，；（5）． 【分析】根据二次函数的性质解题即可. 【详解】解：由题意可得： ， 对称轴为：直线，顶点坐标为：； 如图所示： 当时，y随x的增大而减少； 当时， 则， 解得：，， 当时，或， 当时，； 当时， 当，，当， 则y的取值范围为：． 【点睛】本题综合考查了二次函数的性质，属于综合题，关键是学生熟练应用二次函数的性质. 20．（本题9分）如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC; 【答案】 【分析】过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，由抛物线y=得C（2，0）， 于是得到对称轴为直线x=2，设B（m，n），根据△ABC是等边三角形，得到BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，求出PB=PC=（m-2），由于PB=n=，于是得到 （m-2）=，解方程得到m的值，然后根据三角形的面积公式即可得到结果． 【详解】解：过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC， 由抛物线y=得C（2，0）， ∴对称轴为直线x=2， 设B（m，n）， ∴CP=m-2， ∵AB∥x轴， ∴AB=2m-4， ∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°， ∴PB=PC=（m-2）， ∵PB=n=， ∴（m-2）=， 解得m=，m=2（不合题意，舍去）， ∴AB=，BP=， ∴S△ABC=． 【点睛】本题考查二次函数的性质. 21．（本题8分）如图，二次函数的图象交x轴于点和点，交y轴于点C，且点C、D是二次函数图象上关于对称轴对称的一对点，一次函数的图象经过点B、D． (1)求二次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集为________． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，设抛物线解析式为，解答即可； （2）根据题意，，，对称轴为，确定，确定直线与抛物线的交点坐标，然后利用数形结合思想，结合不等式，确定解集即可． 本题考查了待定系数法求抛物线解析式，数形结合思想求解析式构成的不等式的解集， 熟练掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，设抛物线解析式为， 故抛物线解析式为． （2）解：根据题意，，，对称轴为， ∴， ∴直线与抛物线的交点坐标分别为和， ∵， ∴或． 22．（本题8分）已知关于x的方程． (1)求证：不论m为任何实数， 此方程总有实数根； (2)若抛物线与轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式； (3)若点与在（2）中抛物线上，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程以及一元二次函数，熟练掌握定理是解题的关键． （1）计算一元二次方程的即可进行判断； （2）令，解得 ，，求出即可得到答案； （3）求出抛物线的对称轴为直线，得到点 P， Q关于直线 对称，即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，原方程化为 此时方程有实数根． 当时，原方程为一元二次方程 此时方程有两个实数根． 综上，不论m为任何实数时，方程 总有实数根． （2）解：令， 则 解得 ，． 抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数， 抛物线的解析式为． （3）解：， 抛物线的对称轴为直线． 点与在抛物线上， 点P，Q不重合， 且 点 P， Q关于直线 对称．   ． 23．（本题9分）某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克 30元，物价部 门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量 y（千克）是销售单价 x（元）的一次函数，解析式为： ．在销售过程中，每天 还要支付其他费用450元． (1)求该公司销售该原料日获利 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元． 【答案】(1) (2)当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元 【分析】本题考查了二次函数的应用，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． （1）根据利润=单价×销售量列出w关于x的二次函数解析式即可； （2）利用二次函数的性质求出w的最大值，以及此时x的值即可． 【详解】（1）解： （2）解：， ∵， ∴时，w有最大值为1950元， ∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元． 24．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积； （3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标． 【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积的最大值为；（3）Q点坐标为（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、（3，0）或（，﹣）． 【分析】(1)把B、C两点的坐标代入二次函数y=x2+bx+c即可求出b，c的值,故可得出二次函数的解析式; (2)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点E,设P（x，x2﹣2x﹣3），易得,直线BC的解析式为y=x﹣3，则Q点的坐标为（x，x﹣3）,再根据S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ即可得出结论； （3）分当OC=QC时，当OC=QO时，当QC=QO时三种情况求解即可. 【详解】解：（1）将B、C两点的坐标代入得， 解得：； 所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3； （2）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F， 设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为：y=kx+d， 则， 解得：，∴直线BC的解析式为y=x﹣3， 则Q点的坐标为（x，x﹣3）； 由0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3， ∴AO=1，AB=4， S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ =AB•OC+QP•BF+QP•OF =×4×3+（﹣x2+3x）×3 =﹣（x﹣）2+． 当x=时，四边形ABPC的面积最大 此时P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积的最大值为； （3）设点Q的坐标为（m，m﹣3）， ∵O（0，0），C（0，﹣3）， ∴OC=3，QC==|m|，QO=．△QOC为等腰三角形分三种情况： ①当OC=QC时，3=|m|， 解得：m=±， 此时点Q的坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣﹣3）； ②当OC=QO时，3=， 解得：m=3或m=0（舍去）， 此时点Q的坐标为（3，0）； ③当QC=QO时，有|m|=， 解得：m=， 此时点Q的坐标为（，﹣）． 综上可知：Q点坐标为（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、（3，0）或（，﹣）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，利用二次函数求最值，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理及分论讨论的数学思想，难度适中. 25．（本题10分）已知：正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，设点B（4，4），点P（t，0）是x轴上一动点，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交直线BC于点D，连AD． （1）如图1，当点P在线段OC上时，求证：OP＝CD； （2）在点P运动过程中，△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时，求t的值； （3）如图2，抛物线y＝﹣x2+x+4上是否存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析;(2) 综上，t1＝2，t2＝，t3＝;(3)见解析. 【分析】（1）证，可以证明它们所在的三角形全等，即证明：；已知的条件有：，，只需再找出一组对应角相等即可，通过图示可以发现、是同角的余角，这两个角相等，那么证明三角形全等的全部条件都已得出，则结论可证； （2）点在轴上运动，那么就需分三种情况讨论： ①点在轴负半轴上；可以延续（1）的解题思路，先证明、全等，那么得到的条件是，然后用表示、的长，再根据给出的相似三角形得到的比例线段，列等式求出此时的值，要注意的正负值的判断； ②点在线段上时；由于、都小于等于正方形的边长（即、），所以只有时，给出的两个三角形才有可能相似（此时是全等），可据此求出的值； ③点在点的右侧时；方法同①； （3）这道题要分两种情况讨论： ①线段为平行四边形的对角线，那么点、关于的中点对称即两点的纵坐标互为相反数，而，即、的横坐标相同，那么先用表示出点的坐标，代入抛物线的解析式中，即可确定的值； ②线段为平行四边形的边；先用表示出的长，把点向左或向右平移长个单位就能表达出点的坐标，代入抛物线解析式后即可得到的值. 【详解】（1）证明：∵OD⊥AH， ∴∠OAP＝∠DOC＝90°﹣∠AOD； 正方形OABC中，OA＝OC＝4，∠AOP＝∠OCD＝90°，即： ∵， ∴△AOP≌△OCD ∴OP＝CD． （2）解：①点P在x轴负半轴上时，P（t，0），且t＜0，如图①； ∵在Rt△AOP中，OH⊥AP， ∴∠POH＝∠PAO＝90°﹣∠APO； 又∵∠POH＝∠COD， ∴∠COD＝∠PAO； 在△AOP与△OCD中， ∵， ∴△AOP≌△OCD； ∴OP＝CD＝﹣t，则：BD＝BC+CD＝4﹣t； 若△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似，则有： ，得：， 解得：或（正值舍去）； ②当点P在线段OC上时，P（t，0），0＜t≤4，如图②； 因为OP＜OA、BD＜AB、OA＝AB， 若△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似，那么有：，所以OP＝BD，即： t＝4﹣t，t＝2； ③当点P在点C右侧时，P（t，0），t＞4，如图③； 同①可求得； 综上，t1＝2，，． （3）解：假设存在符合条件的点Q，分两种情况讨论： ①PC为平行四边形的对角线，则QP∥CD，且QP＝CD； 若P（t，0）、D（4，t），则Q（t，﹣t），代入抛物线中，得： ，即：t2﹣10t﹣24＝0， 解得：t1＝﹣2，t2＝12； ②PC为平行四边形的边，则DQ∥PC，且QD＝PC； 若P（t，0）、D（4，t），则 PC＝QD＝|t﹣4|，Q（t，t）或（8﹣t，t）； Q（t，t）时，，即：t2+2t﹣24＝0， 解得 t1＝4（舍）、t2＝﹣6； Q（8﹣t，t）时，，即：t2﹣6t+8＝0， 解得 t1＝4（舍）、t2＝2． 综上可知，t1＝2，t2＝12，t3＝﹣6，t4＝﹣2． ∴存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】此题是二次函数与几何的综合题，主要涉及了正方形的性质、全等三角形与相似三角形的判定和性质、平行四边形的特点等重点知识；题目解题的思路并不复杂，但难度在于涉及的情况太多，需要分情况逐一进行讨论，容易漏解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$