第2章 实数（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（广东省专用,北师大版）

第2章 实数（单元培优卷 北师大版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．给出下列各数：，，，，其中无理数是（   ） A． B． C． D． 2．下列的值能使二次根式有意义的是（　　） A． B． C． D． 3．已知实数a的一个平方根是2，则它的另一个平方根是（　　） A． B． C．4 D． 4．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在数轴上表示实数的可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．如图，将一个小正方形放入到一个大正方形中，阴影部分的面积等于小正方形的面积，则大正方形与小正方形的边长之比（    ） A． B． C． D． 7．的整数部分是x，小数部分是y，则的值是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知的立方根是，则的算术平方根是（    ）. A． B． C． D． 9．若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（     ） A． B． C． D．8 10．已知， 则化简二次根式的正确结果是（     ） A． B． C． D． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．比较大小 （填“”，“”，“”）． 12．化简： ， ． 13．若的小数部分为a，的小数部分为b，则 ． 14．的平方根是 ；已知，，则 ． 15．如果a，b为有理数，，那么 ． 16．在数轴上的位置如图所示，那么化简：的结果是 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）计算： (1)； (2)； 18．（4分）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 19．（6分）已知的算术平方根是3，的立方根是2，与互为相反数 (1)求、、的值； (2)求的平方根． 20．（6分）已知，，求下列各式的值． (1)和； (2)． 21．（8分）把下列各数填入相应的集合内： 0，，，，，，，3.1011，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1）． (1)整数集合{ …}； (2)分数集合{ …}； (3)无理数集合{ …}． 22．（10分）同学们知道实数与数轴上的点一一对应．如图，数轴上点对应的实数是． (1)若点对应的实数是，请你在数轴上标出点的大致位置； (2)图中线段的长是______； (3)若点在数轴上，且，求点对应的实数． 23．（10分）我们已经学过一个三角形已知底边长为a，高为h，则这个三角形的面积为，古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则有下列面积公式． 海伦公式：，其中 秦九韶公式：． (1)一个三角形的三边长分别为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积； (2)一个三角形的三边长分别为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积． 24．（12分）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 25．（12分）阅读材料：是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是我们可用来表示的小数部分．请根据材料解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的算术平方根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 实数（单元培优卷 北师大版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．给出下列各数：，，，，其中无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是整数，是分数， ∴是有理数， ∵是无限不循环小数， ∴是无理数， 故选． 2．下列的值能使二次根式有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是二次根式， ∴， 解得， ∵， ∴项不符合题意； ∵， ∴项不符合题意； ∵， ∴项符合题意； ∵， ∴项不符合题意； 故选：． 3．已知实数a的一个平方根是2，则它的另一个平方根是（　　） A． B． C．4 D． 【答案】A 【详解】解：∵实数a的一个平方根是2， ∴它的另一个平方根是， 故选：A． 4．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A．，是最简二次根式，故该选项符合题意； B． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选A． 5．如图，在数轴上表示实数的可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：， ， 而点在，这两个数之间， ∴在数轴上表示实数的可能是， 故选：B． 6．如图，将一个小正方形放入到一个大正方形中，阴影部分的面积等于小正方形的面积，则大正方形与小正方形的边长之比（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴大正方形与小正方形的边长之比， 故选：B． 7．的整数部分是x，小数部分是y，则的值是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 故选：A． 8．已知的立方根是，则的算术平方根是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是， 故选：． 9．若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（     ） A． B． C． D．8 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 故选：B 10．已知， 则化简二次根式的正确结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴x与y异号， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．比较大小 （填“”，“”，“”）． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 12．化简： ， ． 【答案】 / 【详解】解：①∵， ∴， 故答案为； ②， 故答案为： ． 13．若的小数部分为a，的小数部分为b，则 ． 【答案】1 【详解】解：，即， ，，，，的整数部分为2，小数部分为， 的整数部分为10，小数部分为， ． 故答案为：1． 14．的平方根是 ；已知，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，4 的平方根是， ∴的平方根是； ∵，， ∴， 故答案为：，. 15．如果a，b为有理数，，那么 ． 【答案】8 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：8． 16．在数轴上的位置如图所示，那么化简：的结果是 ． 【答案】 【详解】解：由数轴可得：， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（4分）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ； （2）， ． 19．（6分）已知的算术平方根是3，的立方根是2，与互为相反数 (1)求、、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）解：∵的算术平方根是3， ∴， ∴； ∵的立方根是2， ∴， ∴； ∵与互为相反数， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 20．（6分）已知，，求下列各式的值． (1)和； (2)． 【答案】(1)4，； (2)17 【详解】（1）∵，， ∴，； （2） 21．（8分）把下列各数填入相应的集合内： 0，，，，，，，3.1011，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1）． (1)整数集合{ …}； (2)分数集合{ …}； (3)无理数集合{ …}． 【答案】(1)0，， (2)，，3.1011 (3)，，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1） 【详解】（1）解：是分数，是整数，是整数． 故整数集合{ 0，，,...}； （2）解：分数集合{，，3.1011,...}； （3）解：无理数集合{，，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1）,...}． 22．（10分）同学们知道实数与数轴上的点一一对应．如图，数轴上点对应的实数是． (1)若点对应的实数是，请你在数轴上标出点的大致位置； (2)图中线段的长是______； (3)若点在数轴上，且，求点对应的实数． 【答案】(1)见解析图； (2)； (3)或． 【详解】（1）由，则点如图， （2）由上图可知：， 故答案为：； （3）当在左侧时， ，， ∵， ∴，解得， 当在线段上时， ，， ∵， ∴，解得， 综上可知：或． 23．（10分）我们已经学过一个三角形已知底边长为a，高为h，则这个三角形的面积为，古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则有下列面积公式． 海伦公式：，其中 秦九韶公式：． (1)一个三角形的三边长分别为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积； (2)一个三角形的三边长分别为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：由题意得：， 由海伦公式，得； （2）解：∵，，， ∴，，， 由秦九韶公式，得． 24．（12分）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【详解】（1）解：由题意得：等式④：； （2）解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； （3）解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 25．（12分）阅读材料：是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是我们可用来表示的小数部分．请根据材料解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的算术平方根． 【答案】(1)3， (2)6 (3)11 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：∵， ∴的整数部分是2，小数部分为，即； ∵， ∴的整数部分是4，即； ∴ （3）解：∵， ∴， ∴ ∵，其中x是整数，且， ∴， ∴， ∴的算术平方根为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$