专题01 全等三角形和全等三角形的判定（8考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题01 全等三角形和全等三角形的判定 目录 【典型例题】 1 【考点一 全等三角形的概念】 1 【考点二 全等三角形的性质】 3 【考点一 用SAS证明两三角形全等】 6 【考点二 用ASA证明两三角形全等】 9 【考点三 用AAS证明两三角形全等】 11 【考点四 用SSS证明两三角形全等】 14 【考点五 用HL证明两直角三角形全等】 17 【考点六 添一个条件使两三角形全等】 21 【过关检测】 23 【典型例题】 【考点一 全等三角形的概念】 例题：（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．形状相同的两个三角形全等 B．周长相等的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．形状、大小相同的两个三角形全等 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据两个三角形全等的定义即可判断．理解定义是判断的关键． 【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意； B、周长相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意； D、形状、大小相同的两个三角形全等，正确，符合题意． 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．全等三角形的周长相等、面积相等 D．所有的等边三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的概念及性质，根据三角形全等的概念和性质逐一判断即可. 【详解】A选项：形状和大小完全相同的两个三角形全等，故形状相同的两个三角形不一定全等，本选项说法错误； B选项：全等的两个三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项说法错误； C选项：全等三角形的周长相等，面积相等，本选项说法正确； D选项：等边三角形的形状相同，但大小不同，故本选项说法错误. 故选：C 2．（23-24八年级上·陕西安康·期中）下列说法正确的是（    ） A．全等三角形是指形状、大小相同的三角形 B．两个全等三角形的面积不一定相等 C．周长相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】A 【分析】根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，故本选项正确； B、两个全等三角形的面积一定相等，故本选项错误； C、周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，故本选项错误； D、所有的等边三角形形状都相同，大小与边长有关，边长不相等，则不能够重合，所以不一定是全等三角形，故本选项错误． 故选：A． 3．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法中，正确的有(　　) ①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据全等形的定义，全等三角形的判定与性质，即可判断． 【详解】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，即形状和大小相同的两个图形是全等形，故①②说法错误； 全等三角形能够完全重合，所以全等三角形的周长相等，面积相等，故③说法正确； 若，的对应角为，所以，故④说法正确； 说法正确的有③④，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查全等形，理解能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题关键． 【考点二 全等三角形的性质】 例题：（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图，已知点A在上，，    (1)试说明：； (2)若，，求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的对应角相等得到，然后根据内错角相等，两直线平行得到结论即可； （2）根据全等三角形的对应边相等得到，，然后利用线段的和差即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， 又∵， ∴． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，，其中点A、E、B、D在一条直线上．    (1)若，求的大小； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）先根据垂直以及直角三角形两锐角互余求出，再利用全等三角形对应角相等即可得到的大小； （2）利用全等三角形的性质得到，则，即可得到． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ （2）∵， ∴ ∴， ∴ 2．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，，，，，．    (1)试说明：； (2)求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，属于基础题型： （1）根据，得到，再根据线段的和差关系即可得出结论； （2）根据（1）中的结论，求出的长，进而求出的长度即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． 3．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知，点在边上，与交于点，，． (1)求的度数； (2)若，，求与的周长之和． 【答案】(1) (2)31 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解本题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （2）根据全等三角形的性质求出，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴与的周长和， ． 【考点三 用SAS证明两三角形全等】 例题：（23-24八年级下·云南红河·阶段练习）如图，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据题意证明，即可证明结论； 【详解】证明：在和中， 【变式训练】 1．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定．利用证明三角形全等即可．掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 【详解】证明：， ，即， 在和中 ， ． 2．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）如图，，，，，直线与交于点F，交于点G，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据垂直的定义得到，由角的和差得到，即可得到结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 3．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，，． (1)求证：； (2)，求的度数？ 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行线的性质． （1）由平行线的性质可得出，然后利用证明即可． （2）由全等三角形的性质可得出，再利用平行线的性质得出． 【详解】（1）证明：∵ ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点四 用ASA证明两三角形全等】 例题：（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，，点，点在上，，求证：．    【答案】见解析 【分析】首先根据平行线的性质可得，利用等式的性质可得，然后再利用判定即可． 【详解】证明：∵， ， ， ， 即， 在和中，， ∴． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【变式训练】 1．（2023·校联考一模）如图，点A、、、在同一条直线上，若，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由知，结合，，依据“”可判定≌，依据两三角形全等对应边相等可得． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，在和中，，点B为中点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4，见解析 【分析】（1）根据判定即可； （2）根据和点B为中点即可求出． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ （2）解：∵，， ∴，， ∵点B为中点， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定条件是解答本题的关键． 【考点五 用AAS证明两三角形全等】 例题：（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）如图，点E在边上，，，．求证： 【答案】证明见解析 【分析】根据平行线的性质，得到，再根据三角形外角的性质，得出，即可利用“”证明． 【详解】证明：， ， ，，， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 【变式训练】 1．（2023·浙江温州·统考二模）如图，，，．    (1)求证：． (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)40° 【分析】（1）根据平行线的性质，利用三角形全等的判定定理即可证明； （2）根据三角形全等的性质和平行线的性质即可求解 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握各知识点，利用好数形结合的思想是解本题的关键． 2．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知点是线段上一点，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得，即，从而即可证得； （2）由可得，，即可得到，从而即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【考点六 用SSS证明两三角形全等】 例题：（2024·云南红河·一模）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．直接证明根据性质可证明结论． 【详解】证明：在与中， ， ， ． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，C，D是上的两点，且． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得出结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图所示，已知，，，且，，，在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差是解题的关键． （1）证明，则，进而可证； （2）由题意得，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长度为9． 3．（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论. 【详解】（1）证明：∵ ∴，即 ∵， ∴ （2）∵，， ∴， ∵， ∴ 【考点七 用HL证明两直角三角形全等】 例题：（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知：如图，，，，E、F是垂足，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，找出全等三角形是解题关键．利用“”证明，即可得出结论． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川甘孜·期末）如图，已知，，，，与交于点． (1)求证：． (2)求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质， （1）根据证明两个三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论； 解题的关键是掌握三角形全等的判定． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）已知和位置如图所示，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，能够正确证明三角形全等是解题的关键． （1）证明，得出对应边相等即可； （2）证出，然后证明，得出对应角相等即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ． 3．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，等腰中，是腰上的高，在底边上截取，过点E作交于F． (1)求证： (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质， （1）直接利用证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）先根据直角三角形的性质求出，再根据全等三角形的性质求出，然后根据等边对等角得，进而求出，可得答案. 【详解】（1）证明：∵是腰上的高，， ∴. 又∵，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵是等腰三角形， ∴. ∵是的外角， ∴， ∴． 【考点八 添一个条件使两三角形全等】 例题：（2023·浙江·八年级假期作业）如图，D在上，E在上，且，补充一个条件______后，可用“”判断．    【答案】或 【分析】由于两个三角形已经具备，，故要找边的条件，只要不是这两对角的夹边即可． 【详解】解：∵，， ∴若用“”判断，可补充的条件是或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知掌握判定三角形全等的条件是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，点在一条直线上，已知，请你添加一个适当的条件_________使得．（要求不添加任何线段）    【答案】（答案不唯一） 【分析】由可得，再根据三角形全等的证明，可知可以添加条件为：两边及其夹角（）、两边及一边（）即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴可添加条件为：可证明或可证明． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查的是三角形全等判定，掌握证明全等三角形的方法有：,特别是不能判定三角形全等是解题的关键． 2．（2023·北京大兴·统考二模）如图，点，，，在一条直线上，，，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________（写出一个即可）． 【答案】或或或（答案不唯一）． 【分析】根据，或添加条件即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 则有边角两个条件，要添加一个条件分三种情况， （1）根据“”，则可添加：， （2）根据“”，则可添加：或， （3）根据“”，则可添加：， 故答案为：或或或（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解此题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判断方法． 3．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知，要使用“”证明，应添加条件：_______________；要使用“”证明，应添加条件：_______________________． 【答案】 （或） （或） 【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使，已知，，添加的条件是直角边相等即可；要使用“”，需要添加角相等即可． 【详解】解：已知，， 要使用“”， 添加的条件是直角边相等， 故答案为：（或）； 要使用“”，需要添加角相等，添加的条件为： （或）． 故答案为：（或）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定．本题的关键是，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24七年级下·陕西西安·期中）下列判断正确的个数是（    ） （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）全等图形的周长都相等； （3）面积相等的两个等腰三角形是全等形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的判定与性质，利用全等图形的判定与性质即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）形状相同的两个三角形不一定是全等形，故错误； （2）全等图形的周长都相等，故正确； （3）面积相等的两个等腰三角形不一定是全等形，故错误； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故正确； 故选：B 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，能熟记全等三角形的对应角相等是解此题的关键． 根据全等三角形的性质得出，，求出，根据平行线的性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图，在和中，点B，C，E，F在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， 当时，不能判定，故选项A不符合题意； 当时，则，根据可证，故选项B符合题意； 当时，不能判定，故选项C不符合题意； 当时，不能判定，故选项A不符合题意； 故选：B． 4．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，然后在M处立了标杆，使，测得MB的长是15米，则A，B两点间的距离为（    ） A．10米 B．15米 C．20米 D．30米 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据已知易得：，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：， ， 在和中， ， 米， ∴A，B两点间的距离为15米， 故选：B． 5．（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分，，给出下列五个结论： ①；②；③；④；⑤； 其中正确的结论共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，由角平分线的性质和平行线的性质可证，可得，由等腰三角形的性质可得，，由可证，可得，，，即可求解． 【详解】解：∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且是的角平分线， ∴，， 故②，③正确，符合题意； 在和中，， ∴， ∴，，， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， 故④正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 故⑤错误，不符合题意； 故选：A． 二、填空题 6．（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明同学绘制风筝设计图如下，点，，在同一条直线上，，要能使，还需再补充一个条件： （写一个即可，多写的按第一个给分）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，答案不唯一．根据，然后根据“”的判定方法添加条件即可． 【详解】解：可添加．理由如下： 在和中， ， ∴（）， 故答案为：（答案不唯一）． 7．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带 去（填序号）． 【答案】③ 【分析】本题是一道利用全等三角形解决实际问题的题目，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理； 利用三角形全等的判定定理“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等”，即可确定； 【详解】解：第③块玻璃含有两个角，能确定整块玻璃的形状．第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据“”来配一块一样的玻璃．应带③去． 故答案为：③． 8．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图的面积为，平分，且于P，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】延长交于，证明得到，再利用三角形的中线性质求解即可．本题考查角平分线的性质及全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，熟知三角形的中线将该三角形分为两个面积相等的三角形是解答的关键． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为， ． 故答案为：8 9．（23-24七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，垂足为C， 射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足 ，随着 P点运动而运动，当点P运动时间t为 秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等（）． 【答案】6或12或18 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，此题要分两种情况：①当P在线段上时，②当P在上，再分别分两种情况或进行计算即可． 【详解】解：①当P在线段上，时，， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）； ②当P在线段上，时，， 这时，因此时间为0秒， ，故不合题意舍去； ③当P在上，时，， ， 点P的运动时间为（秒）； ④当P在上，时，， ， 点P的运动时间为（秒）， ∴点P的运动时间为6或12或18， 故答案为：6或12或18． 10．（23-24八年级上·河北承德·期中）在平面直角坐标系中，点，，以为一边作三角形与全等，则另一顶点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分点在轴负半轴上时，点在第一象限时，点在第二象限时，三种情况讨论即可，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】如图， 点在轴负半轴上时， ∵与全等， ∴， ∴点， 点在第一象限时， ∵与全等， ∴，， ∴点， 点在第二象限时， ∵与全等， ∴，， ∴点； 综上所述，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 三、解答题 11．（21-22七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知，点E在上，与交于点F． (1)若，，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和的定理． （1）利用全等的性质即可求出，然后根据线段的和差即可求出． （2）利用全等的性质求出，然后根据三角形的内角和定理即可求出，然后利用角的和差即可求出． 【详解】（1）（1）∵，， ∴， ∴． （2）∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴. 12．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知，，． (1)求证：； (2)猜想，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（）首先利用证明，根据性质可得，再由角度和差即可求证； （）根据全等三角形对应角相等求出，由三角形外角的性质可得； 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角性质的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（）得：， ∴， ∵， ∴． 13．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四边形中，，点，分别在，上，连接，，，，， (1)试说明：； (2)试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）利用证明，得出即可； （2）根据，得出，推出，利用证明，得出即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵由（1）得， ∴， ∴，即， 在和中， ， ， ∴． 14．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片折叠， 使点 C与点A重合， 折痕为． (1)如果， 求的度数； (2)判断和是否全等．请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】（1）由长方形的性质得，，则可得．再由折叠的性质得，则可得．在中，根据三角形内角和定理即可求出的度数． （2）由长方形的性质和折叠的性质可得，，，根据即可证明． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ，， ∴， ， ， ， 由折叠知， ， 在中，． （2）解：，理由如下： ∵四边形是长方形， ，， 由折叠知，，， ，，， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、折叠的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，，，三点共线，，，三点共线，，于点，． (1)求证：是的中点； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）过作的延长线于点，先证，得到，再证得得到，即可证得即可证得结论； （2）由（1）得，，，根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差即可证得结论． 【详解】（1）过作的延长线于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中点； （2）由（1）得，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 16．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)与全等吗？为什么？ (2)试说明点是线段的中点． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)说明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义等知识，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，，再利用即可证明； （2）利用证明，根据全等三角形的性质及线段中点定义即可得解． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ，即， 在与中， ， ， ，， 在和中 ， ； （2）解：由（1）知，， 与相交于点， ， 在和中， ， ， ， 点是线段的中点． 17．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知是的高，过作一直线，是直线上一点，是上一点，连接，． (1)求证：； (2)若，，，的面积是面积的3倍．求线段的长； (3)若，，，请直接写出的面积与面积的比值（用含有的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形的面积等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键. （1）延长至点， 由得出得到 ； （2）过点作交的延长线于点，证明 根据面积得到的长； （3）设则 ， 由（2）得， 得到根据 得出． 【详解】（1）证明：延长至点， 为的外角， ， ， ， ； （2）过点作 交的延长线于点， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵的面积是面积倍， ， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； （3）设，， 则，， 由 (2) 得， ∴， ∴， ， ， ， ． 18．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）仍然成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）延长到点G，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，利用，推导出的度数，即可得出结论． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 在和中， ， ≌， ； （3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 即， ，， ， 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 全等三角形和全等三角形的判定 目录 【典型例题】 1 【考点一 全等三角形的概念】 1 【考点二 全等三角形的性质】 3 【考点一 用SAS证明两三角形全等】 6 【考点二 用ASA证明两三角形全等】 9 【考点三 用AAS证明两三角形全等】 11 【考点四 用SSS证明两三角形全等】 14 【考点五 用HL证明两直角三角形全等】 17 【考点六 添一个条件使两三角形全等】 21 【过关检测】 23 【典型例题】 【考点一 全等三角形的概念】 例题：（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．形状相同的两个三角形全等 B．周长相等的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．形状、大小相同的两个三角形全等 【变式训练】 1．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．全等三角形的周长相等、面积相等 D．所有的等边三角形全等 2．（23-24八年级上·陕西安康·期中）下列说法正确的是（    ） A．全等三角形是指形状、大小相同的三角形 B．两个全等三角形的面积不一定相等 C．周长相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 3．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法中，正确的有(　　) ①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点二 全等三角形的性质】 例题：（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图，已知点A在上，，    (1)试说明：； (2)若，，求的长 【变式训练】 1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，，其中点A、E、B、D在一条直线上．    (1)若，求的大小； (2)若，求的长． 2．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，，，，，．    (1)试说明：； (2)求的长度． 3．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知，点在边上，与交于点，，． (1)求的度数； (2)若，，求与的周长之和． 【考点三 用SAS证明两三角形全等】 例题：（23-24八年级下·云南红河·阶段练习）如图，，求证： 【变式训练】 1．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，已知，，．求证：． 2．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）如图，，，，，直线与交于点F，交于点G，连接．求证：． 3．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，，． (1)求证：； (2)，求的度数？ 【考点四 用ASA证明两三角形全等】 例题：（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，，点，点在上，，求证：．    【变式训练】 1．（2023·校联考一模）如图，点A、、、在同一条直线上，若，，求证：． 2．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，在和中，，点B为中点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【考点五 用AAS证明两三角形全等】 例题：（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）如图，点E在边上，，，．求证： 【变式训练】 1．（2023·浙江温州·统考二模）如图，，，．    (1)求证：． (2)当，时，求的度数． 2．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知点是线段上一点，，． (1)求证：； (2)求证：． 【考点六 用SSS证明两三角形全等】 例题：（2024·云南红河·一模）如图，，，．求证：． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，C，D是上的两点，且． 求证：． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图所示，已知，，，且，，，在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 3．（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【考点七 用HL证明两直角三角形全等】 例题：（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知：如图，，，，E、F是垂足，．求证：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川甘孜·期末）如图，已知，，，，与交于点． (1)求证：． (2)求． 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）已知和位置如图所示，，，． (1)求证：； (2)求证：． 3．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，等腰中，是腰上的高，在底边上截取，过点E作交于F． (1)求证： (2)若，求的度数． 【考点八 添一个条件使两三角形全等】 例题：（2023·浙江·八年级假期作业）如图，D在上，E在上，且，补充一个条件______后，可用“”判断．    【变式训练】 1．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，点在一条直线上，已知，请你添加一个适当的条件_________使得．（要求不添加任何线段）    2．（2023·北京大兴·统考二模）如图，点，，，在一条直线上，，，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________（写出一个即可）． 3．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知，要使用“”证明，应添加条件：_______________；要使用“”证明，应添加条件：_______________________． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24七年级下·陕西西安·期中）下列判断正确的个数是（    ） （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）全等图形的周长都相等； （3）面积相等的两个等腰三角形是全等形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图，在和中，点B，C，E，F在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，然后在M处立了标杆，使，测得MB的长是15米，则A，B两点间的距离为（    ） A．10米 B．15米 C．20米 D．30米 5．（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分，，给出下列五个结论： ①；②；③；④；⑤； 其中正确的结论共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 6．（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明同学绘制风筝设计图如下，点，，在同一条直线上，，要能使，还需再补充一个条件： （写一个即可，多写的按第一个给分）． 7．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带 去（填序号）． 8．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图的面积为，平分，且于P，则的面积为 ． 9．（23-24七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，垂足为C， 射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足 ，随着 P点运动而运动，当点P运动时间t为 秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等（）． 10．（23-24八年级上·河北承德·期中）在平面直角坐标系中，点，，以为一边作三角形与全等，则另一顶点的坐标为 ． 三、解答题 11．（21-22七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知，点E在上，与交于点F． (1)若，，求的长； (2)若，，求的度数． 12．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知，，． (1)求证：； (2)猜想，，之间的数量关系，并证明． 13．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四边形中，，点，分别在，上，连接，，，，， (1)试说明：； (2)试说明：． 14．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片折叠， 使点 C与点A重合， 折痕为． (1)如果， 求的度数； (2)判断和是否全等．请说明理由． 15．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，，，三点共线，，，三点共线，，于点，． (1)求证：是的中点； (2)求证：． 16．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)与全等吗？为什么？ (2)试说明点是线段的中点． 17．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知是的高，过作一直线，是直线上一点，是上一点，连接，． (1)求证：； (2)若，，，的面积是面积的3倍．求线段的长； (3)若，，，请直接写出的面积与面积的比值（用含有的式子表示）． 18．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$