第2章 平面解析几何初步 全章总结提升 课件-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

全章总结提升 第2章　平面解析几何初步 湘教版 数学 选择性必修第一册 网络构建归纳整合 专题突破素养提升 目录索引 网络构建归纳整合 专题突破素养提升 专题一　直线方程及两直线位置关系 求直线方程是本章的基础知识,要明确各种直线方程的基本形式以及方程的局限性,求直线方程的基本方法是待定系数法,根据直线方程研究直线的位置关系要结合不同的直线方程的形式,求直线方程或根据直线方程研究直线的位置关系主要是提升数学运算与逻辑推理的核心素养. 【例1】 在△ABC中,已知M(1,6)是BC边上一点,边AB,AC所在直线的方程分别为2x-y+7=0,x-y+6=0. (1)若AM⊥BC,求直线BC的方程; (2)若|BM|=|CM|,求直线BC在x轴上的截距. 分析由于M(1,6)是BC边上一点,因此求直线BC的方程需要利用AM⊥BC时两直线的位置关系求出直线BC的斜率;而(2)中求直线BC与x轴的截距需要先求出其方程,可结合|BM|=|CM|以及点B,C分别在两直线上的特征,列方程求B,C的坐标后求方程. 解 (1)由题知,边AB,AC所在直线的方程分别为2x-y+7=0,x-y+6=0. 所以直线BC的方程为y-6=-2(x-1),即2x+y-8=0. (2)因为点B,C分别在直线2x-y+7=0,x-y+6=0上, 设B(a,2a+7),C(b,b+6),由|BM|=|CM|,可得M为BC边的中点,则 规律方法　直线综合问题的解法 1.求直线方程的主要方法是待定系数法,要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化,能根据条件灵活选用方程,当不能确定某种方程条件具备时,要另行讨论条件不满足的情况. 2.当已知条件中涉及两直线位置关系时,常利用两直线位置关系中的斜率之间的关系求解问题. 变式训练1 已知△ABC的顶点A(4,3),AB边上的高所在直线为x-y-3=0,D为AC中点,且BD所在直线方程为3x+y-7=0. (1)求顶点B的坐标; (2)求BC边所在的直线方程(请把结果用一般式方程表示). 解 由AB边上的高所在直线为x-y-3=0,得AB所在直线方程的斜率为kAB=-1.又过A(4,3),则AB所在直线方程为y-3=-1(x-4),整理得x+y-7=0.因为BD所在直线方程为3x+y-7=0, 由(1)知,B(0,7),得直线BC的方程为19x+y-7=0. 专题二　圆的方程的求法 求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程,利用待定系数法解题.求圆的方程主要是提升逻辑推理与数学运算的核心素养. 程. 分析 由于已知条件中涉及圆的圆心坐标与半径,因此利用待定系数法设出圆的一般式方程求解. 解 设圆心坐标为(a,b),半径为r, 规律方法　利用待定系数法求圆的方程 (1)若已知条件与圆的圆心和半径有关,可设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值. (2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径,可选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,从而求出D,E,F的值. 变式训练2 在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,0),B(2,0),C(0,-2),经过这三个点的圆记为M. (1)求BC边上的中线AD所在直线的方程; (2)求圆M的方程. 解 (1)由B(2,0),C(0,-2),知BC的中点D的坐标为(1,-1). 又A(-3,0),所以直线AD的方程为 , 即中线AD所在直线的一般式方程为x+4y+3=0. (2)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). 所以圆M的方程是x2+y2+x-y-6=0. 专题三　直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系主要是利用几何法与代数法求解,判断直线与圆的位置关系,常用几何法,而研究直线与圆的交点有关的性质问题,常利用代数法.直线与圆的位置关系主要是提升数学运算与逻辑推理的核心素养. 【例3】 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=4,点Q(0,1),过点P(0,4)的直线l与圆O交于不同的两点A,B(A,B不在y轴上). (1)若直线l的斜率为3,求|AB|; (2)设直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,求证:k1+k2为定值, 并求出该定值. 分析计算出圆心到直线l的距离,利用勾股定理可求得|AB|; 结合题意首先判断出直线l的斜率存在,设出直线l的方程为 y=kx+4,设点A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程与圆O的方程联立,结合一元二次方程根与系数的关系可知,利用直线的斜率公式计算得出k1+k2的值. 解 (1)由直线l的斜率为3,可得直线l的方程为3x-y+4=0, (2)因为A,B两点不在y轴上,所以直线l的斜率存在,故可设直线l的方程为y=kx+4, 代入圆O:x2+y2=4可得方程(1+k2)x2+8kx+12=0, 规律方法　直线与圆交点性质问题的求解方法 求解直线与圆相交的交点性质问题,主要是将直线方程代入圆的方程消元后,结合一元二次方程根与系数的关系以及待求解的结论转化为交点的横(纵)坐标之间的关系. 变式训练3 已知圆C的圆心在x轴负半轴上,半径为2,直线2x- y+2=0与圆C相切. (1)求圆C的标准方程; (2)过点P(0,-5)的直线l与圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且满足x1x2+y1y2=17,求直线l的方程. 解得a1=-4,a2=2. 因为a<0,故a=-4,则圆心为(-4,0), 所以圆C的标准方程为(x+4)2+y2=4. (2)由题可得直线l斜率存在,设l方程为y=kx-5,代入圆方程并整理得 所以直线l方程为y=-x-5,即x+y+5=0. 专题四　圆与圆的位置关系 解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征,利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系,以及充分利用几何图形的形象直观性来分析问题.关于圆与圆的位置关系问题主要是提升直观想象、逻辑推理与数学运算的核心素养. 【例4】 已知圆C1:x2+y2+4x-4y-5=0与圆C2:x2+y2-8x+4y+7=0. (1)证明圆C1与圆C2相切,并求过切点的两圆公切线的方程; (2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程. 解 (1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式,得圆C1:(x+2)2+(y-2)2=13,圆C2:(x-4)2+(y+2)2=13. 所以圆C1与圆C2相切. ①-②得12x-8y-12=0, 整理得3x-2y-3=0,即过切点的两圆公切线的方程为3x-2y-3=0. (2)由圆系方程,可设所求圆的方程为x2+y2+4x-4y-5+λ(3x-2y-3)=0. 规律方法　判断两圆位置关系的两种方法 (1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较,得到两圆位置关系. (2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题,转化为方程组解的组数问题,从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系,但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系,而不能像几何法一样,能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系. 变式训练4 已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心为O2(2,1). (1)若圆O1与圆O2外切,求圆O2的方程; (2)若圆O1与圆O2交于A,B两点,且|AB|= ,求圆O2的方程. 解 (1)设圆O1,圆O2的半径分别为r1,r2. ∵两圆外切,∴|O1O2|=r1+r2, 联立,解方程组 解得 即直线AB,AC的交点坐标是A(-1,5). 由AM⊥BC,可得kBC=-=-=-2, 解得 所以B(-3,1),C(5,11). 故直线BC的方程为, 整理得5x-4y+19=0.令y=0,得x=, 即直线BC与x轴的截距是. 联立,解方程组 解得即B(0,7). (2)设C(m,n),又A(4,3),D为AC中点,则D(), 由已知得 解得即C(,-). 【例2】 求圆心在圆+y2=2上,且与x轴和直线x=-都相切的圆的方 因为圆+y2=2在直线x=-的右侧,且所求的圆与x轴和直线x=-都相切, 所以a>-,所以r=a+,r=|b|. 又圆心(a,b)在圆+y2=2上, 所以+b2=2. 联立,解方程组解得 所以所求圆的方程是+(y-1)2=1或+(y+1)2=1. 将A(-3,0),B(2,0),C(0,-2)三点的坐标分别代入方程得解得 所以圆心O到直线l的距离为, 所以|AB|=2. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1·x2=. k1+k2==2k+3() =2k+=2k+=2k+(-2k)=0. 所以k1+k2为定值,定值为0. 解 (1)设圆心坐标为(a,0)(a<0),则r==2, (1+k2)x2+(8-10k)x+37=0,则x1+x2=,x1x2=. x1x2+y1y2=x1x2+(kx1-5)(kx2-5)=(1+k2)x1x2-5k(x1+x2)+25=37-+25=17,化简得k2-8k-9=0,解得k=-1或k=9. 又圆心到直线l的距离d=<2,则k=9不满足,即k=-1. 圆心与半径长分别为C1(-2,2),r1=; C2(4,-2),r2=. 因为|C1C2|==2=r1+r2, 由 点(2,3)在此圆上,将点坐标代入方程解得λ=. 故所求圆的方程为x2+y2+4x-4y-5+(3x-2y-3)=0,整理得x2+y2+8x-y-9=0. 2 ∴r2=|O1O2|-r1=-2=2(-1). ∴圆O2的方程是(x-2)2+(y-1)2=4(-1)2. (2)由题意,设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=, 圆O1,圆O2的方程相减,即得两圆公共弦AB所在直线的方程为4x+4y+-8=0. ∴圆心O1(0,-1)到直线AB的距离为, 解得=4或20. ∴圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20. $$