专题1.1 集合与充分必要条件（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（河北专用）

专题1.1 集合与充分必要条件 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 4 考点一：集合的基本概念 4 考点二：集合间的基本关系 5 考点三：集合的基本运算 7 考点四：利用集合的运算求参数 9 考点五：充分必要条件 10 【考纲要求】 1. 理解集合的概念及其表示，了解空集和全集的意义,理解元素与集合的关系及集合间的关系；掌握集合的表示方法. 2. 掌握集合间的关系（子集、真子集、相等），能准确应用“元素与集合关系”和“集合与集合关系”符号. 3. 掌握交集、并集、补集的含义，并能进行简单的运算，会借助数轴进行不等式形式的集合运算. 4. 理解必要条件与充分条件的概念． 【考向预测】 1.集合的基本概念 2.集合间的基本关系 3.集合的基本运算 4. 必要条件与充分条件的判断 【知识导图】 【知识清单】 1.元素与集合 一组对象的全体构成一个集合． (1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性． (2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，a∈A或a∉A，二者必居其一． (3) 五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示 正整数集　，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示 整数集　，Q表示 有理数集　，R表示实数集． (4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法． (5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示． 2.集合间的基本关系 关系 定义 表示 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中的任意一个元素都是B中的元素 A⊆B 真子集 A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A AB 注意：(1)空集用∅表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. (3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． 3.集合的基本运算 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA. 特别提醒: 1.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB. 2. CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB). 4,充分必要条件 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 【考点分类剖析】 考点一：集合的基本概念 例1．下列各组对象中不能组成集合的是 (　　) A．清华大学2024年入校的全体学生 B．我国十四届全国人大二次会议的全体参会成员 C．中国著名的通信专家 D．不等式x－1＞0的实数解 [解析]　“著名的通信专家”无明确的标准，对于某人是否“著名”无法客观地判断，因此“中国著名的通信专家”不能组成集合，故选C． 例3．已知是由三个元素组成的集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0，2，3均可 【答案】B 【分析】由，可得或，解方程求，再去验证是否符合集合中元素性质即可． 【详解】因为集合是由，，三个元素组成的集合，所以，又，所以或，解方程可得或或，当时，，与已知矛盾，舍去；当时，，与已知矛盾，舍去；当时，，满足题意，，B正确，故选：B. 【方法规律】解决此类问题的通法是：根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性． 【变式探究】1.下列各组对象： ①某个班级中年龄较小的男同学；②联合国安理会常任理事国；③2024年在法国举行的巴黎奥运会的所有参赛运动员；④的所有近似值． 其中能够组成集合的是________． [解析]　①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合．②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合．填②③． 3.已知－3是由x－2, 2x2＋5x,12三个元素构成的集合中的元素，求x的值． [解析]　由题意可知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3． 当x－2＝－3时，x＝－1， 把x＝－1代入2x2＋5x，得集合的三个元素分别为－3，－3,12，不满足集合中元素的互异性； 当2x2＋5x＝－3时，x＝－或x＝－1(舍去)， 当x＝－时，集合的三个元素分别为－，－3,12，满足集合中元素的互异性，故x＝－． 考点二：集合间的基本关系 例1. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先化简集合，再根据集合与集合的关系，元素与集合的关系判断即可. 【详解】因为， 所以，，，故正确的只有A. 故选：A 例2. 已知集合，，则（         ） A． B．AB C．BA D． 【答案】C 【分析】根据子集包含关系得到答案. 【详解】，故BA. 故选：C 例3. 设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得. 【详解】由，得，即，此时， 由，得，而，所以. 故选：A 【方法规律】集合间基本关系判定的两种方法和一个关键 【变式探究】1．下列写法中，正确的有 ①；②；③；④. 【答案】① 【分析】根据元素与集合，集合与集合关系可判断. 【详解】空集是任何非空集合的真子集，故①正确，②错误，，故③错误，空集是不含任何元素的集合，故④错误. 故答案为：①. 2．若集合，，则A B．（用符号“”“=”或“”连接） 【答案】 【分析】先化简集合A、B，再去判断集合A、B间的关系即可解决. 【详解】，，则 故答案为： 3．已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】由，让集合与中的元素完全相同，即可列式求解. 【详解】由题意，，， 故选：D. 考点三：集合的基本运算 例1. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用交集概念即可求得结果. 【详解】根据交集定义，由运算可得. 故选：A 例2．已知集合，，则 . 【答案】 【分析】根据并集的运算性质求解即可. 【详解】集合，，则. 故答案为： 例3．已知集合，则 ． 【答案】 【分析】利用补集、交集的定义直接求解即得. 【详解】由集合，得或，而， 所以. 故答案为： 例4．已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N等于(　D　) A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1) C．{3，－1} D．{(3，－1)} [解析]　∵M，N均为点集，由得 ∴M∩N＝{(3，－1)}． 【变式探究】1. 若集合，，则 ． 【答案】; 【分析】根据集合并集的定义即可求解. 【详解】由集合的并集定义可得，因为，， 所以， 故答案为：. 2．已知集合，则 . 【答案】． 【分析】根据并集的概念与运算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以. 故答案为： 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集和补集运算即可求解. 【详解】根据题意， ，则， 故选：B. 4. 已知集合，则_________． 【答案】 【分析】求直线的交点可得. 【详解】由，解得，所以． 故答案为：. 考点四：利用集合的运算求参数 例1．已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，C＝{x|x≥a－1}． (1)求A∩B，A∪B； (2)若C∪A＝A，求实数a的取值范围． [解析]　(1)A∩B＝{x|x≥3}∩{x|1≤x≤7}＝{x|3≤x≤7}，A∪B＝{x|x≥3}∪{x|1≤x≤7}＝{x|x≥1}． (2)因为C∪A＝A， 所以C⊆A， 所以a－1≥3，即a≥4． 故实数a的取值范围为{a|a≥4}． 【方法规律】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件． （2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误． （3）防范空集．在解决有关等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑时是否成立，以防漏解． 【变式探究】已知集合M＝{x|2x＋6＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}． (1)当m＝－4时，求M∩N，M∪N； (2)当M∩N＝M时，求实数m的值． [解析]　(1)M＝{－3}． 当m＝－4时，N＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}， 则M∩N＝{－3}∩{－1,4}＝∅，M∪N＝{－3}∪{－1,4}＝{－3，－1,4}． (2)∵M∩N＝M，∴M⊆N．由于M＝{－3}，则－3∈N， ∴－3是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解， ∴(－3)2－3×(－3)＋m＝0，解得m＝－18． 考点五：充分必要条件 例1．“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用一元二次不等式的解法，结合推出关系，即可得出判断. 【详解】由“”可以推出“”， 反之，由“”不一定推出“”，也可以推出“”． 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 例2．已知平面，和直线m，n，若，，则“，”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由线线、面面关系以及充分、必要条件的概念即可得出结论. 【详解】当，，，是两个不同平面，，时，或，相交， 反过来，时，，，则，. 故“，”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 例3．是四边形构成平行四边形的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的定义判断即可 【详解】解：由，可知，所以四边形一定能构成平行四边形； 当四边形构成平行四边形，则有，且与同向，所以， 所以是四边形构成平行四边形的充要条件， 故选：A 【方法规律】 充分必要条件的判断方法 定义法： — ↓ — ↓若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则条件就不是结论的充分条件; 若条件能推出结论，则结论为条件的必要条件，否则结论就不是条件的必要条件; 若条件结论能互相推出，则互为充要条件. — 1．设，则“”是“”的（   ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】因为当时，一定成立， 而当时，不一定成立，如， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：B 2．如果：，：，，成等比数列，那么是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】利用定义法判断、的推出关系，进而判断它们的必要、充分关系. 【详解】：，当也成立，但，，不是等比数列， ：，，成等比数列，必有成立， ∴是的必要不充分条件. 故选：B. 3．设，则“”是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由，结合充要条件的定义得答案． 【详解】由． 可得设，，则“”是的充要条件． 故选：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 例2．用符号“∈”或“∉”填空： 0___∈___N；－3__ ∉____N；0.5___ ∉___Z；eq \r(2)___ ∉___Z；eq \f(1,3)__∈____Q；π___∈___R． 2.下列关系中，正确的有 (　　) ①eq \f(1,2)∈R；②eq \r(5)∉Q；③|－3|∈N；④|－eq \r(3)|∈Q． A．1个　　　B．2个 C．3个 D．4个 [解析]　(1)eq \f(1,2)是实数，eq \r(5)是无理数，|－3|＝3是自然数，|－eq \r(3)|＝eq \r(3)是无理数．因此，①②③正确，④错误． $$ 专题1.1 集合与充分必要条件 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 4 考点一：集合的基本概念 4 考点二：集合间的基本关系 5 考点三：集合的基本运算 6 考点四：利用集合的运算求参数 7 考点五：充分必要条件 7 【考纲要求】 1. 理解集合的概念及其表示，了解空集和全集的意义,理解元素与集合的关系及集合间的关系；掌握集合的表示方法. 2. 掌握集合间的关系（子集、真子集、相等），能准确应用“元素与集合关系”和“集合与集合关系”符号. 3. 掌握交集、并集、补集的含义，并能进行简单的运算，会借助数轴进行不等式形式的集合运算. 4. 理解必要条件与充分条件的概念． 【考向预测】 1.集合的基本概念 2.集合间的基本关系 3.集合的基本运算 4. 必要条件与充分条件的判断 【知识导图】 【知识清单】 1.元素与集合 一组对象的全体构成一个集合． (1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性． (2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A， 或 ，二者必居其一． (3) 五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示 　，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示 　，Q表示 　，R表示实数集． (4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法． (5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示． 2.集合间的基本关系 关系 定义 表示 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中的任意一个元素都是 A⊆B 真子集 A是B的子集，且B中至少有一个元素 AB 注意：(1)空集用∅表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为 ，真子集个数为 ，非空真子集的个数为 . (3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． 3.集合的基本运算 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA. 特别提醒: 1.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB. 2. CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB). 4,充分必要条件 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 【考点分类剖析】 考点一：集合的基本概念 例1．下列各组对象中不能组成集合的是 (　　) A．清华大学2024年入校的全体学生 B．我国十四届全国人大二次会议的全体参会成员 C．中国著名的通信专家 D．不等式x－1＞0的实数解 例3．已知是由三个元素组成的集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0，2，3均可 【方法规律】解决此类问题的通法是：根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性． 【变式探究】1.下列各组对象： ①某个班级中年龄较小的男同学；②联合国安理会常任理事国；③2024年在法国举行的巴黎奥运会的所有参赛运动员；④的所有近似值． 其中能够组成集合的是________． 3.已知－3是由x－2, 2x2＋5x,12三个元素构成的集合中的元素，求x的值． 考点二：集合间的基本关系 例1. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例2. 已知集合，，则（         ） A． B．AB C．BA D． 例3. 设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【方法规律】集合间基本关系判定的两种方法和一个关键 【变式探究】1．下列写法中，正确的有 ①；②；③；④. 2．若集合，，则A B．（用符号“”“=”或“”连接） 3．已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C． D．2 考点三：集合的基本运算 例1. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例2．已知集合，，则 . 例3．已知集合，则 ． 例4．已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N等于(　 　) A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1) C．{3，－1} D．{(3，－1)} 【变式探究】1. 若集合，，则 ． 2．已知集合，则 . 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4. 已知集合，则_________． 考点四：利用集合的运算求参数 例1．已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，C＝{x|x≥a－1}． (1)求A∩B，A∪B； (2)若C∪A＝A，求实数a的取值范围． 【变式探究】已知集合M＝{x|2x＋6＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}． (1)当m＝－4时，求M∩N，M∪N； (2)当M∩N＝M时，求实数m的值． 考点五：充分必要条件 例1．“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．已知平面，和直线m，n，若，，则“，”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例3．是四边形构成平行四边形的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【方法规律】 充分必要条件的判断方法 定义法： — ↓ — ↓若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则条件就不是结论的充分条件; 若条件能推出结论，则结论为条件的必要条件，否则结论就不是条件的必要条件; 若条件结论能互相推出，则互为充要条件. — 1．设，则“”是“”的（   ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．如果：，：，，成等比数列，那么是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．设，则“”是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 例2．用符号“∈”或“∉”填空： 0_____N；－3_____N；0.5_____Z；eq \r(2)____Z；eq \f(1,3)_____Q；π______R． 2.下列关系中，正确的有 (　　) ①eq \f(1,2)∈R；②eq \r(5)∉Q；③|－3|∈N；④|－eq \r(3)|∈Q． A．1个　　　B．2个 C．3个 D．4个 $$