3.1 探索勾股定理 （知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

3.1 探索勾股定理 【考点1：一直直角三角形的两边，求第三边长】 【考点2：求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题】 【考点3：等面积法求直接斜边上的高问题】 【考点4：作无理数的线段】 【考点5：勾股定理的证明】 知识点1：勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【考点1：一直直角三角形的两边，求第三边长】 【典例1】直角三角形两条直角边分别为4和6，则斜边长为（　　） A．6 B． C．10 D．6或 【变式1-1】直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若a＝5，c＝13，则b的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．144 【变式1-2】如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，则AB的长是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，则AC的长为（　　） A．8 B．或12 C． D．12 【考点2：求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题】 【典例2】已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则△ABC的面积为（　　） A．17.5 B．20 C． D．28 【变式2-1】如图，∠B＝∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，BC＝3，则AB的长为（　　） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式2-2】如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（　　） A．144 B．194 C．12 D．13 【变式2-3】已知直角三角形的周长为24，斜边长为10，则三角形的面积为（　　） A．12 B．24 C．36 D．48 【考点3：等面积法求直接斜边上的高问题】 【典例3】如图所示，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，AD⊥BC，那么AD的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4.8 【变式3-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（　　） A．4 B．4.4 C．4.8 D．5 【考点4：作无理数的线段】 【典例4】边长为1的正方形OABC在数轴上的位置如图所示，点B表示的数是（　　） A．1 B． C． D． 【变式4-1】如图，数轴上的点A所表示的数为x，则点A坐标为　　． 【变式4-2】（1）如图4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点，若每个小正方形边长为1单位，请在方格中作一个正方形，同时满足下列两个条件： ①所作的正方形的顶点，必须在方格上； ②所作正方形的面积为8个平方单位 （2）在数轴上表示实数（保留作图痕迹） 知识点2：勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 【考点5：勾股定理的证明】 【典例5】如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E． （1）求证：∠DAC＝∠BCE； （2）如果AC＝BC． ①求证：CD＝BE； ②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理． 【变式5-1】（1）为了证明勾股定理，李明将两个全等的直角三角形按如图1所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上，如图1，请利用此图证明勾股定理； （2）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B运动，设运动时间为t秒（t＞0），若点P在∠BAC的平分线上，求此时t的值． 【变式5-2】我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为25，每个直角三角形两直角边的和为7，求中间小正方形的边长． 【变式5-3】如图1，将长为2a+3，宽为3a﹣2的长方形ABCD分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形． （1）求图2中小正方形MNPQ的边长（用含a的代数式表示）； （2）当a＝3时，请直接写出小正方形MNPQ的面积． 一、单选题 1．在中，斜边，则（    ） A．3 B．9 C．18 D．81 2．如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则的值是（   ） A．5 B．8 C．10 D．20 3．如图， 在长方形 中，的长为2，的长为1，在数轴上，点O表示数0，以点O为圆心，对角线长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（   ） A．2.5 B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．1 B．3 C． D． 5．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（　　） A．17 B．24 C．26 D．28 6．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，则的长为（  ） A． B． C． D． 8．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，曾用几个全等的直角三角形通过拼接，巧妙利用面积关系证明了勾股定理，体现了我国古代劳动人民的伟大智慧.下面四个图形是用4个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中不能得出勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，，．分别以点A和C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点D和点E．若，则的长为（    ） A． B．5 C．10 D． 二、填空题 11．时代公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，足下留“青”！走“路比走路”少了 米． 12．如图，在中，是边上的高，已知，，．则的长为 ． 13．如图是2002年北京第24届国际数学家大会会标，它由4个全等的直角三角形拼合而成．若图中大、小正方形的面积分别为13和1，则直角三角形的较长直角边长为 ． 14．如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成图形的面积 ． 三、解答题 15．如图，纸片为长方形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在边上的E处，折痕为．已知，． (1)求的长． (2)求的长． 16．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，求的长． 17．【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1 探索勾股定理 【考点1：一直直角三角形的两边，求第三边长】 【考点2：求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题】 【考点3：等面积法求直接斜边上的高问题】 【考点4：作无理数的线段】 【考点5：勾股定理的证明】 知识点1：勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【考点1：一直直角三角形的两边，求第三边长】 【典例1】直角三角形两条直角边分别为4和6，则斜边长为（　　） A．6 B． C．10 D．6或 【答案】B 【解答】解：∵两条直角边的长分别为4和6， ∴斜边＝＝2． 故选：B． 【变式1-1】直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若a＝5，c＝13，则b的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．144 【答案】C 【解答】解：由勾股定理得：b＝＝＝12 故选：C． 【变式1-2】如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，则AB的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，则由勾股定理知： AB＝＝＝． 故选：A． 【变式1-3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，则AC的长为（　　） A．8 B．或12 C． D．12 【答案】D 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5， ∴AC＝＝＝12． 故选：D． 【考点2：求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题】 【典例2】已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则△ABC的面积为（　　） A．17.5 B．20 C． D．28 【答案】C 【解答】解；如图，过A作AD⊥BC，垂足为D． 设BD＝x，则CD＝5﹣x， ∵在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD2＝AB2+BD2＝AC2+CD2， ∴82﹣x2＝72﹣（5﹣x）2 ，∴x＝4， ∴AD＝＝＝4． ∴S△ABC＝BC•AD＝×5×4＝10． 故选：C． 【变式2-1】如图，∠B＝∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，BC＝3，则AB的长为（　　） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】A 【解答】解：∵∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12， ∴AC＝＝＝5， ∵∠B＝90°，BC＝3， ∴AB＝＝＝4， 故选：A． 【变式2-2】如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（　　） A．144 B．194 C．12 D．13 【答案】A 【解答】解：由勾股定理得：字母B所代表的正方形的面积＝169﹣25＝144． 故选：A． 【变式2-3】已知直角三角形的周长为24，斜边长为10，则三角形的面积为（　　） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【解答】解：设直角三角形两直角边长为a，b， ∵该直角三角形的周长为24，其斜边长为10， ∴24﹣（a+b）＝10， 即a+b＝14， 由勾股定理得：a2+b2＝102＝100， ∵（a+b）2＝142， ∴a2+b2+2ab＝196， 即100+2ab＝196， ∴ab＝48， ∴直角三角形的面积＝ab＝24， 故选：B． 【考点3：等面积法求直接斜边上的高问题】 【典例3】如图所示，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，AD⊥BC，那么AD的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4.8 【答案】D 【解答】解：如右图所示， 在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°， ∴BC＝＝＝10， 又∵S△ABC＝AC•AB＝BC•AD， ∴6×8＝10AD， ∴AD＝4.8． 故选：D． 【变式3-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设点C到AB的距离为h， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2+BC2＝AB2， ∵AC＝9，BC＝12， ∴AB＝＝15， ∵S△ABC＝AC•BC＝AB•h， ∴h＝＝． 故选：A． 【变式3-2】如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝2， ∵S△ABC＝3×4﹣×1×2﹣×3×2﹣×2×4＝4， ∴AC•BD＝4， ∴2BD＝4， ∴BD＝， 故选：C． 【变式3-3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（　　） A．4 B．4.4 C．4.8 D．5 【答案】C 【解答】解：过A作AE⊥BC于点E， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵AE⊥BC， ∴EB＝EC＝CB＝3， 在Rt△ABE中，AE＝＝＝4， ∴△ABC的面积为•BC•AE＝×6×4＝12， ∴•AC•BD＝12， 5×BD＝12， 解得BD＝． 故选：C． 【考点4：作无理数的线段】 【典例4】边长为1的正方形OABC在数轴上的位置如图所示，点B表示的数是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵正方形OABC的边长为1， ∴在等腰直角三角形AOB中， OB＝＝． 故选：B． 【变式4-1】如图，数轴上的点A所表示的数为x，则点A坐标为　﹣+1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图， ∵OB＝OC＝1， ∴BC＝＝， ∴AC＝BC＝，OA＝﹣1， ∴点A表示的数为﹣+1， 故答案为﹣+1． 【变式4-2】（1）如图4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点，若每个小正方形边长为1单位，请在方格中作一个正方形，同时满足下列两个条件： ①所作的正方形的顶点，必须在方格上； ②所作正方形的面积为8个平方单位 （2）在数轴上表示实数（保留作图痕迹） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求的正方形； （2）以A为圆心、AB为半径做弧交数轴于点E，点E即为所求． 知识点2：勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 【考点5：勾股定理的证明】 【典例5】如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E． （1）求证：∠DAC＝∠BCE； （2）如果AC＝BC． ①求证：CD＝BE； ②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）①证明过程见解答； ②证明过程见解答． 【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D， ∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE； （2）①∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， 由（1）知：∠DAC＝∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴CD＝BE； ②由图可知： S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB， ∴＝， 化简，得：a2+b2＝c2． 【变式5-1】（1）为了证明勾股定理，李明将两个全等的直角三角形按如图1所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上，如图1，请利用此图证明勾股定理； （2）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B运动，设运动时间为t秒（t＞0），若点P在∠BAC的平分线上，求此时t的值． 【答案】（1）a2+b2＝c2； （2）t＝． 【解答】解：（1）S梯形ADCB＝S△AEB+S△BEC+S△EDC， ＝++， a2+2ab+b2＝c2+2ab， a2+b2＝c2； （2）过A作∠BAC的角平分线交BC于点P，过P作PD⊥AB交AB于点D， ∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm， ∴AC2＝AB2﹣BC2， ∴AC＝8cm， ∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB， ∴PC＝PD， ∵S△ACP+S△ABP＝S△ABC， AC•CP+AB•PD＝AC•BC， ×8×CP+×10×CP＝×8×6， ∴CP＝， ∴P点走过的路径为AC+CP＝8+＝， ∴t＝÷4＝． 【变式5-2】我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为25，每个直角三角形两直角边的和为7，求中间小正方形的边长． 【答案】1． 【解答】解：设直角三角形的两直角边中较长边为a，较短边为b， ∴大正方形的边长为，面积为a2+b2， 由题意得：， ∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝49﹣25＝24， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝25﹣24＝1， ∴a﹣b＝1， ∴小正方形的边长为：4﹣3＝1． 【变式5-3】如图1，将长为2a+3，宽为3a﹣2的长方形ABCD分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形． （1）求图2中小正方形MNPQ的边长（用含a的代数式表示）； （2）当a＝3时，请直接写出小正方形MNPQ的面积． 【答案】（1）+4；（2）． 【解答】解：（1）∵直角三角形的较长直角边长2a+3，较短直角边长（3a﹣2）， ∴小正方形MNPQ的边长＝2a+3﹣（3a﹣2）＝+4； （2）∵当a＝3时，+4＝， ∴小正方形MNPQ的面积是×＝． 一、单选题 1．在中，斜边，则（    ） A．3 B．9 C．18 D．81 【答案】D 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的性质． 根据勾股定理即可求解． 【详解】在中，为斜边， ∴， 故选：D． 2．如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则的值是（   ） A．5 B．8 C．10 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据题意和题目中的图形，可以发现，，，再根据，以及，即可得到的值． 【详解】解：，，，，分别表示三个正方形的面积， ，， ， ， ， ， 故选：C． 3．如图， 在长方形 中，的长为2，的长为1，在数轴上，点O表示数0，以点O为圆心，对角线长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（   ） A．2.5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法，解决本题的关键是根据勾股定理求出的长． 由勾股定理求出的长，则可得出答案． 【详解】解：，， ， 这个点表示的实数是． 故选：D． 4．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面上两点间的距离，掌握距离公式是解题的关键． 【详解】解：点到原点的距离是， 故选C． 5．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（　　） A．17 B．24 C．26 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设，根据题意可推出，然后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设 根据题意可知，，，， 在中， ，即 解得： 故选：C． 6．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式、勾股定理等知识点，由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形成为解题的关键.由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，再根据题意可得、、，然后根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得，如图：甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了x步，则斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：，即， 故选A． 7．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，含角三角形的性质，勾股定理，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键． 根据垂直平分线的性质得到，，，利用含角三角形的性质得到，即可通过勾股定理求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 故选：B． 8．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，曾用几个全等的直角三角形通过拼接，巧妙利用面积关系证明了勾股定理，体现了我国古代劳动人民的伟大智慧.下面四个图形是用4个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中不能得出勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】选项A：如图， 大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得， 故选项A能得出勾股定理； 选项B：如图， 由图可得：， 整理得， 故选项B能得出勾股定理； 选项C：如图， 证明：由图可知 ，，正方形边长为， 即． 故选项C能得出勾股定理； 选项D不能得出勾股定理； 故选：D 9．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 设，则：， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选C． 10．如图，在中，，．分别以点A和C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点D和点E．若，则的长为（    ） A． B．5 C．10 D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键.也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 连接，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再由作法得垂直平分，所以， 所以， 从而得到， 然后根据含度角的直角三角形三边的关系求的长，进而求出的长． 【详解】连接， 如图 ∵， ∴， 由作法得垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选： A. 二、填空题 11．时代公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，足下留“青”！走“路比走路”少了 米． 【答案】6 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．在中，直接利用勾股定理得出的长，再利用进而得出答案． 【详解】解：在中，，， ∴， 则， 故答案为：． 12．如图，在中，是边上的高，已知，，．则的长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理，关键是利用勾股定理求得．在中，根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后在中根据勾股定理即可得到，从而求解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， 在中，，， ∵， ∴ ∵， ∴ 在中，， ∴， 故答案为：13． 13．如图是2002年北京第24届国际数学家大会会标，它由4个全等的直角三角形拼合而成．若图中大、小正方形的面积分别为13和1，则直角三角形的较长直角边长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中找到和的等量关系是解题的关键． 根据图中大、小正方形的面积可以计算大、小正方形的边长，找到两直角边相差1，两直角边平方和等于斜边的平方的等量关系，从而求解． 【详解】解：设图中直角三角形的边长分别为、， ∵图中大、小正方形的面积为13和1，则大、小正方形的边长为、， 则、满足， 解得、， 故较长的直角边为3， 故答案为3． 14．如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成图形的面积 ． 【答案】50 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，由观察理解得：，，利用全等三角形的性质得出，，，，则可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， 又， ∴， ∴，， 同理，， ∴， ∴， ∴， =50． 故答案为：50． 三、解答题 15．如图，纸片为长方形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在边上的E处，折痕为．已知，． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1)6 (2)5 【分析】本题考查折叠性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质是解答的关键． （1）根据长方形的性质和折叠性质得到，，在中，利用勾股定理求解即可； （2）设，则在中，，，，由勾股定理列方程求解x值即可． 【详解】（1）解：由题意，，，， 由折叠性质得，， 在中，， ∴； （2）解：设， 在中，，，， 由勾股定理得，则， 解得， 故． 16．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，先证明，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接．   为的垂直平分线， ． 在中，，，， ． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 解得． 的长为． 17．【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】（1），  （2）见解析  （3）见解析  （4） 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意,通过证明即可判断得解； （3）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （4）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中,则，求出后可列式计算得解. 【详解】(1)证明：由图可知， ，， 正方形边长为， ， 即． 故答案为：，； （2）证明: ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， 又, , ∴. ∴； (3)证明： 由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； (4)由题意,如图, ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为, ， 设则， 在中, ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$