课时梯级训练(17) 双曲线的简单几何性质（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(17)　双曲线的简单几何性质 1．(2023·西安高二期末检测)若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为8，渐近线方程为y＝±x，则双曲线C的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．x2－＝1 C　解析：由题可得解得所以双曲线方程为－＝1. 2．已知双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 D　解析：方程9y2－m2x2＝1(m＞0)可化为－＝1(m＞0)，则a＝，b＝， 取顶点，一条渐近线为mx－3y＝0， ∴＝，则m2＋9＝25. ∵m＞0，∴m＝4. 3．已知点A，B，C在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，若A，B两点关于原点对称，AC过右焦点F，且·＝0，3|AF|＝|CF|，则双曲线的离心率为(　　) A． B． C． D．1＋ A　解析：设双曲线的左焦点为F1，连接AF1，CF1，可知∠F1AC＝90°， 设|AF|＝m，|FC|＝3m，|AF1|＝2a＋m， |F1C|＝2a＋3m，则(2a＋m)2＋(4m)2＝(2a＋3m)2， 解得m＝a，(3a)2＋a2＝4c2，则e＝. 4．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，M是双曲线右支上一点，连接MF1交双曲线C的左支于点N，若△MNF2是以F2为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为(　　) A． B． C．2 D． B　解析：设|MF2|＝m，则|NF2|＝m，|MN|＝m，|NF1|＝m－2a，|MF1|＝m－2a＋m，因为|MF1|－|MF2|＝2a，所以－2a＋m＝2a，故m＝2a， 在△NF1F2中，由余弦定理可知4c2＝(2a－2a)2＋8a2－2(2a－2a)·2a×，整理得4c2＝12a2，即e2＝3，所以e＝. 5．(多选)(2024·桂林高二期末检测)已知双曲线E：－＝1，则(　　) A．E的一个顶点坐标为(4，0) B．E的实轴长为8 C．E的焦距为2 D．E的虚轴长为4 BD　解析：因为a2＝16，b2＝8， 所以a＝4，b＝2，c＝＝2. 因为焦点在y轴上，所以E的顶点坐标为(0，±4)，实轴长为8，虚轴长为4，焦距为4，所以B，D正确． 6．(多选)已知双曲线C上的点到点(2，0)和(－2，0)的距离之差的绝对值为2，则下列结论正确的是(　　) A．双曲线C的标准方程为x2－＝1 B．双曲线C的渐近线方程为y＝±2x C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为 D．圆x2＋y2＝4与双曲线C恰有2个公共点 AC　解析：根据双曲线的定义得c＝2，2a＝2，所以a＝1，b＝＝＝，所以双曲线C的标准方程为x2－＝1，A正确．由双曲线C的方程为x2－＝1，得双曲线C的渐近线方程为y＝±x，B错误．双曲线C的一个焦点坐标为(2，0)，则其到渐近线的距离d＝＝，C正确．圆x2＋y2＝4的圆心为原点，半径为2，而双曲线的实轴端点坐标为(±1，0)，所以圆与双曲线的公共点有4个，D错误． 7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，一个焦点为(2，0)，则a＝______. 答案：1　解析：依题意双曲线的渐近线方程为y＝x＝x，＝， 由焦点(2，0)得c＝2， 由解得 8．已知双曲线C的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为y＝±x，请写出双曲线C的一个离心率__________. 答案：(答案不唯一)　解析：当双曲线C的焦点在x轴上时，其渐近线方程为y＝±x，则＝， 所以离心率e＝＝＝＝； 当双曲线C的焦点在y轴上时，其渐近线方程为y＝±x，则＝，即＝， 所以离心率e＝＝＝＝. 综上，可得双曲线的离心率为或. 9．(2024·潍坊高二期末检测)已知双曲线C：－＝1(a>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，焦距为8，M是双曲线上的一点． (1)求C的离心率和渐近线方程； (2)若|MF1|＝5，求|MF2|. 解：(1)由题知b＝2，c＝4，∴a＝＝2， ∴双曲线C的离心率e＝2，渐近线方程为y＝±x. (2)由双曲线定义知||MF1|－|MF2||＝2a＝4， ∵|MF1|＝5，∴|MF2|＝9或|MF2|＝1. 又1<c－a＝2，故|MF2|＝1不满足题意， ∴|MF2|＝9. 10．已知双曲线C：－＝1(b>0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，P为双曲线C上一点，若|PF1|＝6，则|PF2|＝(　　) A．2 B．2 C．2或10 D．10 D　解析：双曲线C的渐近线方程为y＝±x，由题意可得＝2，则b＝4.因为a＝2，所以c＝＝2，所以F2(2，0).设点P(x，y)，其中x≥2或x≤－2，则|PF2|＝＝＝＝|x－2|， 若点P在双曲线的右支上，则x≥2，则|PF2|＝x－2≥2－2. 若点P在双曲线的左支上，则x≤－2，则|PF2|＝2－x≥2＋2. 由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝|6－|PF2||＝2a＝4，解得|PF2|＝2(舍去)或|PF2|＝10. 11．(多选)(2024·阜阳高二期末检测)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c，0)，在线段OF上存在一点M，使得M到渐近线的距离为c，则双曲线离心率的值可以为(　　) A． B．2 C． D． AB　解析：－＝1的一条渐近线方程为bx－ay＝0，设M(m，0)，0<m<c， ＝c，整理得|m|＝. 因为0<m<c，所以<c，即3c<4b＝4，解得>，因为>，2>，<，<，所以A，B正确，C，D错误． 12．(2024·西安高二期中检测)直线y＝x与双曲线－＝1(a>0)相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为－9，则离心率e＝__________. 答案：　解析：由A，B两点在直线y＝x上，设A(x0>0)， 因为A，B两点关于原点对称，所以B， 由A，B两点的横坐标之积为－9，得x0×(－x0)＝－9，解得x0＝3，所以A(3，2)， 代入双曲线方程得－＝1，所以a＝， 所以c＝＝，所以离心率为＝＝. 13．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆x2＋y2－2x＋＝0相切，则双曲线C的离心率为__________. 答案：　解析：不妨取双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x， 即bx－ay＝0， 化圆x2＋y2－2x＋＝0的方程为标准方程，得(x－1)2＋y2＝， 则圆心坐标为(1，0)，半径为. 由题意可得＝，即＝， 即b2＝2a2，即＝2.又c2＝a2＋b2， 所以双曲线的离心率为e＝＝＝. 14．(2024·驻马店高二期末检测)(1)团队在O点西侧、东侧10 km处设有A，B两站点，测量距离发现一点P满足|PA|－|PB|＝10 km，可知点P在以A，B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求P点坐标以及右焦点到渐近线的距离． (2)团队又在南侧、北侧15 km处设有C，D两站点，测量距离发现|QA|－|QB|＝16 km，|QC|－|QD|＝10 km，求|OQ|(精确到1 km)和Q点位置(精确到1°). 解：(1)设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0，x≥a)，由双曲线的定义知2a＝10，c＝10， 则b2＝c2－a2＝75，故双曲线的方程为－＝1(x≥5)， 易知OP：y＝x，联立可得－＝1，解得x＝，y＝×＝，故P.又双曲线渐近线方程为y＝±x， 右焦点(10，0)，故右焦点到渐近线的距离为＝5. (2)由|QA|－|QB|＝16知Q点在以A，B为焦点的双曲线上，设该双曲线方程为－＝1(m>0，n>0，x≥m)， 则2m＝16，m2＋n2＝102，解得n2＝36，故双曲线方程为－＝1(x≥8).由|QC|－|QD|＝10知Q点在以C，D为焦点的双曲线上，同理求得双曲线方程为－＝1(y≥5)，联立两方程得即Q，|OQ|＝＝≈13 km， tan ∠QOx＝，∠QOx≈29°，Q点位置为东偏北29°13 km处． 学科网（北京）股份有限公司 $$