第十二章 全等三角形（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版）

第十二章 全等三角形（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法中，正确的有(　　) ①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据全等形的定义，全等三角形的判定与性质，即可判断． 【详解】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，即形状和大小相同的两个图形是全等形，故①②说法错误； 全等三角形能够完全重合，所以全等三角形的周长相等，面积相等，故③说法正确； 若，的对应角为，所以，故④说法正确； 说法正确的有③④，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查全等形，理解能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题关键． 2．下列各组图形中，是全等形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查全等形，掌握能完全重合的两个图形是全等形是解题的关键． 【详解】观察发现：A，C，D选项中两个图形不能完全重合，不是全等形； B选项中两个图形能完全重合，是全等形， 故选B． 3．如图，点B在线段上，，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键熟练掌握性质的应用． 根据全等三角形的对应边相等，再利用线段和差即可求解． 【详解】∵， ∴，， ∴， 故选：C． 4．小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使，，，点、、在同一直线上，就能保证，可作为证明的依据的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 直接利用全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：，， ， 在和中， ， 证明的依据的是， 故选：． 5．如图，在和中，点，，，，，能判定的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定，先根据平行线的性质得到，加上，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断即可，掌握全等三角形的判定方法：、、、，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 、添加，不能判定； 、添加，能判定； 、添加，不能判定； 、添加，不能判定； 故选：． 6．如图，平分，于点，于点，，则图中全等三角形有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形全等的判定定理，角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方程是解题的关键． 根据全等三角形的判定分别证明，，，即可得到答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴； ∴， ∵平分， ∴， ∵于点，于点， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴． ∴图中全等三角形有3对 故选C． 7．现要在一块三角形形状的草坪上安装一个洒水龙头，要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，洒水龙头的位置应选在（    ）处 A．三角形三边的垂直平分线的交点 B．三角形的三条角平分线的交点 C．三角形的三条高所在直线的交点 D．三角形的三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】解：要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，则洒水龙头的位置应选在三角形三条角平分线的交点， 故选：B 8．如图，在中，平分，于点E，，则的长是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理．过点D作于点F，根据角平分线的性质可得，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵平分，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分，，给出下列五个结论： ①；②；③；④；⑤； 其中正确的结论共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，由角平分线的性质和平行线的性质可证，可得，由等腰三角形的性质可得，，由可证，可得，，，即可求解． 【详解】解：∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且是的角平分线， ∴，， 故②，③正确，符合题意； 在和中，， ∴， ∴，，， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， 故④正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 故⑤错误，不符合题意； 故选：A． 10．新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，证明，得出，，再根据求解即可 【详解】解：过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，则，如图， ∵，相邻两条平行线间的距离为m， ∴直线c， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴的面积 故选：A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，，则 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，邻补角的定义，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．证明得出，根据邻补角即可求解． 【详解】解：∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，四边形四边形．若，，，则的大小为 度．    【答案】105 【分析】本题考查了全等图形的性质和四边形内角和公式，解题的关键在于熟练掌握全等图形的性质． 根据全等的性质求出，利用四边形的内角和公式求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形四边形． ， ， ， ， ， 故答案为：105． 13．如图， D， E是边上的两点，， 现要直接用“”定理来证明， 请你再添加一个条件： ． 【答案】 【分析】在与中，已知，，即已知一角及角的一边对应相等，根据“”的判定方法，可以添加已知边的对角对应相等即可．本题考查了全等三角形的判定定理：：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 【详解】解：可添加一个条件：，使． 理由： 在与中， ， ． 故答案为 14．已知面积为24，将沿的方向平移到的位置，使和C重合，连接交于D，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】根据平移的性质可得，证明，得到，则，再推出，则． 【详解】解：由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，的面积为24， ∴， ∴． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了平移的基本性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，熟知平移的性质是解题的关键：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 15．如图，中，点、是与三等分线的交点，则的度数是 ． 【答案】/52度 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理． 过点N作于G，于E，于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出平分，然后根据三角形内角和等于求出再根据角的三等分求出的度数，然后利用三角形内角和定理求出的度数，从而得解． 【详解】解：如图，过点N作于G，于E，于F， ∵点、是与三等分线的交点， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴． 故答案为：． 16．如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当 秒时，与全等． 【答案】3或7或10 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是要分情况讨论．分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由即可求解． 【详解】解：，，， ，当E在线段上时，若， ， ， ， ， ； 若， ， ， （舍去）， 当E在线段AB延长线上时，若， ， ， ， 若， ， ， ， 当或7或10秒时，与全等． 故答案为：3或7或10． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．已知：如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由可得，再根据条件，可利用证明，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 18．如图，已知，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）利用证明即可； （2）由，得，进而可以判断与的位置关系． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 19．如图，已知，，为的中点，过作一条直线分别与，交于点，，点，在直线上，且． (1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来； (2)求证：． 【答案】(1)；，，， (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，找出判定三角形全等的条件是解题的关键． （1）结合已知条件，再根据全等三角形的四个判定方法，即可找出所有的全等三角形； （2）先证明，即可证明． 【详解】（1）解：有对全等三角形，分别为： ，，，， 理由如下： ，，， ， ， 即， 为的中点， ， 又， ， ，， ，，， ， ， ，， ， 即， 又， ； （2）证明：，，， ， ， 即， 为的中点， ， 又， ， ，， ，，， ， ， ，， ， 即， 又， ， ． 20．如图，B、C、E三点在同一条直线上， (1)求证： (2)若,求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线性质和全等三角形的性质和判定的应用，证得是解题的关键． （1）根据平行线求出，再说明，最后结合运用即可证明结论； （2）根据全等三角形性质得出，进而根据平角定义即可解答． 【详解】（1）证明∶ ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵ ， ∴． （2）解：∵ ， ∵， ∴， ∴ ． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，则的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)15 【分析】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键． （1）根据邻补角的定义和垂直的定义可得、，进而得到，然后根据即可解答； （2）如图：过点分别作于，与，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、平分、，最后根据角平分线的判定定理即可解答； （3）根据结合已知条件可得，最后运用三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ． （2）证明：如图：过点分别作于，与， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分． （3）解：，，， ， 即，解得， ， ． 22．问题提出： 如图1，在四边形中，与互补，与互补， ， ， ， 数学兴趣小组在探究y与x的数量关系时， 经历了如下过程： 实验操作： （1）数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示： x … 30 40 50 60 70 80 β 130 y 75 70 65 α 55 50 40 θ 这里α= ， β= ， θ= ． 猜想证明： （2）根据表格，猜想：y与x之间的关系式为 ；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法： 如图2， 延长到E， 使，连接AE， …， 请你根据其思路将证明过程补充完整，并验证 （1）中结论的正确性． 应用拓广： （3） 如图3， 若， ， 求四边形的面积． 【答案】（1）60，100，15；（2），理由见详解；（3） 【分析】（1）观察表格发现：x每增加10，y减小5，由此即可得出、、的值． （2）根据表格猜想：．延长到E， 使，连接，则可得，进而可得， ，则可得．在中，根据三角形内角和定理即可得出y于x之间的关系式． （3）延长到E， 使，连接．由（2）得，则，进而可得．由，可得，．则可得，，进而可得，可得的值，即可得的值． 【详解】（1）观察表格发现：x每增加10，y减小5， ， ， ． 故答案为：60，100，15， （2）根据表格猜想：． 证明：如图2， 延长到E， 使，连接， 则， 又， ， 又， ， ，， ， ． 在中，， ， ． （3）如图， 延长到E， 使，连接． 由（2）得， ， ， ， ， ， 解得，， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了数字类探索规律问题，以及全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握以上知识，证明出y与x之间的关系式是解题的关键． 23．（1）【问题解决】 如图①， ， 平分， 点 F在上， 的两边分别与， 交于点 D， E． 当， 时，则 与的数量关系为 ； （2）【问题探究】 如图②，在（1）的条件下，过点 F作两条相互垂直的射线，，分别交，于点 M， N， 判断 与的数量关系， 说明理由； （3）【迁移应用】 某学校有一块四边形的空地，如图③所示，，是的平分线，，，直接写出该空地的面积． 【答案】（1）；（2），理由见详解；（3） 【分析】（1）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得； （2）先根据四边形内角和等于可得，由可得，再根据证明，则可得； （3）过C点作于E点，的延长线于F点．由（2）得，则可得，，进而可得．证明，则可得，由、可求得的长，进而可得、的长，由此可得的值，即可得的值． 【详解】（1）解：∵平分， 点 F在上，且， ， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵四边形中，， ∴， ∴， 又， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：如图，过C点作于E点，的延长线于F点， 由（2）得， ，， ， ∵是的平分线， ， 又，， ， ， 又， ， ， 解得， ， ， ， 答：该空地的面积为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 【验证】（1）试说明平分，且； 【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分； 【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）补全图形见解析，或 【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． （1）先证明，得，再证，得，然后证，得，即可得出结论； （2）先证明，可得，由（1）可得平分； （3）过点分别作于，于，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：（1），，， ，， ， ，， ， ， ，，， ， ， 即， 射线平分； （2）， ， ， ， ， 由（1）可得平分； （3）补全图形如下，过点分别作于，于， 是的平分线， ，， 当时， 在和中， ， ， ； 当时， 同理得， ； ， ， 综上所述，与的数量关系为或； 25．【模型呈现】 （1）如图1，，，于点，于点． 求证：． 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点． ①求证； ②若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①见解析； 【分析】（1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，，分割法求出图形面积即可； （3）①过点作于，过点作交的延长线于，易证，，得到，，再证明，即可得出结论； ②根据全等三角形的性质，求出的长，进而利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ． （2）由模型呈现可知，，， ，，，， 则 ． （3）①过点作于，过点作交的延长线于． 图3 由【模型呈现】可知，，， ， ， ， ， 在和中， ， ． ②由①可知，，， ， ， ， ， 由①得 ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 全等三角形（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法中，正确的有(　　) ①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各组图形中，是全等形的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．如图，点B在线段上，，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 4．小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使，，，点、、在同一直线上，就能保证，可作为证明的依据的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在和中，点，，，，，能判定的是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，平分，于点，于点，，则图中全等三角形有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 7．现要在一块三角形形状的草坪上安装一个洒水龙头，要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，洒水龙头的位置应选在（    ）处 A．三角形三边的垂直平分线的交点 B．三角形的三条角平分线的交点 C．三角形的三条高所在直线的交点 D．三角形的三条中线的交点 8．如图，在中，平分，于点E，，则的长是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 9．如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分，，给出下列五个结论： ①；②；③；④；⑤； 其中正确的结论共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，，则 ． 12．如图，四边形四边形．若，，，则的大小为 度．    13．如图， D， E是边上的两点，， 现要直接用“”定理来证明， 请你再添加一个条件： ． 14．已知面积为24，将沿的方向平移到的位置，使和C重合，连接交于D，则的面积为 ． 15．如图，中，点、是与三等分线的交点，则的度数是 ． 16．如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当 秒时，与全等． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．已知：如图，．求证：． 18．如图，已知，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 19．如图，已知，，为的中点，过作一条直线分别与，交于点，，点，在直线上，且． (1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来； (2)求证：． 20．如图，B、C、E三点在同一条直线上， (1)求证： (2)若,求的度数． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，则的面积． 22．问题提出： 如图1，在四边形中，与互补，与互补， ， ， ， 数学兴趣小组在探究y与x的数量关系时， 经历了如下过程： 实验操作： （1）数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示： x … 30 40 50 60 70 80 β 130 y 75 70 65 α 55 50 40 θ 这里α= ， β= ， θ= ． 猜想证明： （2）根据表格，猜想：y与x之间的关系式为 ；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法： 如图2， 延长到E， 使，连接AE， …， 请你根据其思路将证明过程补充完整，并验证 （1）中结论的正确性． 应用拓广： （3） 如图3， 若， ， 求四边形的面积． 23．（1）【问题解决】 如图①， ， 平分， 点 F在上， 的两边分别与， 交于点 D， E． 当， 时，则 与的数量关系为 ； （2）【问题探究】 如图②，在（1）的条件下，过点 F作两条相互垂直的射线，，分别交，于点 M， N， 判断 与的数量关系， 说明理由； （3）【迁移应用】 某学校有一块四边形的空地，如图③所示，，是的平分线，，，直接写出该空地的面积． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 【验证】（1）试说明平分，且； 【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分； 【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系． 25．【模型呈现】 （1）如图1，，，于点，于点． 求证：． 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点． ①求证； ②若，，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$