第05讲 一元二次方程的解法（7大知识点+5大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（湘教版）

第05讲 一元二次方程的解法 课程标准 学习目标 一元二次方程的解法 能熟练地使用合适的方法解一元二次方程 知识点01 了解一元二次方程的有关概念 1.一元二次方程的解: 使一元二次方程左、右两边 的未知数的 叫作一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 2.解一元二次方程： 求一个一元二次方程的解的 ,叫作解一元二次方程. 【即学即练1】 若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为（　　） A． B． C．2 D．6 方法技巧：已知一元二次方程的根,求待定字母的值时，只要将根代入一元二次方程计算即可,但要保证二次项系数不为0. 知识点02 直接开方法 一般地,对于形如的一元二次方程,可以利用 的定义直接开平方求出一元二次方程的 ,这种解方程的方法叫作直接开平方法. 【即学即练1】 1．一元二次方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 【即学即练2】 2.解方程：； 规律总结：用直接开平方法解一元二次方程,要通过移项、化简等步骤,把方程整理成左边是完全平方式、右边是常数的形式. 知识点03 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 当二次项系数为1时,只要在二次项和一次项之后加上一次项系数的 的平方,再 这个数,使得含未知数的项在一个完全平方式里,这种做法叫作配方,对于二次项系数为1的一元二次方程,将方程配方、整理后就可以直接根据 的意义来求解,这种解一元二次方程的方法叫作配方法. 【即学即练1】 1.用配方法将方程变形为，则 ． 【即学即练2】 2.解方程： ． 易错提醒：配方时等号左边一次项系数的符号与配方后等号左边括号内常数前面的符号一致. 知识点04 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 对于二次项系数不是1,或者方程也不是一般形式的情况,在配方前先把原方程化成 ,再把二次项系数化为 ,然后加上 系数一半的平方,再减去这个数,使得含未知数的项在一个完全平方式里(配方),最后将配方后的一元二次方程用平方根的意义来解. 运用配方法的一般步骤： (1) 把二次项的系数化为1; (2) 把常数项移到等号的右边; (3) 等式两边同时加上一次项系数一半的平方; (4) 用直接开平方法求解. 【即学即练1】 解方程：（配方法解）． 知识点05 用公式法解一元二次方程 1. 求根公式： 对于一元二次方程，当时，它的根是，这个式子称为一元二次方程的求根公式. 2. 公式法的定义: 运用一元二次方程的 直接求一元二次方程的根的方法叫作公式法. 3. 用公式法解一元二次方程的步骤: （1） 将一元二次方程化为 ； （2） 确定a,b,c的值； （3） 判断是否 ; （4） 当成立时，用 计算根. 【即学即练1】 1.用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点06 用因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程将一元二次方程分解因式化为两个 的乘积等于0的形式,再使这两个一次因式分别 0,从而求出方程的解,这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 2.因式分解的方法 （1）提取公因式; （2）平方差公式：; （3）完全平方公式:. 【即学即练1】 解方程 (1)； (2)． 易错提醒：1.解方程时不能直接把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子.若方程两边都同时除以一个含有未知数的式子,可能使方程漏根. 2.形如的方程的解法 形如的方程可以化为(x+a)(x+b)=0,所以方程的两个根为. 知识点07 一元二次方程解法的选择 1.基本思路:将一元二次方程转化为两个一元一次方程,即 ; 2.基本方法: ; 3.注意:解一元二次方程要根据方程的特点灵活选择解法. 【即学即练1】 用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型01 直接开平方法解一元二次方程 【典例1】，是一元二次方程的两个解，且，下列说法正确的是（   ） A．小于，大于3 B．小于，大于3 C．，在-1和3之间 D．，都小于3 【典例2】解一元二次方程：； 【变式1】下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】解一元二次方程：； 题型02 配方法解一元二次方程 【典例1】把方程化成的形式，则的值是（　　） A．9 B．13 C． D． 【典例2】配方法解一元二次方程：． 【变式1】用配方法解下列方程，其中应在方程左、右两边同时加上的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程的一个根是1，求a的值； (2)在（1）的条件下，用配方法解该方程． 题型03 配方法的应用 【典例1】已知方程●，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（　　） A．2 B． C．4 D． 【变式1】已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（    ） A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75 【变式2】已知，（x为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 题型04 公式法解一元二次方程 【典例1】在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【典例2】解下列方程： ． 【变式1】利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】解一元二次方程： ． 题型05 因式分解法解一元二次方程 【典例1】在数、、和中，是方程的根的为（    ） A． B． C． D． 【典例2】解方程： 【变式1】等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【变式2】解方程： ． 1．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 2．用配方法解关于x的方程时，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 3．方程的两个根的和是（    ） A． B．0 C．2 D．4 4．把方程 化成 的形式，则 m、n的值是：（   ） A．4， B．4，15 C．， D．，15 5．已知关于的方程的两个实数根分别为2和，则二次三项式可以因式分解为（   ） A． B． C． D． 6．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁 7．对于实数，，定义运算“※”：※，如※．若※，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 8．已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ） A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号 9．若等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则等腰三角形的周长为（ ） A．9 B．10 C．12 D．9或12 10． 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ． ∵无论x取何实数，总有，∴． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，则二次三项式的最值情况是（ ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值1 D．有最小值1 11．关于y的方程的解是 ． 12．用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是 ． 13．已知a，b为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则 ． 14．若定义，那么满足的x值为 ． 15．已知x为实数，若，则 ． 16．规定运算，即，若则 ． 17．的三边分别为、、，若，，按边分类，则是 三角形 18．已知,,若的值为2014,则n的值为 . 19．用适当的方法解方程 (1) (2) (3) (4) 20．用合适的方法解方程： (1)； (2)． 21．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：，所以的最小值为，此时． (1)尝试：，因此当 时，代数式有最小值，最小值是 ； ，所以当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值． (2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 22．综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 23．阅读材料：我们都知道． 于是， ． 又因为，所以，，，． 所以，有最大值． 如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米． (1)请用含x的代数式表示的长 （直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程） (3)求出山羊活动范围面积S的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一元二次方程的解法 课程标准 学习目标 一元二次方程的解法 能熟练地使用合适的方法解一元二次方程 知识点01 了解一元二次方程的有关概念 1.一元二次方程的解: 使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 2.解一元二次方程： 求一个一元二次方程的解的过程,叫作解一元二次方程. 【即学即练1】 若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为（　　） A． B． C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键． 把代入一元二次方程中即可解得的值． 【详解】解：把代入一元二次方程中得：， 解得：． 故选：A． 方法技巧：已知一元二次方程的根,求待定字母的值时，只要将根代入一元二次方程计算即可,但要保证二次项系数不为0. 知识点02 直接开方法 一般地,对于形如的一元二次方程,可以利用平方根的定义直接开平方求出一元二次方程的根,这种解方程的方法叫作直接开平方法. 【即学即练1】 1．一元二次方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用直接开平方法求解一元二次方程是解题的关键． 用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴，， 故选：C． 【即学即练2】 2.解方程：； 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： 先把常数项移到方程右边，再利用开平方的方法解方程即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； 规律总结：用直接开平方法解一元二次方程,要通过移项、化简等步骤,把方程整理成左边是完全平方式、右边是常数的形式. 知识点03 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 当二次项系数为1时,只要在二次项和一次项之后加上一次项系数的一半的平方,再减去这个数,使得含未知数的项在一个完全平方式里,这种做法叫作配方,对于二次项系数为1的一元二次方程,将方程配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解,这种解一元二次方程的方法叫作配方法. 【即学即练1】 1.用配方法将方程变形为，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的求解步骤求解即可． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即，故， 故答案为：3． 【即学即练2】 2.解方程： ． 【答案】 ， 【分析】本题考查一元二次方程的解法．用配方法求解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：，． 易错提醒：配方时等号左边一次项系数的符号与配方后等号左边括号内常数前面的符号一致. 知识点04 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 对于二次项系数不是1,或者方程也不是一般形式的情况,在配方前先把原方程化成一般形式,再把二次项系数化为1,然后加上一次项系数一半的平方,再减去这个数,使得含未知数的项在一个完全平方式里(配方),最后将配方后的一元二次方程用平方根的意义来解. 运用配方法的一般步骤： (1) 把二次项的系数化为1; (2) 把常数项移到等号的右边; (3) 等式两边同时加上一次项系数一半的平方; (4) 用直接开平方法求解. 【即学即练1】 解方程：（配方法解）． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 先变形为，然后利用配方法解方程． 【详解】解： ， ， ， ， 解得，． 知识点05 用公式法解一元二次方程 1. 求根公式： 对于一元二次方程，当时，它的根是，这个式子称为一元二次方程的求根公式. 2. 公式法的定义: 运用一元二次方程的求根公式直接求一元二次方程的根的方法叫作公式法. 3. 用公式法解一元二次方程的步骤: （1） 将一元二次方程化为一般形式； （2） 确定a,b,c的值； （3） 判断是否成立; （4） 当成立时，用求根公式计算根. 【即学即练1】 1.用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 (4) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键． （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （4）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵ ∴， ∴， ∴原方程无解． （4）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 规律总结：用公式法解一元二次方程时,要注意两点:(1)一定要先把方程化为一般形式,再确定a,b,c的值;(2)是求根公式成立的前提条件。 知识点06 用因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程将一元二次方程分解因式化为两个一次因式的乘积等于0的形式,再使这两个一次因式分别等于0,从而求出方程的解,这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 2.因式分解的方法 （1）提取公因式; （2）平方差公式：; （3）完全平方公式:. 【即学即练1】 解方程 (1)； (2)． 【答案】 (1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开方法，配方法，公式法，因式分解法是解题的关键． （1）用因式分解法解方程即可； （2）方程整理后，用因式分解法解方程即可． 【详解】 （1）解： 或 ； （2）解： 或 ． 易错提醒：1.解方程时不能直接把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子.若方程两边都同时除以一个含有未知数的式子,可能使方程漏根. 2.形如的方程的解法 形如的方程可以化为(x+a)(x+b)=0,所以方程的两个根为. 知识点07 一元二次方程解法的选择 1.基本思路:将一元二次方程转化为两个一元一次方程,即降次; 2.基本方法:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法; 3.注意:解一元二次方程要根据方程的特点灵活选择解法. 【即学即练1】 用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查一元二次方程的解法，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用因式分解的方法解方程即可； （4）利用配方法解方程即可； 【详解】（1）解：， 化简得， 解得：； （2）解：， 化简得， 配方得， 解得：； （3）解： 移项得， 化简得， 故或， 解得：； （4）解： 配方得， 即， 故或， 解得：． 题型01 直接开平方法解一元二次方程 【典例1】，是一元二次方程的两个解，且，下列说法正确的是（   ） A．小于，大于3 B．小于，大于3 C．，在-1和3之间 D．，都小于3 【答案】A 【分析】此题主要考查了直接开平方法解方程以及估计无理数的大小，求出两根是解题关键．利用直接开平方法解方程得出两根进而估计无理数的大小得出答案． 【详解】解：、是一元二次方程的两个解，且， ， ，， 故选：A 【典例2】解一元二次方程：； 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，其中涉及直接开方法，掌握相关知识是解题关键． （利用直接开平方法即可求解； 【详解】解：， ∴， 即：或， ∴，． 【变式1】下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】解一元二次方程：； 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．利用直接开平方法解一元二次方程即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得：，； 题型02 配方法解一元二次方程 【典例1】把方程化成的形式，则的值是（　　） A．9 B．13 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程、代数式求值，先利用配方法求得，，再代入求解即可． 【详解】解：， 移项得，， 配方得，， 得，， ∴，， ∴， 故选：B． 【典例2】配方法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 两边同除以，得， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， ∴，或， ∴，． 【变式1】用配方法解下列方程，其中应在方程左、右两边同时加上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法的解题步骤变形后即可得到答案． 【详解】解：、∵， ∴，故本选项错误； 、∵， ∴，故本选项正确； 、∵， ∴，故本选项错误； 、∵， ∴，故本选项错误； 故选：． 【变式2】已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程的一个根是1，求a的值； (2)在（1）的条件下，用配方法解该方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解和配方法解一元二次方程； （1）把代入方程得出关于的方程，再求解即可； （2）把（1）问中求的值代入方程，再求解即可． 【详解】（1）解：将代入原方程得． 整理得． 解得． ∵， ∴． 所以的值为． （2）将代入方程得． 即． 配方得． 开方得． 所以方程的解为，． 题型03 配方法的应用 【典例1】已知方程●，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法，利用完全平方公式进行计算，能求出是解此题的关键．设印刷不清的数字是a，根据完全平方公式展开得出，求出，再根据题意得出，，最后求出答案即可． 【详解】解：设印刷不清的数字是a， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程●，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成的形式， ∴，， ∴，， 即印刷不清的数字是2， 故选：A． 【变式1】已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（    ） A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75 【答案】A 【分析】本题考查了代数式及配方法，不等式及偶次方的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．先将代入原式，可整理得，再代入到，配方得，进而求解即可． 【详解】∵当时，该多项式的值为， ∴， 整理得，即 ∵， ∴，即， ∴， ∴， 四个选项中，只有A符合， 故选：A． 【变式2】已知，（x为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将变形为，再结合非负性判断即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 题型04 公式法解一元二次方程 【典例1】在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 【典例2】解下列方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： 利用公式法解方程即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【变式1】利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ∴， ， ， ∵一元二次方程式的两解为、，且， ∴的值为． 故选：A． 【变式2】解一元二次方程： ． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，其中涉及公式法等知识，掌握相关知识是解题关键． 方程变形为，根据公式法即可求解． 【详解】解：，即：， ∵，，， ∴， ， ， 则：，． 题型05 因式分解法解一元二次方程 【典例1】在数、、和中，是方程的根的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解及其解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．根据一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】解：， ， 或， 故选：B． 【典例2】解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或 解得：． 【变式1】等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 【变式2】解方程： ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 1．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查配方法的掌握，关键在于一次项的系数等于2倍的二次项系数和常数项的乘积，根据配方法的原理，凑成完全平方式即可． 【详解】解：， 配方得：， ∴， 故选：A． 2．用配方法解关于x的方程时，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，根据一元二次方程的解法--配方法的过程，移项、配方(等式左右两边加上一次项系数一半的平方)、再结合完全平方公式将式子合并起来，即可解题． 【详解】解： ． 故选：B． 3．方程的两个根的和是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了因式分解法解方程，解方程求出两个根，可得结论．正确分解因式是解题关键． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，， ∴， 故选：C． 4．把方程 化成 的形式，则 m、n的值是：（   ） A．4， B．4，15 C．， D．，15 【答案】D 【分析】把方程的常数项1移项后，左边配成完全平方式，右边化为常数．本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 【详解】解：， ， 故选：D． 5．已知关于的方程的两个实数根分别为2和，则二次三项式可以因式分解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，运用因式分解法反向求方程的分解式． 根据方程的两根，将其配成两个相乘的式子，即是原方程的分解式．即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程的两个根为． ∴原方程为：． ∴二次三项式可分解为． 故选：A． 6．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程判断作答即可． 【详解】解：由题意知，甲中， 丙中， ∴甲和丙出现了错误， 故选：B． 7．对于实数，，定义运算“※”：※，如※．若※，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据新定义算法，得到，即可求解， 本题考查了，新定义运算，解一元二次方程，解题的关键是：理解新定义运算法则． 【详解】解：※， 即：，解得：或， 故选：． 8．已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ） A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号 【答案】D 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，由移项得，再两边同时除以，可得，再根据偶次幂的非负性可得异号，解题的关键是把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解． 【详解】解：， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴为异号， 故选：． 9．若等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则等腰三角形的周长为（ ） A．9 B．10 C．12 D．9或12 【答案】C 【分析】先利用分解因式法求出方程的两根，然后分两种情况并结合三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：方程x2－7x+10=0可变形为， ∴x－2=0或x－5=0， ∴， 由题意得：等腰三角形的两条边长分别是2和5， 若这个等腰三角形的三边长分别是2、5、5，则其周长=2+5+5=12； 若这个等腰三角形的三边长分别是2、2、5，由于2+2＜5，此时不能构成三角形； 所以这个等腰三角形的周长是12． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的定义和三角形的三边关系，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 10． 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ． ∵无论x取何实数，总有，∴． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，则二次三项式的最值情况是（ ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值1 D．有最小值1 【答案】C 【分析】把化为，再利用非负数的性质可得答案． 【详解】解： ； ∵， ∴，即代数式有最大值为1． 故选C 【点睛】本题考查的是利用配方法求解代数式的最值，熟记配方法的步骤是解本题的关键． 11．关于y的方程的解是 ． 【答案】，， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握求解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 12．用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的配方法，把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断． 【详解】 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故答案为：． 13．已知a，b为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，先求出方程的解，进而可求出的值，据此可解决问题．熟知因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：由方程得， ，． 因为方程的两个根与方程的两个根相同， 则将代入得， ， 解方程得， ，， 所以． 故答案为：． 14．若定义，那么满足的x值为 ． 【答案】或3 【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，根据新运算的法则，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：或3． 15．已知x为实数，若，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，设，则原方程转化为关于y的一元二次方程，然后利用因式分解法解该方程求得y的值即可． 【详解】解：设，则， 整理，得． 所以或． 解得或． 当时，，此时该方程无解，故舍去． 综上所述，． 故答案为：1． 16．规定运算，即，若则 ． 【答案】0或2 【分析】本题主要考查了新运算、解一元二次方程等知识点，根据新运算法则将写成一元二次方程是解题的关键． 先根据新运算法则将写成一元二次方程，然后解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ， 或 所以． 故答案为：0或2． 17．的三边分别为、、，若，，按边分类，则是 三角形 【答案】等腰 【分析】将，代入中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a与c的值，进而求出b的值，即可确定出三角形形状． 【详解】解：∵ ∴ ， ∴， ∴， 即， 整理得：， ∵，， ∴，即；，即， ∴， 则△ABC为等腰三角形． 故答案是：等腰． 【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 18．已知,,若的值为2014,则n的值为 . 【答案】8或 【分析】首先把变形为,再根据值为2014可得,再利用直接开平方法解方程即可. 【详解】解：, , , , , . , ,, 解得：,, 故答案为8或. 【点睛】此题主要运用直接开平方法解一元二次方程,以及求代数式的值,关键是正确利用完全平方公式把变形. 19．用适当的方法解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解；∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解： 整理得， ∴， ∴， ∴， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 20．用合适的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用方法：配方法，公式法，因式分解法，直接开平方法． （1）整理后用配方法解答即可； （2）整理后用公式法解答即可； 【详解】（1）解： 移项得， 配方得， ∴． （2）， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴，． 21．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：，所以的最小值为，此时． (1)尝试：，因此当 时，代数式有最小值，最小值是 ； ，所以当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值． (2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)；，大； (2)当为米，为米时，面积最大为平方米． 【分析】（）根据配方后的结果即可求解；根据配方后的结果即可求解； （）设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，列式表示出矩形的面积，再利用配方法解答即可求解； 本题考查了利用配方法求代数式的最值，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：，； ∵， ∴当时，代数式有最大值， 故答案为：，大； （2）解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 根据题意得，， 当时，有最大值，最大值为， ∴围成的矩形花圃垂直于墙的栅栏长时，能使花圃面积最大，最大面积是． 22．综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（），；（），理由见解析；（），理由见解析． 【分析】（）利用作差法即可求解； （）利用作差再结合配方法法即可求解； （）利用作差即可求解； 本题考查了整式和实数的大小比较，掌握作差法是解题的关键． 【详解】（）∵， ∴， 故答案为：； ∵， ∴， 故答案为：； （）． 理由如下： ， ∵， ∴， ∴； （），理由如下： ∵，， ∴， ∴． 23．阅读材料：我们都知道． 于是， ． 又因为，所以，，，． 所以，有最大值． 如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米． (1)请用含x的代数式表示的长 （直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程） (3)求出山羊活动范围面积S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)山羊活动范围面积S的最大值是平方米 【分析】此题考查了配方法的应用、列代数式等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据得到，整理即可得到答案； （2）根据列出代数式即可； （3）先得到 ，再根据题中的方法即可得到答案． 【详解】（1）依题意得 ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）依题意得：， ∴， ∴； （3） 又因为，， ∴， ∴， 所以，山羊活动范围面积S的最大值是平方米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 $$