专题19 与圆有关的位置关系-【好题汇编】2024年中考数学真题分类汇编（四川专用）

专题19 与圆有关的位置关系 考点1 与切线的判定有关的证明计算 1．（2024·四川巴中·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是⊙O的切线． (2)求证：． (3)若，，求的长． 2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是⊙O的切线； (2)若，求证：； (3)若于D，，，求的长． 3．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知是⊙O的直径，是⊙O的弦，点在⊙O外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，． (1)求证：是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为6，点为线段的中点，，求的长． 4．（2024·四川凉山·中考真题）如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，平分交⊙O于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：是⊙O的切线； (2)连接并延长，分别交⊙O于两点，交于点，若⊙O的半径为，求的值． 5．（2024·四川内江·中考真题）如图，是⊙O的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．    (1)求证：； (2)求证：是⊙O的切线； (3)若，，求阴影部分的面积． 6．（2024·四川·中考真题）如图，为⊙O的弦，C为的中点，过点C作，交的延长线于点D．连接．    (1)求证：是⊙O的切线； (2)若，求△OCD的面积． 7．（2024·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，，，⊙O经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E． (1)求证：为⊙O的切线； (2)若，，求⊙O的半径． 8．（2024·四川广安·中考真题）如图，点在以为直径的⊙O上，点在的延长线上，． (1)求证：是⊙O的切线； (2)点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长． 9．（2024·四川南充·中考真题）如图，在⊙O中，是直径，是弦，点F是上一点，，交于点C，点D为延长线上一点，且． (1)求证：是⊙O的切线． (2)若，求⊙O的半径长． 10．（2024·四川达州·中考真题）如图，是⊙O的直径．四边形内接于⊙O．连接，且，以为边作交的延长线于点． (1)求证：是⊙O的切线； (2)过点作交于点．若，求的值． 11．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，是⊙O的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接． ①求证：是⊙O的切线； ②若，，求⊙O的半径． 12．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，，过点A作，交⊙O的直径的延长线于点E，连接． (1)求证：是⊙O的切线； (2)若，求和的长． 13．（2024·四川自贡·中考真题）在中，，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则⊙O半径长为________； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N． 求证：是⊙O的切线． 14．（2024·四川眉山·中考真题）如图，是⊙O的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交⊙O于点，连结． (1)求证：是⊙O的切线； (2)当时，求的长． 考点2 与切线的性质相关的证明计算 15．（2024·四川泸州·中考真题）如图，，是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若，则（    ） A． B． C． D． 16．（2024·四川资阳·中考真题）如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为________． 17．（2024·四川凉山·中考真题）如图，⊙M的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作⊙M的切线，切点为，则的最小值为_________ 18．（2024·四川内江·中考真题）如图，在△ABC中，，，是边上一点，且，点是△ABC的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为_________．    19．（2024·四川巴中·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是__________． 20．（2024·四川乐山·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，为直径，过点C作⊙O的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 21．（2024·四川泸州·中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线与的延长线交于点D，点E在⊙O上，，交于点F． (1)求证：； (2)过点C作于点G，若，，求的长． 22．（2024·四川德阳·中考真题）已知⊙O的半径为5，是⊙O上两定点，点是⊙O上一动点，且的平分线交⊙O于点． (1)证明：点为上一定点； (2)过点作的平行线交的延长线于点． ①判断与⊙O的位置关系，并说明理由； ②若△ABC为锐角三角形，求的取值范围． ( 14 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 与圆有关的位置关系 考点1 与切线的判定有关的证明计算 1．（2024·四川巴中·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是⊙O的切线． (2)求证：． (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）如图，连接，证明，结合，可得，从而可得结论； （2）证明，，结合，，再进一步可得结论； （3）如图，连接，证明，再证明，可得，结合，从而可得答案； 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴，且OD是⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线； （2）证明：∵点为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∵四边形为⊙O的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∴，经检验，符合题意； 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定，相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是⊙O的切线； (2)若，求证：； (3)若于D，，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【分析】（1）首先由直径得到，然后利用等边对等角得到，等量代换得到，进而证明即可； （2）利用得到，求出，然后利用直角三角形两锐角互余得到，进而求解即可； （3）设，证明出，得到，然后表示出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，连接， ∵是⊙O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是⊙O的切线； （2）证明：∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设， 在中，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即，整理得， 解得，（舍去）， 故． 【点睛】此题考查了直径的性质，切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知是⊙O的直径，是⊙O的弦，点在⊙O外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，． (1)求证：是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为6，点为线段的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角和对顶角相等可推出，，结合和三角形内角和，从而推出，得证； （2）由（1）可知，可证，推出，再由勾股定理可得，利用点为线段的中点，可得，从而得到，从而得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， 是⊙O的切线； （2）解：如（1）图，， 又，， ， ， 的半径为6，， ， ，即， 又点为线段的中点， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 4．（2024·四川凉山·中考真题）如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，平分交⊙O于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：是⊙O的切线； (2)连接并延长，分别交⊙O于两点，交于点，若⊙O的半径为，求的值． 【答案】(1)见详解；(2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质及角平分线得到，根据平行线的性质得，即可证明； （2）连接，先解，求得，，则，，可证明，由，得，故，证明，即可得到． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 即， ∵是⊙O的半径 ∴是⊙O的切线； （2）解：连接， ∵， ∴在中，， 由勾股定理得： ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 5．（2024·四川内江·中考真题）如图，是⊙O的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．    (1)求证：； (2)求证：是⊙O的切线； (3)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【分析】+（1）分别证明，，从而可得结论； （2）连接，证明，可得，再进一步可得结论； （3）连接、，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案. 【详解】（1）证明：∵是⊙O的直径 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是⊙O的半径， ∴是的切线； （3）解：连接、    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是半径，是的中点， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定及扇形的面积公式，熟练地掌握相似三角形的判定和切线的判定是解决本题的关键。 6．（2024·四川·中考真题）如图，为⊙O的弦，C为的中点，过点C作，交的延长线于点D．连接．    (1)求证：是⊙O的切线； (2)若，求△OCD的面积． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、垂径定理的推论等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）由垂径定理的推论可知，据此即可求证； （2）利用勾股定理求出即可求解； 【详解】（1）证明：∵为⊙O的弦，C为的中点， 由垂径定理的推论可知：， ∵， ∴， ∵为⊙O的半径， ∴是⊙O的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 7．（2024·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，，，⊙O经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E． (1)求证：为⊙O的切线； (2)若，，求⊙O的半径． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，再根据，可得，问题得证； （2）过点C作于点H，根据等腰直角三角形的性质有，结合，可得，即，利用勾股定理可得．在中，根据，设半径为r，即有，问题得解． 【详解】（1）证明：连接． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为⊙O的切线． （2）过点C作于点H， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在中，∵， 设半径为r，∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正切，勾股定理等知识以及等腰三角形的性质等知识，问题难度不大，正确作出合理的辅助线，是解答本题的关键． 8．（2024·四川广安·中考真题）如图，点在以为直径的⊙O上，点在的延长线上，． (1)求证：是⊙O的切线； (2)点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)14 【分析】（1）连接，由圆周角定理求得，再利用等角的余角相等求得，据此即可证明是⊙O的切线； （2）利用三角函数的定义求得，在中，利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， 而是的直径， ， ， ， 是的切线； （2）解：设， ， ， ， ， 在中，， ， ， 又， ， ， 设， ，， ， ，则， 解得： 经检验是所列方程的解， ． 【点睛】本题考查了切线的判定与相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理．正确证明是解决本题的关键． 9．（2024·四川南充·中考真题）如图，在⊙O中，是直径，是弦，点F是上一点，，交于点C，点D为延长线上一点，且． (1)求证：是⊙O的切线． (2)若，求⊙O的半径长． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）圆周角定理推出，根据，结合三角形的内角和定理，推出，即即可得证； （2）连接，易得，直径得到在中，勾股定理求出的长，三角函数求出的长即可． 【详解】（1）证明： ．               ， ．                                即 ． 又∵为半径，                               是⊙O的切线． （2）解：连接． ∴．         是直径， ．                   在中，．          ．             又是直径 的半径长为．                   10．（2024·四川达州·中考真题）如图，是⊙O的直径．四边形内接于⊙O．连接，且，以为边作交的延长线于点． (1)求证：是⊙O的切线； (2)过点作交于点．若，求的值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）如图所示，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，导角可证明，进而得到，据此即可证明是⊙O的切线； （2）延长交于H，延长交于G，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，证明，得到，接着证明，得到，进一步证明，得到，设，则，，进而得到，则，由勾股定理得到，，则，进一步可得． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是⊙O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是⊙O的半径， ∴是⊙O的切线； （2）解：如图所示，延长交于H，延长交于G，连接， ∵是⊙O的直径， ∴，即， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，求角的余弦值，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 11．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，是⊙O的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接． ①求证：是⊙O的切线； ②若，，求⊙O的半径． 【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析，②⊙O的半径为． 【分析】（1）如图，连接，证明，可得，证明，可得，进一步可得结论； （2）①证明，可得是的垂直平分线，可得，，，而，可得，进一步可得结论；②证明，可得，求解，，结合，可得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，为⊙O的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：①∵为⊙O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，， 而， ∴， ∴， ∴， ∵为⊙O的直径， ∴是⊙O的切线； ②∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，弧与圆心角之间的关系，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键． 12．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，，过点A作，交⊙O的直径的延长线于点E，连接． (1)求证：是⊙O的切线； (2)若，求和的长． 【答案】(1)见解析；(2)，． 【分析】（1）延长交于点F，连接，根据等边对等角可得，，，，继而可得是的角平分线，根据等边三角形“三线合一”的性质可得，由平行线的性质可得，继而根据切线判定定理即可求证结论； （2）连接，先求得，利用圆周角定理结合勾股定理求得直径的长，利用垂径定理结合勾股定理得到，代入数据计算求得，利用勾股定理可求得的长，证明，利用相似三角形的性质计算即可求得． 【详解】（1）证明：延长交于点F，连接， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即是的角平分线， ∵， ∴，且平分线段， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是⊙O的切线； （2）解：连接， ∵是⊙O的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， 设， ∴， ∴， 解得，即， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵是⊙O的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 13．（2024·四川自贡·中考真题）在中，，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则⊙O半径长为________； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N． 求证：是⊙O的切线． 【答案】(1)；；1；(2)见解析 【分析】（1）根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案； （2）证明，推出，，，求得，，根据，列式求得，根据切线的判定定理，即可得到是的切线． 【详解】（1）解：连接，设⊙O半径为， ∵⊙O是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴，，； 在四边形中，， 四边形为矩形， 又因为， 四边形为正方形． 则，则，， 在中，由勾股定理得， ∴，即，解得， 故答案为：；；1； （2）证明：连接，，，作于点， 设⊙O半径为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵⊙O是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴是⊙O的切线． 【点睛】本题考查切线的判定，切线长定理，全等三角形的判定和性质，三角形的内切圆及勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 14．（2024·四川眉山·中考真题）如图，是⊙O的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交⊙O于点，连结． (1)求证：是⊙O的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， 是⊙O的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是⊙O的半径， 是⊙O的切线； （2）解：，， ， ， ， ， ， 连接， 平分， ∴∠BAD=∠EAD， ， ， 是⊙O的直径， ， ． 考点2 与切线的性质相关的证明计算 15．（2024·四川泸州·中考真题）如图，，是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键． 根据圆的内接四边形的性质得，由得，由切线长定理得，即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是⊙O的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵，是⊙O的切线，根据切线长定理得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 16．（2024·四川资阳·中考真题）如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积． 设弓形，连接，，由题意知，即为等边三角形，，即可得出阴影部分面积为，代入数值即可求出结果． 【详解】解：∵以点为圆心，长为半径作弧交于点，，， ∴， ∴以为直径作半圆时，圆心为点， 设弓形，连接，，即，如图： ∴为等边三角形， ∴， 故阴影部分面积为， 代入数值可得， 故答案为． 17．（2024·四川凉山·中考真题）如图，⊙M的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作⊙M的切线，切点为，则的最小值为_________ 【答案】 【分析】记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，则当最小时，最小，点P与点K重合，此时最小值为，由勾股定理求得的最小值，从而求得结果． 【详解】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接， 当，，当，即， 解得：， 即； 而， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与⊙M相切， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时即最小， ∴当时，取得最小值， 即点P与点K重合，此时最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键． 18．（2024·四川内江·中考真题）如图，在△ABC中，，，是边上一点，且，点是△ABC的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为_________．    【答案】 【分析】在取点F，使，连接，，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出，利用证明，得出，则，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可． 【详解】解：在取点F，使，连接，，过点F作于H，    ∵I是△ABC的内心， ∴平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当C、P、F三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含的直角三角形是解题的关键． 19．（2024·四川巴中·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是__________． 【答案】60° 【分析】根据菱形的性质得到∠AOC＝∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADC＝∠AOC，根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＋∠ABC＝180°，计算即可． 【详解】解：∵四边形OABC为菱形， ∴∠AOC＝∠ABC， 由圆周角定理得：∠ADC＝∠AOC， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°， ∴∠ADC＋2∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 20．（2024·四川乐山·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，为直径，过点C作⊙O的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）如图1，连接．则，即．由为直径，可得，即．则．由，可得．由，可得．则．进而可证． （2）如图2，连接．由垂直平分，可得．则为等边三角形．，．由，可得．由，可得．．证明为等边三角形．则，．．则．．．．，再根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接．  图1 ∵为⊙O的切线， ∴，即． 又∵为直径， ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图2，连接．  图2 ∵垂直平分， ∴． 又∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积等知识．熟练掌握相关图形的性质定理、正确添加辅助线是解题的关键． 21．（2024·四川泸州·中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线与的延长线交于点D，点E在⊙O上，，交于点F． (1)求证：； (2)过点C作于点G，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到，则，由切线的性质推出∠ABC=∠CBD=90°，则，再由同弧所对的圆周角相等和等边对等角得到，，据此即可证明； （2）由勾股定理得，利用等面积法求出，则，同理可得，则，进而得到；如图所示，过点C作于H，则，证明，求出，则；设，则，证明，推出，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是⊙O的直径， ∴， ∴， ∴； ∵是⊙O的切线， ∴∠ABD=90°， ∴∠ABC=∠CBD=90°， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴； 如图所示，过点C作于H，则， 由（1）可得， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． 22．（2024·四川德阳·中考真题）已知⊙O的半径为5，是⊙O上两定点，点是⊙O上一动点，且的平分线交⊙O于点． (1)证明：点为上一定点； (2)过点作的平行线交的延长线于点． ①判断与⊙O的位置关系，并说明理由； ②若△ABC为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)①与⊙O相切，理由见解析；②的取值范围为． 【分析】（1）由的平分线交⊙O于点，，可得，结合是⊙O上两定点，可得结论； （2）①如图，连接，证明，结合，可得，从而可得结论； ②分情况讨论：如图，当时，可得；如图，连接，当，可得，从而可得答案． 【详解】（1）证明：∵的平分线交⊙O于点，， ∴， ∴， ∵是上两定点， ∴点为的中点，是一定点； （2）解：①如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴是⊙O的切线； ②如图，当时， ∴为直径，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴； 如图，连接，当， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当为锐角三角形，的取值范围为． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，做出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键． ( 36 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$