课时梯级训练(18) 基本初等函数的导数（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(18)　基本初等函数的导数 1．若函数y＝10x，则y′|x＝1＝(　　) A． B．10 C．10ln 10 D． C　解析：∵y′＝10x ln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10.故选C. 2．已知函数f(x)＝x5的导函数为y＝f′(x)，则f′(－1)＝(　　) A．－1 B．1 C．5 D．－5 C　解析：∵f′(x)＝5x4，∴f′(－1)＝5.故选C. 3．设函数f(x)＝x2，f′(x0)＝2，则x0＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　解析：因为f′(x)＝2x，所以f′(x0)＝2x0＝2， 解得x0＝1.故选B. 4．(多选)下列求导正确的是(　　) A．(x8)′＝8x7 B．(4x)′＝4x ln 4 C．(sin (x＋))′＝sin x D．(e2)′＝2e AB　解析：C项中，sin (x＋)＝cos x， (cos x)′＝－sin x；D项中，(e2)′＝0. 5．已知f(x)＝2x，则f′()＝________． 答案：eln 2　解析：因为f(x)＝2x，所以f′(x)＝2x ln 2，所以f′()＝f′(log2e)＝2log2eln 2＝eln 2. 6．若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过原点，则α＝________． 答案：2　解析：y′＝αxα－1，所以y′|x＝1＝α，所以切线方程为y－2＝α(x－1)，即y＝αx－α＋2，该直线过原点(0，0)，所以α＝2. 7．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x．若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝______． 答案：1　解析：因为f′(x)＝0，g′(x)＝，所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1，解得x＝1或x＝－.因为x＞0，所以x＝1. 8．已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？请说明理由． 解：不存在．理由如下：由于y1＝sin x，y2＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P(x0, y0)，∴两条曲线在点P(x0, y0)处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0. 若使两条切线互相垂直，则cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1， 也就是sin 2x0＝2，但这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 9．若函数f (x)的导函数为偶函数，则f(x)的解析式可能是(　　) A．f(x)＝ x2 B．f(x)＝cos x C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ex C　解析：对A，f′(x)＝2x，为奇函数；对B，f′(x)＝－sin x，为奇函数；对C，f′(x)＝cos x，为偶函数；对D，f′(x)＝ex，既不是奇函数也不是偶函数．故选C. 10．设f1(x)＝sin x，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，则f2 024(x)＝(　　) A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x D　解析：∵f1(x)＝sin x，∴f′1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝f′1(x)＝cos x，f3(x)＝f′2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f4(x)＝f′3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f5(x)＝f′4(x)＝(－cos x)′＝sin x．由此可知：fn＋4(x)＝fn(x)，n∈N*，∴f2 024(x)＝f4(x)＝－cos x． 11．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于(　　) A．－4 B．3 C．－2 D．1 D　解析：由题图可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点(4，0)，与y轴交于点(0，4)，则l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，f(2)＋f′(2)＝1. 12．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．[0，]∪[，π) B．[0，π) C．[，] D．[0，]∪[，] A　解析：∵(sin x)′＝cos x，∴kl＝cos x，∴－1≤tan α≤1.又∵α∈[0，π)， ∴α∈[0，]∪[，π). 13．已知点A(， －1)，B(2，1)，函数f(x)＝log2x. (1)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程． (2)在曲线y＝f(x)(≤x≤2)上是否存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设切点为(m，log2m)(m>0). 因为f(x)＝log2x，所以f′(x)＝. 由题意可得＝，解得m＝e， 所以切线方程为y－log2e＝(x－e)， 即y＝x. (2)过点A(，－1)，B(2，1)的直线的斜率为kAB＝. 假设存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行． 设P(n, log2n)，≤n≤2，则有＝，得n＝. 又＝ln <ln 2<ln e＝1，所以<<. 所以在曲线y＝f(x)(≤x≤2)上存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，且点P的横坐标为. 14．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离． 解：根据题意，设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点P(x0, y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图． 则在点P(x0, y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1. 因为y′＝(ex)′＝ex，所以ex0＝1，得x0＝0. 代入y＝ex，得y0＝1，即P(0, 1). 利用点到直线的距离公式，得最小距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$