课时梯级训练(17) 导数的几何意义（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(17)　导数的几何意义 1．设f(x)存在导函数，且满足 ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为(　　) A．2 B．－1 C．1 D．－2 B　解析： ＝ ＝f′(1)＝－1. 2．如果函数y＝f(x)的图象在点A(3, a)处的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，那么f′(3)＝(　　) A．2 B．－ C．－2 D． C　解析：因为在点A(3，a)处的切线与2x＋y＋1＝0平行，所以曲线在A点处的切线斜率f′(3)＝－2. 3．某汽车在笔直的公路上不断加速行驶，则其路程s关于时间t的函数图象的大致形状是(　　) B　解析：由汽车加速行驶，随着t的增大，速度在不断增大，根据导数的几何意义知v＝s′(t)，从而s′(t)在不断增大，即曲线上的各点的切线斜率不断增大．只有B中图象满足此规律．故选B. 4．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是(　　) A．(1, 1) B．(－1, 1) C．(1，1)或(－1，－1) D．(2, 8)或(－2，－8) C　解析：因为y＝x3，所以y′＝ ＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1). 5．已知函数y＝f(x)，若f′(x0)>0，则曲线y＝f(x)在点(x0, f(x0))处切线的倾斜角的范围是________________________________________________________________________． 答案：(0，)　解析：f′(x0)>0，说明y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率大于0，故倾斜角为锐角． 6．曲线y＝x3－2在点(1, －)处切线的倾斜角为________． 答案：　解析：∵y′＝ ＝[x2＋xΔx＋(Δx)2]＝x2， ∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角为. 7．求过点(－1，0)且与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程． 解：设切点为(x0, x＋x0＋1)，则切线的斜率为 k＝ ＝2x0＋1. 又∵k＝＝， ∴2x0＋1＝， 解得x0＝0或x0＝－2. 当x0＝0时，切线斜率k＝1， 过点(－1, 0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0； 当x0＝－2时，切线斜率k＝－3， 过点(－1, 0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)， 即3x＋y＋3＝0. 综上，所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0. 8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点P(1，1)，Q(2，－1)，且在点Q处与直线y＝x－3相切，求实数a，b，c的值． 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点P(1，1)， ∴a＋b＋c＝1.① ∵y′＝ ＝ ＝ ＝ (2ax＋b＋aΔx) ＝2ax＋b， ∴y′|x＝2＝4a＋b＝1.② 又曲线过点Q(2，－1)，∴4a＋2b＋c＝－1.③ 联立①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9. 9．函数y＝(x－1)2的导数是(　　) A．－2 B．(x－1)2 C．2(x－1) D．2(1－x) C　解析：y′＝ ＝ ＝ ＝2x－2＝2(x－1). 10．(多选)为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门现对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c 与时间t的关系为c＝f(t)，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如图所示． 下列四个结论正确的是(　　) A．在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B．在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同 C．在[t2, t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同 D．在[t1, t2]，[t2, t3]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同 ACD　解析：在t1时刻，两图象相交，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故A正确；甲、乙两曲线在t2时刻的切线的斜率不相等，即两人的f′(t2)不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故B不正确；根据平均变化率公式可知，在[t2，t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率都是，故C正确；在[t1, t2]时间段，甲血管中药物浓度的平均变化率是，在[t2, t3]时间段，甲血管中药物浓度的平均变化率是，显然不相等，故D正确． 11．若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________． 答案：　解析：由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2.设y＝f(x)＝x2，由导数的几何意义知y′＝f′(x)＝ ＝2x＝1，解得x＝，所以切点为P(，)，故点P到直线y＝x－2的最小距离为d＝＝. 12．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是________(填序号). 答案：②　解析：由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时，f′(x)＝0，当x>0时，f′(x)<0，故②符合． 13．在抛物线y＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？ 解：y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x. 设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0， 则y′|x＝x0＝2x0＝4，解得x0＝2， 所以y0＝x＝4，即P(2，4)，经检验，符合题意． 设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0， 则y′|x＝x1＝2x1＝－，解得x1＝－， 所以y1＝x＝，即Q(－，)，经检验，符合题意． 故抛物线y＝x2在点(2，4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在点(－，)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0. 14．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：∵＝＝2x＋Δx， ∴y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x. 设切点为P(x0, y0)，则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0.由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0). 又∵切线过点(1，a)，且y0＝x＋1， ∴a－(x＋1)＝2x0(1－x0)， 即x－2x0＋a－1＝0. ∵切线有两条， ∴Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2. 故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2). 学科网（北京）股份有限公司 $$