课时梯级训练(16) 导数的概念（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(16)　导数的概念 1．函数f (x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．4 B　解析：由已知得＝3. ∵m－1≠0，∴m＋1＝3，∴m＝2. 2．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝(　　) A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx C．－3 D．0 C　解析：f′(0)＝ ＝ ＝ (Δx－3)＝－3. 3．若函数f(x)在x＝1处的导数为2，则 ＝(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 A　解析：因为函数f(x)在x＝1处的导数为2， 所以 ＝f′(1)＝2.故选A. 4．(多选)若f(x)＝x3＋x－1，f′(x0)＝4，则x0的值为(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 AB　解析：f′(x0)＝ ＝ ＝[3x＋1＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x＋1＝4. 解得x0＝±1. 5．(2024·首师大二附中高二月考)函数y＝x2－1在区间[3，4]上的平均变化率为________． 答案：7　解析：依题意，函数y＝x2－1在区间[3，4]上的平均变化率为＝7. 6．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)＝________． 答案：－1　解析：∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0， ∴f′(0)＝ ＝ ＝－1. 7．若函数f(x)在x＝0处的导数等于－2，则 ＝________． 答案：－1　解析：由已知得f′(0)＝－2，则 ＝ ＝ f′(0)＝－1. 8．若函数f (x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求实数a的值． 解：∵f (1＋Δx)－f (1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx， ∴f′(1)＝ ＝ ＝ (aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2， ∴a＝1. 9．服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位：μg/mL)是时间t(单位：min)的函数y＝f(t).假设函数y＝f(t)在t＝10和t＝100处的导数分别为f′(10)＝1.5和f′(100)＝－0.6，试解释它们的实际意义． 解：f′(10)＝1.5表示在服药后第10 min附近，血液中药物的质量浓度大约以1.5 μg/(mL·min)的速度上升． f′(100)＝－0.6表示服药后第100 min附近，血液中药物的质量浓度大约以0.6 μg/(mL·min)的速度下降． 10．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x).假设>0(x1>x0≥0)恒成立，且＝10，＝1，则这些数据说明后10天与前10天比较(　　) A．公司已经亏损 B．公司的盈利在增加，增加的幅度变大 C．公司在亏损且亏损幅度变小 D．公司的盈利在增加，增加的幅度变小 D　解析：平均变化率为正说明盈利是增加的，平均变化率变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的． 11．(2024·河池高二期中)已知函数f(x)＝ax2＋b，若 ＝4，则a＝(　　) A．2 B． C．－ D．± D　解析：根据导数定义可得 f′(a)＝ ＝4， 又根据求导公式可得f′(x)＝2ax，所以f′(a)＝2a2＝4，所以a＝±. 12．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________． 答案：[x3，x4]　解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为，，， 结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]. 13．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s＝t2，则t＝2 s时，求木块在水平方向的瞬时速度． 解：s′|t＝2＝ ＝ (Δt＋)＝(m/s). 14．已知函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率 B．f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率 C．对于任意x0∈(a，b)，函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率 D．存在x0∈(a，b)，使得函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率 D　解析：∵f(x)在a到b之间的平均变化率是， g(x)在a到b之间的平均变化率是. 又∵f(b)＝g(b)，f(a)＝g(a)，∴＝，∴A，B错误； 易知函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x＝x0处的导数，即函数f(x)在该点处的切线的斜率， 同理可得，函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数，即函数g(x)在该点处的切线的斜率，由题中图象可知， 当x0∈(a，b)时，函数f(x)在x＝x0处切线的斜率有可能大于g(x)在x＝x0处切线的斜率，也有可能小于g(x)在x＝x0处切线的斜率，故C错误，D正确． 15．节日期间燃放烟花是中国的传统习俗之一，制造烟花时通常希望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求烟花在t＝2 s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况． 解：因为＝＝－9.8t－4.9Δt＋14.7， 所以h′(t)＝ ＝ (－9.8t－4.9Δt＋14.7)＝－9.8t＋14.7， 所以h′(2)＝－4.9，即在t＝2 s时烟花正以4.9 m/s的速度下降． 由h′(t)＝0得t＝1.5，所以在t＝1.5 s附近，烟花运动的瞬时速度几乎为0，此时达到最高点并爆裂，在1.5 s之前，导数大于0且递减，所以烟花以越来越小的速度上升，在1.5 s之后，导数小于0且绝对值越来越大，所以烟花以越来越大的速度下降，直至落地． 学科网（北京）股份有限公司 $$