课时梯级训练(15) 变化率问题（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(15)　变化率问题 1．在函数y＝x2图象上取一点(1，1)及附近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则为(　　) A．4Δx＋2(Δx)2 B．4＋2Δx C．Δx＋2 D．4＋Δx C　解析：Δy＝(1＋Δx)2－1＝(Δx)2＋2Δx， ∴＝Δx＋2. 2．若某运动物体的位移s与时间t的关系为s＝t2－c，其在区间[1, m]上的平均速度为4，则m等于(　　) A． B．3 C．5 D．16 B　解析：因为＝＝＝m＋1＝4，所以m＝3. 3．一质点做直线运动，它所经过的路程s与时间t的关系为s(t)＝t3＋t2＋1.若该质点在时间段[1，2]内的平均速度为v1，在t＝2时的瞬时速度为v2，则v1＋v2＝(　　) A．10 B．16 C．26 D．28 C　解析：由已知条件得 v1＝＝＝10， v2＝ ＝ ＝[16＋7Δt＋(Δt)2]＝16. 所以v1＋v2＝26.故选C. 4．(多选)甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示．下列四种说法正确的有(　　) A．前四年该产品产量增长速度越来越快 B．前四年该产品产量增长速度越来越慢 C．第四年后该产品停止生产 D．第四年后该产品年产量保持不变 BD　解析：设产量与时间的函数关系为y＝f(x)，由题图可知f(4)－f(3)＜f(3)－f(2)＜f(2)－f(1)，则前四年该产品产量增长速度越来越慢，故A错误，B正确；由题图可知，从第四年开始产品产量不发生变化，且f(4)≠0，故C错误，D正确．故选BD. 5．甲、乙两人跑步路程y与时间t的关系如图所示，__________跑得快． 答案：乙　解析：乙跑得快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小． 6．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其初速度为________________________________________________________________________， 其在t＝________时的瞬时速度为1. 答案：0　　解析：平均速度为＝＝7t，当t趋向于0时，平均速度为0，即初速度为0.根据瞬时速度的定义，知v＝ ＝ ＝14t，所以当v＝1时，t＝. 7．若曲线y＝2x2－4x＋p与y＝1相切，则p＝________． 答案：3　解析：由题意得k＝ ＝ ＝4x－4＝0，解得x＝1，所以切点为(1, 1)，所以2－4＋p＝1，所以p＝3. 8．已知函数f(x)＝－x2＋x图象上两点A(2，f(2))，B(2＋Δx, f(2＋Δx))(Δx＞0). (1)若割线AB的斜率不大于－1，求Δx的范围； (2)求函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处切线的斜率． 解：(1)由题意得，割线AB的斜率为＝＝＝＝－3－Δx. 由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2. 又因为Δx＞0，所以Δx的取值范围是(0，＋∞). (2)由(1)知函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处切线的斜率为k＝ ＝ (－3－Δx)＝－3. 9．航天飞机升空后一段时间内，第t s时的高度为h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s. (1)h(0)，h(1)，h(2)分别表示什么？ (2)求第2 s末的瞬时速度． 解：(1)h(0)表示航天飞机发射前的高度； h(1)表示航天飞机升空后第1 s时的高度； h(2)表示航天飞机升空后第2 s时的高度． (2)第2 s末的瞬时速度为 ＝ ＝ ＝ ＝225. 因此，第2 s末的瞬时速度为225 m/s. 10．下列点中，在曲线y＝x2上，且在此点处的切线倾斜角为的是(　　) A．(0，0) B．(2，4) C．(，) D．(，) D　解析：k＝ ＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x. 因为倾斜角为，所以斜率为1.所以2x＝1，x＝，此时y＝. 11．降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气．在某室内，空气中微生物密度(c)随开窗通风换气时间(t)的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是(　　) A．[5，10] B．[15，20] C．[25，30] D．[30，35] B　解析：如图，令t＝5，t＝10，t＝15，t＝20，t＝25，t＝30，t＝35，所对应的点分别为A，B，C，D，E，F，G.由图可知0>kAB>kCD，0>kEF>kCD，0>kFG>kCD， 所以[15，20]内空气中微生物密度变化的平均速度最快．故选B. 12．过曲线y＝f(x)＝上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx，－2＋Δy)作割线，则当Δx＝0.5时割线的斜率为________，在点(2，－2)处的切线斜率为________． 答案：　1　解析：割线的斜率k＝＝＝＝2(－)＝. ＝ ＝ ＝ ＝1，故切线斜率为1. 13．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1，1)处的切线互相平行，求的值． 解：k＝ ＝ ＝ ＝3x2.因为点P(1，1)为曲线y＝x3上一点，所以曲线y＝x3在点P(1，1)处的切线斜率k＝3.由条件知＝3. 14．求过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程． 解：∵ ＝ ＝[2－3x2－3xΔx－(Δx)2]＝2－3x2. 设切点的坐标为(x0, 2x0－x)， ∴切线方程为y－2x0＋x＝(2－3x)(x－x0). 又∵切线过点(－1, －2)， ∴－2－2x0＋x＝(2－3x)(－1－x0)， 即2x＋3x＝0，解得x0＝0或x0＝－. ∴切点的坐标为(0, 0)或(－，). 当切点为(0，0)时，切线斜率为2，切线方程为y＝2x； 当切点为(－，)时，切线斜率为－，切线方程为y＋2＝－(x＋1)，即19x＋4y＋27＝0. 综上可知，过点(－1, －2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程为y＝2x或19x＋4y＋27＝0. 15．柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的，铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成黏稠液体状．如果开始加热后第x h的沥青温度(单位：℃)为f(x)＝求开始加热后第15 min和第4 h沥青温度变化的瞬时速度，并说明它们的意义． 解：∵15 min＝0.25 h，且当0≤x≤1时，f(x)＝80x2＋20， ∴＝ ＝ ＝＝40＋80Δx. ∴ ＝ (40＋80Δx)＝40. 又当1<x≤8时，f(x)＝－(x2－2x－244)， ∴当x＝4时， ＝ ＝＝－(6＋Δx)， ∴ ＝[－(6＋Δx)]＝－×6＝－. 在第15 min与第4 h时，沥青温度变化的瞬时速度分别为40 ℃/h与－ ℃/h，它说明在第15 min附近，沥青的温度大约以40 ℃/h的速度上升；在第4 h附近，沥青的温度大约以 ℃/h的速度下降． 学科网（北京）股份有限公司 $$