专题1.2 不等式（考点精讲）-【中职专用】2025年对口招生数学一轮复习讲练测（湖南专用）

专题1.2 不等式 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 4 考点一：不等式的基本性质 4 考点二：区间表示法 5 考点三：一元二次不等式 6 考点四：含绝对值不等式 7 考点五：含参数不等式 8 【考纲要求】 1. 理解不等式的基本性质。 2. 掌握区间的概念。 3. 掌握一元二次不等式的解法。 4. 了解含绝对值的不等式|ax+b|<c(或>c)的解法。 【考向预测】 主要考察求一元二次不等式、绝对值的不等式的解集，以选择题和填空题为主. 【知识导图】 【知识清单】 1.不等式的基本性质 1.比较两个实数大小的方法 作差法：对于两个任意实a，b有： ;； 2.不等式的基本性质 （1） （2） （3） （4） 2.区间表示法 设a,b∈R，且a<b,我们规定： 其中[a,b),(a,b]叫做半开半闭区间 注意： ①实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞)，符号“∞”不是一个具体的数，读作“无穷大” ②区间是实数集及其子集的另一种表示形式，区间的左端必须小于右端，而且区间只能表示连续的数集。 （2） 真子集：如果集合A为集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，则称集合 A为集合B的真子集，如图（1），记作： 注意： (1)空集是任何非空集合的真子集． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. 3.一元二次不等式 一元二次不等式的解法 第一步：将不等式化成一般形式 第二步：用判别式判断方程的根的情况 第三步：按下表来确定解集，解集要写成集合或者区间的形式 4.含绝对值的不等式 含绝对值不等式的解法 （1） （2） 5.含参数不等式 1.对于含有字母参数的不等式要注意对参数进行讨论 2.含有绝对值的不等式的解法，关键在于去掉绝对值，如果其中含有字母参数，则根据基本的绝对值不等式的解法求出 参数即可，必要时对参数进行讨论。 【考点分类剖析】 考点一：不等式的基本性质 典例分析 例1．已知，且，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 例2．设且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式探究 1．对于任意实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 考点二：区间表示法 典例分析 例1. 已知，，求. 变式探究 1．用区间表示下列集合： (1)； (2)． 2．用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 考点三：一元二次不等式 典例分析 例1．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 例2．解下列不等式组： 变式探究 1．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 2．函数的定义域为 ． 3．函数的定义域是 ． 4．解下列不等式： (1)． (2)． 5．解关于的不等式组： 考点四：含绝对值不等式 典例分析 例1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 例2．下面是的解集的是（    ） A． B． C． D． 例3．解下列不等式： (1)； (2)． 变式探究 1．不等式的解集为，则 ． 2．不等式的解集为 . 3．不等式的解集是 ． 4．解不等式组. 考点五：含参数不等式 典例分析 例1．若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 例2．求关于x的不等式的解集，其中a是常数. 例3．请回答下列问题：若关于的不等式的解集为或，求，的值. 例4．已知不等式的解集为．求实数的值； 变式探究 1．若不等式的解集为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次不等式的解集为，则实数m为 ． 3．已知不等式的解集为.求 a､b的值 4．已知函数. (1)解不等式； (2)若，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 不等式 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 4 考点一：不等式的基本性质 4 考点二：区间表示法 6 考点三：一元二次不等式 7 考点四：含绝对值不等式 10 考点五：含参数不等式 12 【考纲要求】 1. 理解不等式的基本性质。 2. 掌握区间的概念。 3. 掌握一元二次不等式的解法。 4. 了解含绝对值的不等式|ax+b|<c(或>c)的解法。 【考向预测】 主要考察求一元二次不等式、绝对值的不等式的解集，以选择题和填空题为主. 【知识导图】 【知识清单】 1.不等式的基本性质 1.比较两个实数大小的方法 作差法：对于两个任意实a，b有： ;； 2.不等式的基本性质 （1） （2） （3） （4） 2.区间表示法 设a,b∈R，且a<b,我们规定： 其中[a,b),(a,b]叫做半开半闭区间 注意： ①实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞)，符号“∞”不是一个具体的数，读作“无穷大” ②区间是实数集及其子集的另一种表示形式，区间的左端必须小于右端，而且区间只能表示连续的数集。 （2） 真子集：如果集合A为集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，则称集合 A为集合B的真子集，如图（1），记作： 注意： (1)空集是任何非空集合的真子集． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. 3.一元二次不等式 一元二次不等式的解法 第一步：将不等式化成一般形式 第二步：用判别式判断方程的根的情况 第三步：按下表来确定解集，解集要写成集合或者区间的形式 4.含绝对值的不等式 含绝对值不等式的解法 （1） （2） 5.含参数不等式 1.对于含有字母参数的不等式要注意对参数进行讨论 2.含有绝对值的不等式的解法，关键在于去掉绝对值，如果其中含有字母参数，则根据基本的绝对值不等式的解法求出 参数即可，必要时对参数进行讨论。 【考点分类剖析】 考点一：不等式的基本性质 典例分析 例1．已知，且，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对ACD举反例即可判断，对B根据不等式性质即可判断. 【详解】对A，取，则满足，但，故A错误； 对B，根据不等式性质，故B正确； 对C，取，则，故C错误； 对D，取，则，故D错误. 故选：B. 例2．设且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可． 【详解】解：对于A，当时不成立， 对于B，当，时，不成立， 对于C，成立， 对于D，当，时不成立， 故选：C． 【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，要求熟练掌握不等式的性质，属于基础题． 变式探究 1．对于任意实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选:C. 2．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D. 【详解】对于A，当，时，满足，但是，故A错误； 对于B，当，时，满足，但是，故B错误； 对于C，当，时，满足，但是，故C错误； 对于D，因为，所以，即，故D正确. 故选：D 3．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质或反例可得选项. 【详解】因为，所以，D正确； 当时，满足，但是，A,C不正确； 当时，满足，但是，B不正确； 故选：D 考点二：区间表示法 典例分析 例1. 已知，，求. 【答案】 【分析】根据交集的定义运算即可. 【详解】因为，， 所以 变式探究 1．用区间表示下列集合： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据区间的定义直接求解即可. 【详解】（1）由题意可知：. （2）因为对任意恒成立， 所以. 2．用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【答案】(1) (2) 【分析】利用区间表示法来表示数集即可. 【详解】（1） （2）,所以不等式所有解的集合是 考点三：一元二次不等式 典例分析 例1．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】利用一元二次不等式的解法来求解即可. 【详解】（1）不等式可化为，∴不等式的解集是． （2）不等式可化为，∴不等式的解集是． （3）不等式可化为，∴不等式的解集是． （4）不等式可化为，∴不等式的解集是或． 例2．解下列不等式组： 【答案】 【分析】分别求两个一元二次不等式的解集，再求两者的交集即可. 【详解】原不等式可以化为， 即， ∴ ， ∴或， 故原不等式的解集为. 变式探究 1．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解即可. 【详解】因为，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 2．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数非负、分母不为零可求得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为函数的定义域为. 故答案为：. 3．函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】利用具体函数的定义域，结合二次不等式即可得解. 【详解】因为， 所以，则，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 4．解下列不等式： (1)． (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可求解. 【详解】（1）由，即， 故或， 故不等式的解集为或； （2）由， 即， 故， 故不等式的解集为. 5．解关于的不等式组： 【答案】 【分析】分别求解原不等式组中的两个一元二次不等式，然求两个解集的交集即可得解. 【详解】原不等式组可化为 即 所以，原不等式组的解集为． 考点四：含绝对值不等式 典例分析 例1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由绝对值的几何意义可得. 【详解】 或， 由绝对值几何意义知，无解， 由，解得， 综上可得不等式的解集是. 故选：C. 例2．下面是的解集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】绝对值不等式分类讨论即可. 【详解】等价于或者， 解得或者， 故选：D 例3．解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或． (2)． 【分析】直接运用结论公式可解 【详解】（1）因为或，解得或， 所以原不等式的解集是或 （2）由于，即，解得， 所以原不等式的解集是． 变式探究 1．不等式的解集为，则 ． 【答案】 【分析】去绝对值解不等式可得答案. 【详解】由得， 解得， 所以不等式的解集为，则. 故答案为：. 2．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】由，得或，即或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 3．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】变换得到，解得答案. 【详解】，则，解得或. 故答案为：. 4．解不等式组. 【答案】 【分析】分别解出两个不等式，然后将两个不等式的解集取交集即可得出不等式组的解集. 【详解】解不等式，即或，解得或. 解不等式，即，解得. 因此，不等式组的解集为. 【点睛】本题考查不等式组的解法，涉及绝对值不等式和一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 考点五：含参数不等式 典例分析 例1．若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次不等式的特征即可求解. 【详解】由于，所以,所以不等式的解集， 故选：D 例2．求关于x的不等式的解集，其中a是常数. 【答案】答案见解析. 【分析】由题设，讨论、分别求出对应解集. 【详解】由， 当时，解得或，解集为； 当时，解得或，解集为； 例3．请回答下列问题：若关于的不等式的解集为或，求，的值. 【答案】， 【分析】由题意可得和为方程的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可 【详解】因为关于的不等式的解集为或， 所以和为方程的两根， 所以，解得 例4．已知不等式的解集为．求实数的值； 【答案】， 【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，解不等式即可求出不等式的解集，从而求出，的值； 【详解】解：由，得， 解得， 所以，． 变式探究 1．若不等式的解集为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求. 【详解】①当时，成立 ②当 时，若不等式的解集为， 则不等式在恒成立， 则， 解得： 综上，实数的取值范围是 故选：D. 2．关于x的一元二次不等式的解集为，则实数m为 ． 【答案】4 【分析】由题意可得为和，然后将两根代入方程中可求出. 【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以方程为和， 所以，解得， 故答案为：4 3．已知不等式的解集为.求 a､b的值 【答案】的值分别为 【分析】不等式的解集为，故，是方程的两个根，由根与系数的关系求出，，即得． 【详解】解：由题意不等式的解集为，故，是方程的两个根 ， ， 故答案为：；． 【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．注意总结方程，函数，不等式三者之间的联系． 4．已知函数. (1)解不等式； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，把不等式转化为，得出等价不等式组，即可求解； （2）根据题意，求得，转化为，结合不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 则不等式等价于， 则或，解得或， 所以不等式的解集为. （2）解：因为，所以， 因为，所以，即，解得， 所以的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$