18.2 黄金分割（ 黄金分割）（教学课件）数学北京版九年级上册

18.2 黄金分割 主讲： 京改版九年级上册 第18章 相似形 问题导入 欣赏下面图片，你知道为什么这些图片看起来有美的感觉吗？ 学习目标 目标 1 目标 2 1.掌握黄金分割的定义； 目标 3 3.通过建筑、艺术上的实例了解掌握黄金分割的一些应用，掌握与黄金分割知识的综合应用的能力； 2.掌握黄金分割数，学会找线段的黄金分割点； 自学指导 仔细阅读教材P4---P6。用5分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1.什么是黄金分割？ 2.什么是黄金比？ 3.如何做黄金分割点？ 探索 探究新知 A C B 五角星是我们常见的图形，请你分别测量出点C到点A、B的距离，并计算 AC= AB= BC= 1.7cm 2.7cm 1.0cm 0.6 下图是古希腊的著名雕塑——爱与美之神维纳斯。请你量出维纳斯肚脐到脚底的长度，再量出她的身长，并计算他们的比值，你发现了什么？将这个比值与五角星问题中的值比较一下，又能有什么发现？ 女神维纳斯·的雕像 肚脐到脚底的长度= 身长= = 3.9cm 6.2cm 0.6 0.6 探究新知 古希腊数学家在公元前4世纪，研究了这样一个问题：如何在线段AB上确定一个点C,使 设AB=1,AC=x,那么BC=1-x。 ， x²=1×(1-x) 即x²+x-1-0 解这个方程，得 ， (不合题意，舍去)。 =≈0.618 . 即在线段AB上截取这条线段长的0.618倍，得到点C. 知识要点 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果=，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 黄金分割 这个数叫做黄金分割数.如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数. 作图步骤： (1)过点B作BD⊥AB且，使 (2)连接AD,在DA上截取DE=BD ; (3)在AB上截取AC=AE，点C为线段AB的黄金分割点; (4)或者在AB上截取AC’=AE，点C’为线段AB的黄金分割点. 请同学们思考，如何作出线段的黄金分割点呢？ 线段黄金分割点的作图 知识要点 练习 如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，求的近似值(结果精确到 0.001)，你发现了什么规律?用式子怎样表示? 解：设AB＝1，AC＝x，则有BC＝1-x， ∵点C是线段AB的黄金分割点， ∴ ∴AC2＝BC•AB， ∴x2＝（1-x）×1 整理得：x2+x-1＝0， 解得x1，x2（舍去负值）， ∴AC， ∴0.618． 规律是：黄金分割点把一条线段分成两部分，较长的部分与较短的部分的比值近似值为0.618． 用式子表示为：若点C是线段AB的黄金分割点，则0.618． 黄金分割数的应用 19米 31米 巴台农神庙侧墙东西宽31米，山墙顶部离地面19米，即东西立面高与宽之比为19:31，接近黄金分割数，让人觉得神庙非常雄伟和优雅. 黄金分割数的应用 人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。 B：A≈0.618：1 人体最感舒适的温度是23℃(体温)，也是正常人体温（37℃）的黄金（23=37×0.618）。这说明医学与0.618有千丝万缕联系,尚待开拓研究。人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节。上肢与下肢长度之比均近似0.618. 黄金分割数的应用 人们也将短边与长边之比为黄金分割数的矩形称为黄金矩形. 黄金矩形 典型例题 例 点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），若AB＝2，则AD＝（　　） A． B． C． D． C 分析：根据黄金分割点的定义得出ADAB，代入数据即可得出AD的长度． 解：∵点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝2， ∴ADAB＝AD21 典型例题 例 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b＝3m，则a约为（　　） A．1.236 m B．1.416 m C．1.584 m D．1.854 m 分析：根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，因为图中b为2米，即可求出a的值． 解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618， ∴0.618， ∵b为3米， ∴a约为1.854米． D 典型例题 例 作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比． （1）尺规作图并保留作图痕迹； （2）写出你的作法； （3）证明：腰与底之比为黄金比． 分析：（1）根据黄金分割的作法和本题的要求作图即可； （2）先画线段AB作为三角形底边，再取AB的一半作AB的垂线AC，连接BC，在BC上取CD＝CA，分别以A点和B点为圆心、以BD为半径划弧，交点为E，分别连接EA、EB，即可画出图形； （3）先设AB＝2，求出AE的长即可得出答案． 解：（1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，  （2）作法：①画线段AB作为三角形底边； ②取AB的一半作AB的垂线AC，连接BC，在BC上取CD＝CA． ③分别以A点和B点为圆心、以BD为半径划弧，交点为E； ④分别连接EA、EB，则△ABE即是所求的三角形． （3）证明：设AB＝2，则AC＝1，BC， AE＝BE＝BD＝BC﹣CD1， ． 基础检测 1.一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感．如图，若将AB抽象地看成一条线段，点P为AB的黄金分割点（AP＞PB），下列各式正确的是（　） A． B． C． D． 分析：根据黄金分割的定义即可解决问题． 因为点P为线段AB的黄金分割点，且AP＞PB， 所以， 显然四个选项只有A选项符合题意． A 2.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为4cm，则AP的长为（　　） A． B． C． D． 分析：∵P是AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝4cm， A ∴； 分析：设雕像的下部高为xm，则上部长为（2﹣x）m，然后根据题意列出方程求解即可． 一展身手 1.在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？ 解：设雕像的下部高为x m，则题意得：， 整理得：x2+2x-4＝0， 解得x11，x21（舍去）， 答：雕像的下部高为（1）m． 2.如图，已知线段AB，用尺规作图法按如下步骤作图． （1）过点B作AB的垂线，并在垂线上取． （2）连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点E． （3）以点A为圆心，AE为半径画弧，交AB于点D．则点D是线段AB的黄金分割点，请说明其中的道理． 分析：设BC长为x，则AB长为2x，利用勾股定理可得，进而可得，即可得，问题得解． 解：设BC长为x，则AB长为2x， ∵BC⊥AB， ∴． ∵CE＝BC＝x， ∴， ∴， ∴， 即点D是线段AB的黄金分割点． 1.如图：已知线段AB， （1）用圆规与直尺作一个黄金矩形ABCD，要求黄金矩形ABCD的长为线段AB（请保留作图痕迹）． （2）若AB＝10，则矩形ABCD的面积＝　． 分析：（1）先作BG⊥AB，在BG上取点F，使，作AN⊥AB，再作FP＝FB，确定点Q位线段AB的黄金分割点，最后作出矩形，即可得到四边形ABCD是以线段AB为长的黄金矩形； （2）运用黄金分割比，得到，求出AD，再代入面积公式即可解答． 挑战自我 解：（1）如图， 作法：①延长线段AB至E，使AB＝BE，分别以A、E为圆心，以大于等于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点F，使；同理作AN⊥AB； ②连接AF，以点F为圆心，BF长为半径作弧，交AF于点P，则FP＝FB； ③以点A为圆心，AP长为半径作弧，交AB于点Q，交AN于点D，则点Q位线段AB的黄金分割点，AD＝AQ； ④在BH上取一点C，使BC＝AD； ⑤连接CD，四边形ABCD是以线段AB为长的黄金矩形． （2）∵ABCD为黄金矩形，且AB＞AD， ∴， ∴， ∴矩形ABCD的面积， 课堂小结 黄金分割 1.黄金分割点、黄金比； 2.黄金分割数； 3.黄金分割点的尺规作图方法； 主讲： 感谢聆听 京改版九年级上册 $$