21.2 解一元二次方程21.2.2公式法（要点系统练+提升整合练+探究创新练）-2024-2025学年九年级数学上册核心要点同步题型精练（人教版）

好题精选·同步精练 21.2解一元二次方程 12.2.1第二课时 配方法 1．（2024·辽宁大连·二模）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（    ）知识点1 一元一次方程的根的判别式 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广西南宁·一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．（2024·广东东莞·三模）若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 5．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A．2015 B．2033 C．2024 D．2027 6．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ）知识点2 用公式法解一元二次方程 A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·河北张家口·期末）利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（   ） A． B． C． D． 8．（18-19八年级·全国·课后作业）把方程化为一般形式是 ，其中 ， ， ， ，方程的根是 ， . 9．（18-19九年级上·山东青岛·单元测试）方程化为一般形式是 ， ，用求根公式求得 ， ． 10．（2023·福建泉州·一模）小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下： 解：，，，．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步 ，．．．．．．．．．．．．．第二步 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第三步 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步 (1)问：小明的解答是从第________步开始出错的； (2)请写出本题正确的解答． 11．（24-25九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（22-23九年级上·黑龙江鸡西·期中）三角形两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（　　） A． B．10 C． D．或10 13．（2024·广东广州·一模）关于的方程有两个相等的实数根，若是的三边长，则这个三角形一定是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 14．（23-24八年级下·广西梧州·期中）若关于x的一元二次方程没有实数根，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．（2023·云南昆明·模拟预测）已知关于的一元二次方程有实数根，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 16．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么直线一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）已知点在第四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 18．（22-23九年级上·河南周口·期末）已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判定 19．（23-24九年级上·河北邢台·期中）嘉琪在解一元二次方程●时，不小心把二次项系数沾上了墨水，若这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则被沾上了墨水的二次项系数可能是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知三角形的一边长为5，另外两边，为方程的解，则当 时，三角形为等腰三角形． 21．（23-24九年级上·河北唐山·期中）直线不经过第二象限，此时a 0，同时关于x的方程．有 个实数解． 22．（2024·山东聊城·三模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m可以取到的最小整数值是 ． 23．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根． (2)在（1）的结果中，取满足m的范围的最小整数m，并算出该方程的根． 24．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程． (1)求证：无论取什么实数，方程总有实数根． (2)方程的解都为正整数，求满足条件的所有正整数的值． 25．（23-24八年级下·山东烟台·期末）关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（    ） A．且 B． C．且 D．且 26．（2024·四川乐山·二模）定义：若（n为正整数）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“智慧数”． （1）当时，请任意写出一个智慧数： ； （2）当时，则“智慧数”n的最大值为 ． 27．（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ． 28．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知关于x的方程有两个实数根． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根． (2)若平行四边形的两边AB，AD的长是己知方程的两个实数根，当m为何值时，平行四边形是菱形？求此菱形的边长 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练 21.2解一元二次方程 21.2.1第二课时 配方法 知识点1 一元一次方程的根的判别式 1．（2024·辽宁大连·二模）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式．根据根的判别式，代入数据计算可得答案． 【详解】解：一元二次方程， ，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况．根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：A、，，方程没有实数根，不符合题意； B、，，方程没有实数根，不符合题意； C、，，方程有两个相等的实数根，不符合题意； D、，，方程有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 3．（2024·广西南宁·一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系： ①当时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当时，方程有两个相等的两个实数根； ③当时，方程无实数根． 判断出判别式的值，可得结论． 【详解】解：对于一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4．（2024·广东东莞·三模）若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求一元一次不等式的解集，根据，有两个不相等的实根即可列出bds不等式；再根据不等式求解集的方法即可求解，掌握一元二次方程根的判别式的关系是解题的关键． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实根， ∴，且， ∴且， 故选：A ． 5．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A．2015 B．2033 C．2024 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及代数式求值，根据一元二次方程判别式与根的关系可得到，进而得到，然后进一步整体代入求解即可． 【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 有， ， 故选：A． 知识点2 用公式法解一元二次方程 6．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 7．（23-24八年级下·河北张家口·期末）利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ∴， ， ， ∵一元二次方程式的两解为、，且， ∴的值为． 故选：A． 8．（18-19八年级·全国·课后作业）把方程化为一般形式是 ，其中 ， ， ， ，方程的根是 ， . 【答案】 3 －5 －2 49 2 【分析】方程整理为一般形式，找出一般形式中a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解． 【详解】解：方程化为一般形式是：， ∴a＝3，b＝−5，c＝−2， ∵b2−4ac＝25＋24＝49， ∴x＝， 则方程的解为x1＝，x2＝2． 故答案为；3，−5，−2，49；，2． 【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题关键． 9．（18-19九年级上·山东青岛·单元测试）方程化为一般形式是 ， ，用求根公式求得 ， ． 【答案】 【详解】去括号：2x2+4x+x+2=3， 移项，合并同类项得：， 则， 故x=， 即，， 故答案为；33；；. 10．（2023·福建泉州·一模）小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下： 解：，，，．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步 ，．．．．．．．．．．．．．第二步 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第三步 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步 (1)问：小明的解答是从第________步开始出错的； (2)请写出本题正确的解答． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】（1）根据等式的性质，移项需要改变移动的项的符号可得出答案； （2）先移项，再利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：移项需要变号， ， 故答案为：一； （2）解：， ，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 11．（24-25九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 (4) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键． （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （4）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵ ∴， ∴， ∴原方程无解． （4）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 12．（22-23九年级上·黑龙江鸡西·期中）三角形两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（　　） A． B．10 C． D．或10 【答案】A 【分析】直接利用公式法解方程，再利用三角形三边关系即可得出答案. 【详解】解：，， ∴， 解得：，， ∵， ∴2，3，5无法构成三角形， ∴这个三角形的三边长为：2，3，， 其周长为：. 故选A. 【点睛】本题考查了三角形三边关系以及公式法解方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键. 13．（2024·广东广州·一模）关于的方程有两个相等的实数根，若是的三边长，则这个三角形一定是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．由关于x的方程有两个相等的实数根，可得，整理得，根据勾股定理逆定理判断的形状即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，整理得， ∴是直角三角形， 故选：B． 14．（23-24八年级下·广西梧州·期中）若关于x的一元二次方程没有实数根，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及一次函数图象与系数的关系．根据一元二次方程根与判别式的关系，求得的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴， 解得， 由一次函数可得，， ∴一次函数过一、二、四象限，不过第三象限， 故选：C． 15．（2023·云南昆明·模拟预测）已知关于的一元二次方程有实数根，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】C 【分析】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．先利用根的判别式的意义得到，解不等式得到的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题． 【详解】 解：根据题意得， 解得， 所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：C． 16．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么直线一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，先利用根的判别式的意义得到，解不等式得到的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题．掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．及一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，解得， ∴一次函数的图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故选：A． 17．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）已知点在第四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系各个象限内点的特征、一元二次方程根的判别式，解本题的关键在根据平面直角坐标系各个象限内点的特征，得出，．一元二次方程根的判别式与根的个数的关系：当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．平面直角坐标系各个象限内点的特征：第一象限（正，正）；第二象限（负，正）；第三象限（负，负）；第四象限（正，负）． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，， ∴， 关于的一元二次方程的判别式为：， ∵， ∴， ∴， ∴一元二次方程有两个不等的实数根． 故选：C． 18．（22-23九年级上·河南周口·期末）已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判定 【答案】B 【分析】根据点在第四象限得，可得，则方程的判别式，即可得． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了点坐标的特征，根的判别式，解题的关键是掌握这些知识点． 19．（23-24九年级上·河北邢台·期中）嘉琪在解一元二次方程●时，不小心把二次项系数沾上了墨水，若这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则被沾上了墨水的二次项系数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，根据一元二次方程有不相等的实根，得到根的判别式大于零，且二次项系数不能为零，由此即可求解，掌握一元二次方程根与判别式的关系是解题的关键． 【详解】解：设二次项系数为， ∵一元二次方程有不相等的两个实数根， ∴， 解得， ∵， 故选：． 20．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知三角形的一边长为5，另外两边，为方程的解，则当 时，三角形为等腰三角形． 【答案】15或16 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及一元二次方程的根的判别式，先进行分类讨论，即当，或当，代入解出；再或者为腰长时，得出，解出，即可作答． 【详解】解：∵三角形为等腰三角形 ∴当，则把代入 得出 解得 同理：∴当，则把代入 得出 解得 当为腰长时，方程 则 解得 故答案为：15或16 21．（23-24九年级上·河北唐山·期中）直线不经过第二象限，此时a 0，同时关于x的方程．有 个实数解． 【答案】 一或两 【分析】根据一次函数的性质，函数图像不经过第二象限即可得到答空1答案，根据一元二次方程根与判别式的关系即可得到答空2答案； 【详解】解：∵不经过第二象限， ∴， 故答空1答案为：， 当时，原方程变形为，有一个解， 当时， ， ∴有两个不相等的实数根， 故答空2答案为：一或两； 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，函数图像不经过第二象限，一元二次方程判别式大于0有两个不相等的实数根，等于0有两个相等的实数根，小于0无实数根． 22．（2024·山东聊城·三模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m可以取到的最小整数值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；根据判别式为正，求得m的取值范围，根据范围即可求得最小整数值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 则m可以取到的整数值是不小于2的整数， 但，即． 故m可以取到的最小整数值是3． 故答案为：3． 23．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根． (2)在（1）的结果中，取满足m的范围的最小整数m，并算出该方程的根． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式列关于m的不等式，然后解不等式即可； （2）求得最小整数，进而得方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：由得最小整数， ∴方程为， 解得，． 24．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程． (1)求证：无论取什么实数，方程总有实数根． (2)方程的解都为正整数，求满足条件的所有正整数的值． 【答案】(1)见解析 (2)满足条件的正整数有1和2． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式． （1）利用一元二次方程根的判别式求得，从而即可得证； （2）利用求根公式求得，，根据题意得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； ∴无论取什么实数，方程总有实数根； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵方程的解都是正整数， ∴， 解得， ∴满足条件的正整数有1和2． 25．（23-24八年级下·山东烟台·期末）关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（    ） A．且 B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程根与判别式的关系等知识点，掌握一元二次方根的判别式点是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件和一元二次方程根情况可得且，然后解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得：解得：且． 故选C． 26．（2024·四川乐山·二模）定义：若（n为正整数）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“智慧数”． （1）当时，请任意写出一个智慧数： ； （2）当时，则“智慧数”n的最大值为 ． 【答案】 5 485 【分析】本题考查了因式分解的应用，一元二方程的求根公式． （1）根据，n为正整数，代入计算即可； （2）根据（ n为正整数）等于两个连续正奇数的乘积，设较小的正奇数为m，则另一个正奇数为，利用求根公式求解，分情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵，n为正整数， 当时， ． 当时， ． 当时， ． 当时， ． 当时， ． ∵， ∴5是“智慧数”， 当时， ． 当时， ． 当时， ． 当时， ． 综上所述，5是“智慧数”， （2）∵（n为正整数）等于两个连续正奇数的乘积， 设较小的正奇数为m，则另一个正奇数为， ∴， ∴， 利用求根公式得：或（舍）， ∴当为正奇数时，n为“智慧数”， ∵ ， ∴ ∵m为正奇数， ∴m为整数， ∴也必须为整数， 令， ∴， ∵， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴“智慧数”n的最大值为485． 故答案为：485． 27．（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ． 【答案】0或4 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征和一元二次方程根的判别式，设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，根据“积和点”定义可得，再由唯一一个“积和点”可知关于a的方程只有一个解，一元二次方程的根判别式等于0即可求解． 【详解】解：设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，依题意得：， 代入得：， 整理得：， 由点是唯一一个“积和点”可知：，解得：，． 故答案为：0或4． 28．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知关于x的方程有两个实数根． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根． (2)若平行四边形的两边AB，AD的长是己知方程的两个实数根，当m为何值时，平行四边形是菱形？求此菱形的边长 【答案】(1)见解析 (2)当时，平行四边形是菱形，菱形的边长为 【分析】（1）利用根的判别式求出△的符号进而得出答案； （2）利用菱形的性质以及一元二次方程的解法得出答案． 【详解】（1）由题意得， ∵， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）∵四边形是菱形， ∴，即， ∴， ∴原方程变为为， ∴， ∴菱形的边长为． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，根的判别式，以及菱形的性质等知识，得出m的值是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$