21.2 解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系（要点系统练+提升整合练+探究创新练）-2024-2025学年九年级数学上册核心要点同步题型精练（人教版）

好题精选·同步精练 21.2解一元二次方程 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识点1 一元二次方程的根于系数的关系 1．（2024·天津武清·三模）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南邵阳·二模）若m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 3．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如果关于x的一元二次方程的两个实数根互为相反数，那么m的值为（　　） A．-1 B．1 C．0 D．±1 4．（2022·湖北咸宁·模拟预测）已知的两个根互为倒数，则k的值是（    ） A．0 B． C．1 D．1或 5．（23-24八年级下·山东济南·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（    ） A．1 B． C．3 D． 6．（23-24八年级下·安徽六安·期末）一元二次方程满足，且方程有一个实数根为1，则另一个根是（    ） A．1 B． C．0 D． 7．（23-24九年级上·云南昭通·期中）关于x的方程有两个相等的实数根，且满足，则m的值为（    ） A．或3 B． C．3 D．或1 8．（23-24九年级上·山西阳泉·阶段练习）已知关于x的方程的两根分别为，，且满足，，则的值为（    ） A．1 B． C．4 D． 9．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）若关于x的一元二次方程的两个根满足，则这个方程可以是 ．（写出一个符合要求的方程） 10．（23-24八年级下·山东济宁·期末）已知是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)若，求及的值． 11．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 12．（2024·广东广州·一模）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值是（    ） A． B． C． D．或 13．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程（）满足，且有两个相等的实数根，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·河南南阳·期中）若非零实数，（）满足，，则的值是（    ） A． B． C． D． 15．（2024九年级·全国·竞赛）定义：如果一元二次方程满足，那么我们就称这个方程为“凤凰”方程．若一个“凤凰”方程的其中一个根为2，则与这个“凤凰”方程的解完全相同的方程是（    ）． A． B． C． D． 16．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）m的取值范围是 ． （2）若满足，则m的值为 ． 17．（23-24八年级下·山东济南·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为 ，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究． 定义： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)请你判断：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (3)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练 21.2解一元二次方程 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识点1 一元二次方程的根于系数的关系 1．（2024·天津武清·三模）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，直接利用根与系数的关系对各选项进行判断即可，若，是方程的两个根， 则，． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 故选：D． 2．（2024·湖南邵阳·二模）若m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，整体代入代数式，进行求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∴； 故选C． 3．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如果关于x的一元二次方程的两个实数根互为相反数，那么m的值为（　　） A．-1 B．1 C．0 D．±1 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系求解即可． 【详解】设的两个根为和， 由根与系数的关系可得：， 又知两个实数根互为相反数，则， 即，则． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，在解本题时一定要知道究竟是用哪个关系． 4．（2022·湖北咸宁·模拟预测）已知的两个根互为倒数，则k的值是（    ） A．0 B． C．1 D．1或 【答案】B 【分析】根据已知和根与系数的关系得出，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，即可求出符合题意的k的值． 【详解】解：设、是的两根， 由题意得：， 由根与系数的关系得：， ∴， 解得或， ∵方程有两个实数根， 则， 当时，， ∴不合题意，故舍去， 当时，，符合题意， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及相反数的定义，熟知根与系数的关系是解答此题的关键． 5．（23-24八年级下·山东济南·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设另一个根为，则，即可求解． 【详解】解：设另一个根为，则， 解得：， 故选：C． 6．（23-24八年级下·安徽六安·期末）一元二次方程满足，且方程有一个实数根为1，则另一个根是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一根为m， 则，解得：， 故选：D． 7．（23-24九年级上·云南昭通·期中）关于x的方程有两个相等的实数根，且满足，则m的值为（    ） A．或3 B． C．3 D．或1 【答案】B 【分析】此题考查根的判别式，根与系数的关系，解题关键在于得到m的方程．根据根与系数的关系，解方程；再由方程有两个相等的实数根得出，解方程；由相同的解得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得或， ∵方程有两个相等的实数根， ∴ 解得或 ∴综上， 故选B． 8．（23-24九年级上·山西阳泉·阶段练习）已知关于x的方程的两根分别为，，且满足，，则的值为（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得出，，从而可得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵x的方程的两根分别为，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系得出，是解题的关键． 9．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）若关于x的一元二次方程的两个根满足，则这个方程可以是 ．（写出一个符合要求的方程） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据，得出，注意所写的方程要有实数根，即可求解． 【详解】解：关于x的一元二次方程的两个根满足，则这个方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 10．（23-24八年级下·山东济宁·期末）已知是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)若，求及的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，再把化为，再代入计算即可； （2）由方程的解的含义可得，再根据一元二次方程根与系数的关系可得答案； 【详解】（1）解：∵是一元二次方程的两个实数根，， ∴ ∴， ； （2）解：把代入； ∴， 解得：； ∴方程为：， ∵， ∴； 11．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 12．（2024·广东广州·一模）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由可知，然后根据根与系数的关系代入计算即可；熟知一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式是关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， 经检验时，，符合题意； 故的值为 故选：C． 13．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程（）满足，且有两个相等的实数根，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解．熟练掌握、是的两根，则是解题的关键． 先根据题意得到一元二次方程的解为，再根据根与系数关系得到，从而可对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程（）满足，且有两个相等的实数根， ∴一元二次方程的解为， ∴， ∴， ∴， ∴，，，故A、B、C正确，不符合题意； ∵，故D错误，符合题意； 故选：D． 14．（23-24九年级上·河南南阳·期中）若非零实数，（）满足，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据非零实数，()满足，，得出是方程的解，再根据一元二次方程根根与系数的关系得出与的值，把算式变形代入计算即可，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵非零实数，()满足，， ∴是方程的解， ∴，， ∴， 故选：． 15．（2024九年级·全国·竞赛）定义：如果一元二次方程满足，那么我们就称这个方程为“凤凰”方程．若一个“凤凰”方程的其中一个根为2，则与这个“凤凰”方程的解完全相同的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，根据，即可判断. 【详解】解：由题意可知：这个“凤凰”方程的两根分别为1和2， ，． 选项A符合题意， 故选A. 16．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）m的取值范围是 ． （2）若满足，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解答此题的关键； （1）根据方程有两个不相等的实数根可知，求出的取值范围即可； （2）根据根与系数的关系得出与的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即，解得， 故答案为：； （2），是方程的两个实数根， ，． ， ，解得，（舍弃）． ， 故答案为：． 17．（23-24八年级下·山东济南·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为 ，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究． 定义： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)请你判断：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (3)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 【答案】(1)倍根方程 (2)c的值是8 (3)方程的两个根是，或， 【分析】（1）求出方程的解，再判断是否为倍根方程； （2）设方程的两个根为，，由倍根方程”的定义可知，利用根与系数的关系即可求得的值； （3）设一元二次方程，的两个实数根分别为、，由题意可知，或，，即可得到方程的根是2、4或、． 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”或“方根方程”的意义，理解“倍根方程”或“方根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】（1）解：解方程得： ，， ， 方程是倍根方程； 故答案为：“倍根方程”； （2）解：程的两个根为，， 一元二次方程是“倍根方程”， ， ，， ，， ， ； （3）解：元二次方程，的两个实数根分别为、， 这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”， ，， ， 解得或（舍去）， ， 或，， ， 解得或（舍去）， ， 这个方程的根是2、4或、． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$