2.1.3基本不等式的应用（2知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第一册）

2.1.3 基本不等式的应用 课程标准 学习目标 （1）掌握基本不等式 。结合具体实例, 能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。 （1）会利用基本不等式求积的最大值; （2）会利用解决生活中的最值问题.（难点) 知识点01 积定求和，和定求积 已知是正数，则 （1）如果积是定值，那么当且仅当时，和有最小值； （2）如果积是定值，那么当且仅当时，积有最大值。 【即学即练1】 若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】由于，则， 当且仅当时等号成立. 故选：B 知识点02 基本不等式在实际问题的应用 在基本不等式在实际问题中，首先要理解题意，找到各个变量之间的关系，再利用基本不等式进行求解，其中要注意变量在实际中的取值范围. 【即学即练2】 小王准备用的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长､宽才能使菜园的面积最大，则菜园面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式的应用即可求解. 【详解】设矩形菜园中平行于墙的边长度为，垂直于墙的边长度为，菜园面积， 则，当且仅当时取等号. 故选：A. 【题型一：基本不等式求积的最大值】 例1．已知正数x，y满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式可得，结合完全平方公式计算即可求解. 【详解】因为，即， 当且仅当时等号成立， 所以． 故选：C． 变式1-1．已知，且满足，则（    ） A．的最小值为48 B．的最小值为 C．的最大值为48 D．的最大值为 【答案】A 【分析】对给定式子合理变形，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意得，所以， 所以， 当且仅当时取等，此时，故A正确. 故选：A 变式1-2．已知，且，则（    ） A．有最小值8 B．有最小值 C．有最大值8 D．有最大值 【答案】A 【分析】根据基本不等式可得，即可由不等式的性质求解. 【详解】由可得，所以， 由于，且，则，故，当且仅当时取等号， 故，因此有最小值8， 故选：A 变式1-3．已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】因为，故，即， 当且仅当时，等号成立，所以. 故选：A. 变式1-4．正数满足，则的最大值为（    ） A．8 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】将平方，再结合基本不等式的求解即可. 【详解】解：因为 当，即时，等号成立， 又因为， 所以，时，等号成立. 故选：D. 【方法技巧与总结】 1 已知是正数，则 （1）如果积是定值，那么当且仅当时，和有最小值； （2）如果积是定值，那么当且仅当时，积有最大值。 2 和定求积，也要注意“一正二定三等”，解题方法也有直接法、凑项法、换元法等等. 【题型二：基本不等式在实际生活中的应用】 例2．某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. (1)求值； (2)将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； (3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ （注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 【答案】(1) (2) (3)该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元. 【分析】（1）依题意当时，代入计算可得； （2）依题意求出当年生产吨时，求出年生产成本和为年销售收入，从而可表示出食品的利润； （3）由（2）可得，利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）由题意可知，当时，，所以，解得； （2）由于，故， 由题意知，当年生产吨时，年生产成本为：， 当销售吨时，年销售收入为：， 由题意，， 即. （3）由（2）知：， 即 ， 当且仅当，又，即时，等号成立. 此时，. 该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元. 变式2-1．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg，则与20的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的黄金为克，右盘放的黄金为克， ，解得， ，当且仅当时，取到等号， 由于，所以. 故选：B 变式2-2．已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 【答案】B 【分析】由题意求出的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案. 【详解】由题意得，， 因为，故，， 即， 故选：B 变式2-3．两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（    ） A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定 【答案】B 【分析】根据基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意，为正数，且， 第一种方式购买的平均价格为， 第二种方式，设每次购买的花费为， 则购买的平均价格为， 由基本不等式得， 所以选第二种方式比较经济. 故选：B 变式2-4．杭州，作为2023年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点.已知购买台“机器狗”的总成本为 . (1)若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台? (2)现安排标明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是120米. 3台“机器狗”所用时间（单位:秒）分别为，，. “汪1”有一半的时间以速度（单位:米/秒） 奔跑，另一半的时间以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，其中，，且 则哪台机器狗用的时间最少? 请说明理由. 【答案】(1) (2)“汪1”用的时间最少，理由见解析 【分析】（1）平均成本为，利用比较不等式，即可求解函数的最值； （2）利用速度，时间和路程的关系，分别求解，，，再根据不等式，比较时间大小，即可求解. 【详解】（1）由题意，购买台“机器狗”的总成本为， 则每台机器狗的平均成本为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，若使每台“机器狗”的平均成本最低，应买台. （2）由题意，“汪1”满足，可得， “汪2”满足，可得， “汪3”满足， ，， 所以  ， 因为，，且， 所以可得， 则， 所以，所以 “汪1”用的时间最少. 【方法技巧与总结】 1 理解题意是解题的关键，求两个量之间的大小，可采取作差法活作商法，再利用基本不等式； 2 求某个量的最值，注意引入变量来表示所求量，再利用基本不等式求解，注意实际问题中变量的取值范围， 【题型三：基本不等式在几何中的应用】 例3．如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形的直角边长为，且直角三角形的周长为2.（已知正实数，都有，当且仅当时等号成立） (1)求直角三角形面积的最大值； (2)求正方形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到求解； （2）由，得到求解. 【详解】（1）解：由题意得：， 所以，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以直角三角形面积的最大值为； （2）因为， 所以， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以正方形面积的最小值为. 变式3-1．中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半.已知周长为12，，则此三角形面积最大时，=（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由秦九韶公式可得关于，的式子，再利用基本不等式求出得最大值时三角形各边长，再求． 【详解】由题可知，，可得， 则， 当且仅当时，取得等号， 所以此时三角形为等边三角形，故． 故选：C 变式3-2．如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理，构造函数，利用基本不等式即可求出最值. 【详解】如图，设，由矩形的周长为4，可知． 设，则．， ． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 所以． 所以的面积． 所以，当且仅当时， 即当时，的面积最大，面积的最大值为， 故选：B． 变式3-3．已知长为，宽为的长方形，如果该长方形的面积与边长为的正方形面积相等；该长方形周长与边长为的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为的正方形面积和周长的比相等，那么、、、大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，，，，然后利用基本不等式比较大小即可. 【详解】由题意可得，①，②，③，④，且， 由基本不等式的关系可知，，当且仅当时等号成立， 由①②得，，所以⑤， 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 由②③得，，所以⑥， 又，当且仅当时等号成立， 由①④得，，所以⑦，综合⑤⑥⑦可得，. 故选：D. 变式3-4．用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【答案】当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 【分析】以实际应用问题为情境，建立函数关系，利用函数最值的求法解出结果； 【详解】 设，上底， 分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则，， 则下底， 该等腰梯形的面积， 所以，则， 所用篱笆长为 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 【方法技巧与总结】 1 理解题意是解题的关键，求两个量之间的大小，可采取作差法活作商法，再利用基本不等式； 2 求某个量的最值，注意引入变量来表示所求量，再利用基本不等式求解，注意实际问题中变量的取值范围， 一、单选题 1． 已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式直接计算即可. 【详解】由题意得，，则， ，即， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 2.已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】利用基本不等式直接求出最大值. 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为3. 故选：D 3.已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的面积公式考虑设直角边为、，利用均值不等式解得最小值为. 【详解】设三角形的两条直角边长为、，可得， 三角形的周长为，当且仅当时取等号． 故选：C 4.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员现将的砝码放在天平的左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将的砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】根据杠杆原理可得，，进而可根据基本不等式求解. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，则有，，即 ，， 所以，， 又因为，所以. 故选：A 5.为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（    ）年． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】表示出平均利润，然后利用基本不等式求最值以及最值的成立条件. 【详解】平均利润为， 当且仅当，即时取最大值. 故选：A. 6. 某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买20克黄金，他要求先将10克的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将10克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金（    ） A．小于20克 B．不大于20克 C．大于20克 D．不小于20克 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设天平的左臂长为，右臂长为（不妨设）， 第一次称出的黄金重为，第二次称出的黄金重为， 由杠杆平衡的原理，可得，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以顾客所得的黄金不小于20克. 故选：D. 7.已知，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先变形，化简后换元，转化为关于的式子，利用基本不等式求最值. 【详解】， ， 设， 则， ， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 8.为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，P，C，D三点在圆弧上，中点恰好在圆心O，则当健身广场的面积最大时，的长度为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】 先设，然后将健身广场的面积表示为的函数，再使用基本不等式和二次函数的性质确定取得最大值时的取值，最后求出此时的长度. 【详解】如图，设半圆的半径是，并设，则，由知.    由于，故四边形和四边形都是上底为，下底为，高为的梯形. 所以，健身广场的面积. 从而，健身广场的面积最大的时候，恰好就是最大的时候，而我们又有： ，第一个不等号使用了基本不等式. 等号成立当且仅当且，即且. 由于时，故等号成立当且仅当. 以上结论表明，的最大值是，且取到最大值当且仅当. 由，我们得到当健身广场的面积最大时，的长度为. 最后，由是半圆的半径，再根据题目条件，知等于200米，所以的长度为米，D选项正确. 故选：D. 二、多选题 9． 已知，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】借助基本不等式逐项判断即可得. 【详解】对A：由，得，所以， 当且仅当时取等号，故A正确； 对B：由，得， 所以，当且仅当时取等号，故B错误； 对C：由，得， 所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对D：由，得， 所以，当且仅当时取等号，故D错误. 故选：AC. 10.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（  ） A．由题图（1）和题图（2）面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【答案】BCD 【分析】根据题图（1），（2）面积相等，可求得d的表达式，从而判断A选项的正误，由题意可求得题图（3）中，，的表达式，逐一分析B，C，D选项，即可得答案． 【详解】对于A，由题图（1），（2）面积相等得，所以，故A错误． 对于B，因为，所以，所以， 设题图（3）中内接正方形的边长为t，根据三角形相似可得，解得，所以． 因为，所以，整理可得，故B正确． 对于C，因为D为斜边的中点，所以， 因为，所以，整理得，故C正确． 对于D，因为，所以，整理得，故D正确． 故选：BCD 11.如图，四边形为梯形，其中，，且，为对角线的交点．有4条线段（、、、）夹在两底之间．表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），表示平行于两底且使梯形与梯形相似的线段，表示平行于两底且过点的线段，表示平行于两底且将梯形分为面积相等的两个梯形的线段．下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B． C．存在使得 D． 【答案】ABD 【分析】由梯形与梯形相似，求得，可判定A正确；由，结合和，求得，可判定B正确；由基本不等式得到，可判定C不正确；设梯形的面积分别为，结合，求得，结合，可判定D正确. 【详解】对于A中，由题梯形的中位线的性质，可得， 因为梯形与梯形相似，所以，可得， 当，可得，所以A正确； 对于B中，因为，所以， 所以，可得， 又由，可得， 可得，所以，所以B正确； 对于C中，由基本不等式知，，且时， 可得，又由，所以，所以C不正确； 设梯形的面积分别为，高分别为， 则，即， 解得， 根据题意知，解得，所以D正确. 三、填空题 12．已知正实数x，y满足，则xy的最大值为 ． 【答案】/0.5 【分析】利用已知条件结合基本不等式即可求解． 【详解】正实数x，y满足，所以，解得. 当且仅当，即时取等号，所以最大值为． 故答案为：． 13.某厂计划建造一个容积为，深为的长方体无盖水池.若池底的造价为元每平方米，池壁的造价为元每平方米，则这个水池的最低造价为 元. 【答案】 【分析】设水池池底的一边长为，则另一边长为，由题意表示出总造价的函数式，化简后可利用基本不等式求出最小值，注意判断取最值时的取值是否存在. 【详解】因为水池的容积为，深为，所以底面积为， 设水池池底的一边长为，则另一边长为， 则总造价 （元）. 当且仅当，即时，取最小值为. 所以水池的最低造价为元. 故答案为：. 14.若，，且，求的最大值为 ． 【答案】 【分析】观察题目已知式中与都是二次的，而所求式中是一次的，而且还带根号，如果把平方，则可得出相关性了.再用基本不等式解题即可． 【详解】因为 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 所以，故的最大值为. 故答案为：． 四、解答题 15．已知a，b是正实数，且，求的最大值． 【答案】 【分析】，换元得到，，由基本不等式求出，从而得到答案. 【详解】记，则，故， 其中， 当且仅当，即，等号成立，此时. 16.如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 【答案】(1) (2)纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 【分析】（1）由题意知，再代入化简即可； （2）利用基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）由题意，， . （2）， 当且仅当，即时等号成立， 所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 17.甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100（km/h），若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度的平方的倍，固定成本为元. (1)将全程运输成本（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶? 【答案】(1)，定义域为 (2)答案见解析 【分析】（1）由题意货车每小时的运输的可变成本为元，固定成本为a元，求和后乘以时间即可； （2）由（1）的结论，利用基本不等式求最小值作答. 【详解】（1）由题意得可变成本为元，固定成本为a元， 所用时间为， 则，定义域为． （2）由（1）得，当且仅当，即时取等号， 易知函数在上单调递减，在上单调递增. 又， 所以当时，货车以km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车以100km/h的速度行驶，全程运输成本最小． 18.如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设. 现规划了如下三项工程： 工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥； 工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元； 工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元. 记这三项工程的总造价为亿元. (1)求实数的取值范围； (2)问点在何处时，最小，并求出该最小值. 【答案】(1) (2)当点满足时，最小，最小值为亿元. 【分析】（1）由直角三角形地块全部修建为面积至少和直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园湿地公园，列不等式求解即可得出答案. （2）由题意可得，由基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园， 所以，解得： 直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园， 所以，解得：, 故实数的取值范围为. （2）依题意可得： ， 当且仅当，即时取等. 所以当点满足时，最小，最小值为亿元. 19．冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的百万元在第（，且）年产生的利润（单位：百万元），记这4百万元投资从2024年开始的第年产生的利润之和为. (1)比较与的大小； (2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求出，，再由作差法比较大小即可得出答案. （2）先求出两次投资在2027年产生的利润之和，再由基本不等式或判别式求出的最大值. 【详解】（1）表示2024年及2025年各投资2百万元， 由题意得， ， ， 所以. （2）两次投资在2027年产生的利润之和为百万元， 设2024年初投资百万元，则2025年初投资百万元， 2024年初投资的百万元在2027年产生的利润为（百万元）， 2025年初投资的百万元在2027年产生的利润为（百万元）， 所以. 解法一： ，设， 则，两边平方得， 由得，所以， 当时取等号. 所以，. 所以两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为百万元. 解法二： ， 当且仅当，即时取等号， 所以，两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为百万元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.3 基本不等式的应用 课程标准 学习目标 （1）掌握基本不等式 。结合具体实例, 能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。 （1）会利用基本不等式求积的最大值; （2）会利用解决生活中的最值问题.（难点) 知识点01 积定求和，和定求积 已知是正数，则 （1）如果积是定值，那么当且仅当时，和有最小值； （2）如果积是定值，那么当且仅当时，积有最大值。 【即学即练1】 若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 知识点02 基本不等式在实际问题的应用 在基本不等式在实际问题中，首先要理解题意，找到各个变量之间的关系，再利用基本不等式进行求解，其中要注意变量在实际中的取值范围. 【即学即练2】 小王准备用的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长､宽才能使菜园的面积最大，则菜园面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型一：基本不等式求积的最大值】 例1．已知正数x，y满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．已知，且满足，则（    ） A．的最小值为48 B．的最小值为 C．的最大值为48 D．的最大值为 变式1-2．已知，且，则（    ） A．有最小值8 B．有最小值 C．有最大值8 D．有最大值 变式1-3．已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 变式1-4．正数满足，则的最大值为（    ） A．8 B．3 C． D．4 【方法技巧与总结】 1 已知是正数，则 （1）如果积是定值，那么当且仅当时，和有最小值； （2）如果积是定值，那么当且仅当时，积有最大值。 2 和定求积，也要注意“一正二定三等”，解题方法也有直接法、凑项法、换元法等等. 【题型二：基本不等式在实际生活中的应用】 例2．某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. (1)求值； (2)将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； (3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ （注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 变式2-1．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg，则与20的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 变式2-2．已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 变式2-3．两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（    ） A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定 变式2-4．杭州，作为2023年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点.已知购买台“机器狗”的总成本为 . (1)若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台? (2)现安排标明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是120米. 3台“机器狗”所用时间（单位:秒）分别为，，. “汪1”有一半的时间以速度（单位:米/秒） 奔跑，另一半的时间以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，其中，，且 则哪台机器狗用的时间最少? 请说明理由. 【方法技巧与总结】 1 理解题意是解题的关键，求两个量之间的大小，可采取作差法活作商法，再利用基本不等式； 2 求某个量的最值，注意引入变量来表示所求量，再利用基本不等式求解，注意实际问题中变量的取值范围， 【题型三：基本不等式在几何中的应用】 例3．如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形的直角边长为，且直角三角形的周长为2.（已知正实数，都有，当且仅当时等号成立） (1)求直角三角形面积的最大值； (2)求正方形面积的最小值. 变式3-1．中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半.已知周长为12，，则此三角形面积最大时，=（   ） A． B． C． D． 变式3-2．如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 变式3-3．已知长为，宽为的长方形，如果该长方形的面积与边长为的正方形面积相等；该长方形周长与边长为的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为的正方形面积和周长的比相等，那么、、、大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式3-4．用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【方法技巧与总结】 1 理解题意是解题的关键，求两个量之间的大小，可采取作差法活作商法，再利用基本不等式； 2 求某个量的最值，注意引入变量来表示所求量，再利用基本不等式求解，注意实际问题中变量的取值范围， 一、单选题 1． 已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 2.已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．3 3.已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 4.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员现将的砝码放在天平的左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将的砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则（    ） A． B． C． D．以上都有可能 5.为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（    ）年． A．7 B．8 C．9 D．10 6. 某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买20克黄金，他要求先将10克的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将10克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金（    ） A．小于20克 B．不大于20克 C．大于20克 D．不小于20克 7.已知，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8.为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，P，C，D三点在圆弧上，中点恰好在圆心O，则当健身广场的面积最大时，的长度为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 二、多选题 9． 已知，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 10.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（  ） A．由题图（1）和题图（2）面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 11.如图，四边形为梯形，其中，，且，为对角线的交点．有4条线段（、、、）夹在两底之间．表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），表示平行于两底且使梯形与梯形相似的线段，表示平行于两底且过点的线段，表示平行于两底且将梯形分为面积相等的两个梯形的线段．下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B． C．存在使得 D． 三、填空题 12．已知正实数x，y满足，则xy的最大值为 ． 13.某厂计划建造一个容积为，深为的长方体无盖水池.若池底的造价为元每平方米，池壁的造价为元每平方米，则这个水池的最低造价为 元. 14.若，，且，求的最大值为 ． 四、解答题 15．已知a，b是正实数，且，求的最大值． 16.如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 17.甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100（km/h），若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度的平方的倍，固定成本为元. (1)将全程运输成本（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶? 18.如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设. 现规划了如下三项工程： 工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥； 工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元； 工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元. 记这三项工程的总造价为亿元. (1)求实数的取值范围； (2)问点在何处时，最小，并求出该最小值. 19．冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的百万元在第（，且）年产生的利润（单位：百万元），记这4百万元投资从2024年开始的第年产生的利润之和为. (1)比较与的大小； (2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$