8.2.1 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第一课时）课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.2一元线性回归模型及其应用 通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图和样本相 关系数，可以推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关， 以及线性相关程度的强弱等.进一步地，如果能像建立函数模型刻画两 个变量之间的确定性关系那样，通过建立适当的统计模型刻画两个随机 变量的相关关系，那么我们就可以利用这个模型研究两个变量之间的随 机关系，并通过模型进行预测。 下面我们研究当两个变量线性相关时，如何利用成对样本数据建立统计 模型，并利用模型进行预测的问题. 8.2.1一元线性回归模型参数的最小二乘估计 (第一课时) 一、课前回顾 1某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表所示 年收入x/万元 2 6 6 6 78 10 年饮食支出y万元 0.9 1.41.62.02.11.91.82.12.22.3 根据表中数据，判断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并刻画它们的相关程度 3 2 1 012345678910x 解：先画出散点图，观察散，点图，可以看出样本点都集中在一条直线的附近，由此可以判断家庭 的年收入和年饮食支出线性相关.作散点图如图所示根据样本相关系数的定义，可得 10 10 (x-x)y1-) ?2x1077 2=1 2-1 002102、 10 10 10 10 -1072 7-1 10 10 10 因为7=6,7=1.83，？？=406，？？号=35.13，？xw=117.7, =1 2=1 2=1 代入①得r= 117.7-106@1.83 0.91, √406-10回62回V35.13-10☑1.832 所以可以推断出家庭年收入和年饮食支出正线性相关，且相关程度很强 二、学习目标 1.了解一元线性回归模型及随机误差. 2.了解一元线性回归模型、残差、残差分析的概念. 3.了解最小二乘法的思想方法，会求经验回归方程， 并用回归方程进行预报 三、自学指导 105页到112页完成下列问题与例题 生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还是 正相关，即父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高.为了进一步研 究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高， 得到的数据如表8.2-1所示. 表8.2-1 编号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 利用前面表示数据的方法，以横轴表示父亲身高、纵轴表示儿子身高建 立直角坐标系，再将表8.2-1中的成对样本数据表示为散点图，如图8.2-1 所示.可以发现，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近， 表明儿子身高和父亲身高线性相关.利用统计软件，求得样本相关系数 为，表明儿子身高和父亲身高正线性相关，且相关程度较高. 儿子身高/cm 190 185 180 175 170 165 父亲身高/cm 160 160 165 170 175 180 185 图8.2-1 思考 根据表8.2-1中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以 用函数模型刻画吗？ 在表8.2-1的数据中，存在父亲身高相同而儿子身高不同的情况例如，第6个和 第8个观测的父亲身高均为172cm,而对应的儿子身高分别为176cm和174cm: 同样，第3,4两个观测中，儿子身高都是170cm,而父亲身高分别为173cm 和169cm.可见儿子身高和父亲身高之间不是函数关系，也就不能用函数模 型刻画图8.2-1中的散点大致分布在一条直线附近，表明儿子身高和父亲身高 这两个变量之间有较强的线性相关关系，因此我们可以用一次函数来刻画父 亲身高对儿子身高的影响，而把影响儿子身高的其他因素，如母亲身高、生 活环境、饮食习惯等作为随机误差，得到刻画两个变量之间关系的线性回归 模型其中，随机误差是一个随机变量. 编号 10 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 用x表示父亲身高，Y表示儿子身高，e表示随机误差.假定随机误差的 均值为0，方差为与父亲身高无关的定值，则它们之间的关系可以表示 Y=bx+a+e, 为 (1) E(e)=0,D(e)=o2 我们称(I)式为Y关于x的一元线性回归模型(simple linear regression model)·其中，称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量； a 和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之 间的随机误差，模型中的Y也是随机变量，其值虽然不能由变量x的值确 定，但是却能表示为bx+a与e的和（叠加），前一部分由x所确定，后一部 分是随机的.如果=0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来 描述. 为什么假设E(e)=0,而不假设其为某个不为0的常数？