4.2.2等差数列的前n项和公式（第一课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2 等差数列的前n项和 第一课时 1.等差数列的性质：若已知am,an,求ap, (1)可以直接利用等差数列的通项公式列方程组,求出首项a1和公差d后再求ap; (2)也可以利用等差数列通项公式的推广公式求解,即用d= 直接求解; 课前回顾 2、下标和公式： 1、若等差数列{an}的公差为2,则数列{3an-2}的公差为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:(1)∵数列{an}的公差为2, ∴数列{3an-2}的公差为3×2=6. 答案:D　 2、在等差数列{an}中,若a2+a8=10,则(a4+a6)2-2a5=(　　) A.100 B.90 C.95 D.20 解析:在等差数列{an}中, ∵a2+a8=10,∴a2+a8=2a5=10,解得a5=5. ∴(a4+a6)2-2a5=(2a5)2-2a5=100-10=90. 答案:B 学习目标 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列前n项和公式及其应用. 前面我们学习了等差数列的概念和通项公式，下面我们将利用这些知识解决等差数列的求和问题． 据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： 自学指导 你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗？ 倒序相加法 公式与梯形面积： 补成平形四边形 分割成一个平行四边形和一个三角形 两个公式的共同已量是a1和n,不同的已知量是: 公式（1）已知an; 公式（2）已知d . 已知三个量就可以求出Sn ， 我们要根据具体题目，灵活采用这两个公式。 an=a1+(n-1)d (n-1)d 梯形的面积等于中位线乘以高. 知三求二 例1 例1 反思感悟 a1,n,d称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,n,d,an,Sn中可知三求二,一般是通过通项公式和前n项和公式列出关于基本量a1和d的方程(组)求解,这种方法是解决数列问题的基本方法.在具体求解过程中应注意整体代换思想的运用,以便简化计算. 【变式训练1】 根据下列条件求等差数列的前n项和. (1)a1=1,a10=21,n=10; (2)a1=100,d=-2,n=50; (3)a1=2,an=32,d=2. 所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差． 一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定． 例2 【变式训练2】 已知数列{an}是等差数列, (1)若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求公差d; (2)若a2+a5=19,S5=40,求a10; (3)若a4=9,a9=-6,Sn=63,求n的值. (2)(方法一)设数列{an}的公差为d, 所以a10=a1+9d=29. (方法二)设数列{an}的公差为d,由S5=5a3=40,得a3=8. 所以a2+a5=a3-d+a3+2d=2a3+d=16+d=19, 得d=3. 所以a10=a3+7d=8+3×7=29. 解得n=6或n=7. 图4.2-3中的电子表格A列中A1，A2，A3分别表示p，q，r的值，B列、C列中分别是相应的Sn和an的值. 判断一个数列是等差数列的方法： （4）前n项和法 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-3n+104, 由n=1也适合上式, 得数列{an}的通项公式为an=-3n+104(n∈N*). 当n≥35时, Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an| =(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an) =2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an) =2S34-Sn 反思感悟 求数列{|an|}的前n项和需注意以下问题 (1)给出数列{an},要求数列{|an|}的前n项和,关键是分清n取什么值时an≥0或an<0. (2)当{an}的各项都为非负数时,{|an|}的前n项和等于{an}的前n项和;当{an}的各项都为非正数时,{|an|}的前n项和等于{an}的前n项和的相反数;当{an}的某些项为正,某些项为负时,要对n进行分类讨论,转化为{an}的前n项和求解,其结果用分段函数表示. 【变式训练3】 在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和. 故an=a1+(n-1)d=-60+3(n-1)=3n-63. 令an<0,即3n-63<0,n<21,得等差数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项是非负数.设Sn和S'n分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和. 1.在等差数列{an}中,已知a1=3,d=2,则S10等于(　　) A.120 B.240 C.180 D.280 答案:A 2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于(　　) A.13 B.35 C.49 D.63 解析:∵a2+a6=a1+a7=14, 答案:C 当堂检测（优化） 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5=12,则S9=　　　　　.  解析:由等差数列的性质可得a1+a9=2a5. 答案:108 4.已知{an}是等差数列,a1+a3+a5=9,a6=9,求此数列前10项的和. 解:设数列{an}的公差为d. ∵a1+a3+a5=3a3=9, 课堂小结 1、 等差数列前n项和公式 2、a1,n,d称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,n,d,an,Sn中可知三求二,一般是通过通项公式和前n项和公式列出关于基本量a1和d的方程(组)求解. 3、求数列{|an|}的前n项和 需注意给出数列{an},要求数列{|an|}的前n项和,关键是分清n取什么值时an≥0或an<0. 第22页 课后作业（课本） 6．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261．求此数列中间一项的值以及项数． ∴此数列中间一项的值为29，项数为19． 7．（1）求从小到大排列的前n个正偶数的和． （2）求从小到大排列的前n个正奇数的和． （3）在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和． （4）在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？ 3．（3）在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和． （4）在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？ （4）小于100的正整数中被7除余2的最小数为2，最大数为93，这些数构成以2为首项，7为公差的等差数列． 7 B 解:(1)由Sn=,知S10==22×5=110. (2)由Sn=na1+d,知S50=50×100+×(-2)=2 550. (3)∵an=a1+(n-1)d,∴32=2+(n-1)×2,得n=16, ∴S16==272. 解:(1)因为an=a1+(n-1)d,Sn=na1+d, 又a1=1,an=-512,Sn=-1 022, 所以 解得n=4,d=-171. 由已知可得解得a1=2,d=3. (3)设数列{an}的公差为d,则解得 故63=Sn=18n-n(n-1). 【例3】 已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,求数列{|an|}的前n项和Tn. 解:a1=S1=-×12+×1=101, 由an=-3n+104≥0,得n≤34. 即当n≤34时,an>0;当n≥35时,an<0. 当n≤34时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n; =2 =n2-n+3 502. 故Tn= 解:等差数列{an}的公差d==3, 当n≤20时,S'n=-Sn=-=-n2+n; 解析:S10=10a1+d=10×3+45×2=120. ∴S7==49. 故S9==9a5=108. ∴a3=3,∴解得 ∴S10=10×(-1)+×2=80. $$