7.3.1 离散型随机变量的均值 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3.1　离散型随机变量的均值 第七章　随机变量及其分布 人教A版 数学 选择性必修第三册 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 学习单元3　离散型随机变量的数字特征 对随机变量,除了解其可能的取值及取值的概率外,在实际决策中,还需用一些“数值”刻画随机变量取值在某些方面的特征.如用均值刻画随机变量取值的平均水平,用方差刻画随机变量取值相对于其均值的离散程度,这些数值统称为随机变量的数字特征.通过本单元的学习,领悟利用均值、方差决策的思想方法,并了解均值、方差决策的局限性. 本学习单元的主要内容为离散型随机变量均值和方差的意义、定义(计算公式)、性质及应用.具体内容结构如下图所示: 根据频率估计概率的原理,引入离散型随机变量的均值的概念,揭示其意义,类比一组数据方差的定义以及随机变量均值的定义,引入随机变量方差的定义,最后在实际决策中应用随机变量的均值和方差来解决问题. 学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念和性质,能计算简单离散型随机变量的均值.(数学运算) 2.掌握两点分布的均值.(数学运算) 3.会利用离散型随机变量的均值,解决一些相关的实际问题.(逻辑推理) 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　离散型随机变量的均值 一般地,若离散型随机变量X的分布列如下表所示, X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)=　　　　　　　　　=　　　　　　　　　　为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.  x1p1+x2p2+…+xnpn 名师点睛 均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”,这是随机变量X的一个重要特征,它反映的是随机变量取值的平均水平. 微思考 随机变量X的均值E(X)计算公式E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn,类似于初中统计中什么量的运算? 提示 E(X)的运算类似于初中统计中加权平均数的运算. 知识点2　两点分布的均值 一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么 E(X)=　　　　　　　　=　　.  微思考 已知离散型随机变量X的取值为-1和1,且P(X=1)=p,则该随机变量服从两点分布吗?该随机变量的均值是多少? 0×(1-p)+1×p p 提示 不服从,因为服从两点分布的随机变量只取0和1,否则不是两点分布.问题中的均值可以根据均值的定义得p-(1-p)=2p-1. 知识点3　离散型随机变量均值的性质 一般地,下面的结论成立:E(aX+b)=　　　　　.  微思考 举出实例说明离散型随机变量均值的性 质E(aX+b)=aE(X)+b. aE(X)+b 提示 以考试平均分来说明.若每个同学的得分+5分,则平均分必然提高5分,说明E(X+b)=E(X)+b;若每个同学的得分都乘以1.2倍,则平均分必然提高为原来的1.2倍,说明E(aX)=aE(X);若每个同学的得分都乘以1.2倍,同时再加上5分,则平均分也必然变成原来的1.2倍再加上5分,即说明E(aX+b)=aE(X)+b. 重难探究·能力素养速提升 问题1离散型随机变量的分布列全面地刻画了随机变量的取值规律,但在解决有些实际问题时,直接使用分布列并不方便.类似于研究一组数据的平均数和方差,对于离散型随机变量分布列,我们能研究什么?有何意义? 探究点一 求离散型随机变量的均值 问题2如何衡量一个离散型随机变量的整体水平? 【例1】 袋中有4个红球、3个白球,从袋中随机取出4个球.设取出一个红球得2分,取出一个白球得1分,试求得分X的均值. 解 X的所有可能取值为5,6,7,8. 当X=5时,表示取出1个红球、3个白球, 规律方法　求离散型随机变量均值的步骤 (1)确定离散型随机变量X的取值. (2)写出分布列,并检查分布列的正确与否. (3)根据公式求出均值. 探究点二 离散型随机变量的均值的性质 问题3对于构造的新的离散型随机变量,其均值有何性质?此性质有何意义? 【例2】 已知随机变量X的分布列为 规律方法　离散型随机变量均值的性质有关问题的解题思路 若给出的随机变量Y与X的关系为Y=aX+b,a,b为常数,一般思路是先求出E(X),再利用公式E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b求E(Y).也可以利用X的分布列得到Y的分布列,关键是由X的取值计算Y的取值,对应的概率相等,再由定义法求得E(Y). 探究点三 均值的简单应用 问题4如何利用离散型随机变量的均值来解决实际问题? 【例3】 随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润为X(单位:万元),用频率估计概率. (1)求X的分布列; (2)求1件产品的平均利润(即X的均值); (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少? X 6 2 1 -2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34. (3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E(X)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x(0<x<0.29), 依题意,知E(X)≥4.73,即4.76-x≥4.73, 解得x≤0.03,所以三等品率最多为3%. 规律方法　解答应用类问题时,首先把问题概率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相应概率. 本节要点归纳 1.知识清单:(1)离散型随机变量的均值;(2)两点分布的均值;(3)均值的简单应用. 2.方法归纳:转化与化归. 3.常见误区:(1)对于服从两点分布的随机变量取值不明确;(2)不会应用均值对实际问题作出正确分析. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 级 必备知识基础练 1.若离散型随机变量X的分布列为 则X的均值E(X)=(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.设随机变量X的分布列如表,且E(X)=1.6,则a-b等于(　　) X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4 C 解析 易知a,b∈[0,0.8], 由0.1+a+b+0.1=1,得a+b=0.8.① 又由E(X)=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6,得a+2b=1.3,② 由①②,解得a=0.3,b=0.5,则a-b=-0.2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.若随机变量X的分布列如下表,则E(5X+4)=(　　) X 0 2 4 P 0.3 0.2 0.5 A.16 B.11 C.2.2 D.2.3 A 解析 由题中表格可求E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.4+4=16.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.某射手射击所得环数ξ的分布列如下. ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的均值E(ξ)=8.9,则y的值为　　　　.  0.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),E(X)=3,则a=　　　,b=　　　.  0 解析 易知E(X)=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)+4×(4a+b)=3,即30a+10b=3.① 又(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1, 即10a+4b=1,② 由①②,得a= ,b=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的均值为(　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和均值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解 (1)由题意知,参加集训的男生、女生各有6名. 参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为 (2)根据题意,X的可能取值为1,2,3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 级 关键能力提升练 9.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且此人游览哪个景点互不影响,设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值,则E(ξ)=(　　) A.1.48 B.0.76 C.0.24 D.1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析 随机变量ξ的取值有1,3两种情况,ξ=3表示三个景点都游览了或都没有游览,所以P(ξ=3)=0.4×0.5×0.6+0.6×0.5×0.4=0.24,P(ξ=1)=1-0.24=0.76,所以随机变量ξ的分布列为 E(ξ)=1×0.76+3×0.24=1.48. ξ 1 3 P 0.76 0.24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.从一批含有13件正品、2件次品的产品中不放回地抽3次,每次抽取1件,设抽取的次品数为ξ,则E(5ξ+1)=(　　) A.2 B.1 C.3 D.4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.(多选题)设p为非负实数,随机变量X的分布列为 则下列说法正确的是(　　) AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(多选题)已知随机变量ξ的分布列是 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.袋中原有3个白球和2个黑球,每次从中任取2个球,然后放回2个黑球.设第一次取到白球的个数为ξ,则E(ξ)=　　　,第二次取到1个白球1个黑球的概率为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.甲、乙、丙三人进行传球游戏,每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式:当球在甲手中时,若骰子点数大于3,则甲将球传给乙,若点数不大于3,则甲将球保留;当球在乙手中时,若骰子点数大于4,则乙将球传给甲,若点数不大于4,则乙将球传给丙;当球在丙手中时,若骰子点数大于3,则丙将球传给甲,若骰子点数不大于3,则丙将球传给乙.初始时,球在甲手中. (1)求投掷3次骰子后球在乙手中的概率; (2)设前三次投掷骰子后,球在甲手中的次数为X,求随机变量X的分布列和数学期望. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 xipi ∴P(X=5)=; 当X=6时,表示取出2个红球、2个白球, ∴P(X=6)=; 当X=7时,表示取出3个红球、1个白球, ∴P(X=7)=; 当X=8时,表示取出4个红球, ∴P(X=8)=则X的分布列为 X 5 6 7 8 P ∴E(X)=5+6+7+8 X -2 -1 0 1 2 P m 若Y=aX+3,且E(Y)=-,求a的值. 解 由随机变量分布列的性质,得+m+=1,解得m=,故E(X) =(-2)+(-1)+0+1+2=-E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=-a+3 =-,解得a=15. 解 (1)X的所有可能取值有6,2,1,-2, P(X=6)==0.63, P(X=2)==0.25, P(X=1)==0.1, P(X=-2)==0.02. 故X的分布列为 X 0 1 P A.2 B.2或 C. D.1 解析 由分布列的性质知,=1,解得a=1或a=-2(舍去). 所以E(X)=0+1 解析 由 解得y=0.4. A. B. C.2 D. 解析 依题意X=2,3,所以P(X=2)=,P(X=3)=, 所以E(X)=2+3 7.甲、乙、丙三人各打靶一次,若甲打中的概率为,乙、丙打中的概率均为(0<t<4),若甲、乙、丙都打中的概率是,设X表示甲、乙两人中中靶的人数,则X的均值是(　　) A. B. C.1 D. 解析 ,∴t=3(t=-3舍去). 记X的所有可能取值为0,1,2,则分布列为 X 0 1 2 P ∴E(X)=0+1+2 因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1- P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)= 所以X的分布列为 X 1 2 3 P E(X)=1+2+3=2. 解析 由题意可知ξ的取值分别为0,1,2, ∴P(ξ=0)=; P(ξ=1)=; P(ξ=2)= ∴E(ξ)=0+1+2 ∴E(5ξ+1)=5E(ξ)+1=3. 故选C. X 0 1 2 P -p p A.p∈0, B.E(X)最大值为 C.p∈0, D.E(X)最大值为 解析 由表可得解得p∈[0,],均值E(X)=0×(-p)+1×p+2 =p+1,当且仅当p=时,E(X)取最大值,最大值为 ξ -1 0 2 P cos α 其中α∈0,,则下列表述正确的是(　　) A.+cos α=1 B.cos α= C.E(ξ)=1 D.sin α= 解析 对于A,由随机变量的分布列的性质, 得+cos α=1; 对于B,由+cos α=1,得sin α+2cos α=2,联立得5cos2α-8cos α+3=0,解得cos α=或cos α=1(舍去); 对于D,因为α∈(0,),则sin α=; 对于C,E(ξ)=-+2cos α=-+2=1. 解析 由题意得ξ的可能取值为0,1,2,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=, P(ξ=2)=,故E(ξ)=0+1+2 第二次取到1个白球1个黑球的概率为 P= 解 (1)由题可得,甲传给乙的概率为,甲保留的概率为,乙传给甲的概率为,乙传给丙的概率为,丙传给甲的概率为,丙传给乙的概率为(1)若投掷3次骰子后球在乙手中,分三种情况: ①第一次甲保留,第二次甲保留,第三次甲传给乙,其概率为P1=()3=; ②第一次甲传给乙,第二次乙传给甲,第三次甲传给乙,其概率为 P2=; ③第一次甲传给乙,第二次乙传给丙,第三次丙传给乙,其概率为 P3= 所以投掷3次骰子后球在乙手中的概率为P=P1+P2+P3= (2)由题意得,X的可能取值为0,1,2,3,则P(X=3)=()3=, P(X=2)=()3+, P(X=1)=, P(X=0)=, 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)=0+1+2+3 $$