专题4.1 指数与指数函数（考点精讲）-【中职专用】2025年春季高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

专题4.1 指数与指数函数 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：根式与分数指数幂的互化 3 考点二：指数幂的运算 3 考点三：指数函数 4 考点四：指数函数的应用 4 【考纲要求】 1. 理解根式的概念，掌握根式的性质，进行根式与分数指数幂的互化； 2.掌握实数指数幂的运算法则，能利用计算器求实数指数幂的值； 3. 理解指数函数的概念，掌握其图像与性质； 4. 能运用指数函数的知识解决有关问题. 【考向预测】 1.根式与分数指数幂的互化 2.指数幂及其运算 3.指数函数的图像与性质 4.指数函数的应用 【知识导图】 【知识清单】 1.指数幂的性质与运算 (1)根式 ①定义：如果，那么.式子叫作根式，n叫作根指数，a叫作被开方数. ②根式的性质 1)为任意正整数，; 2)当为奇数时，，当为偶数时，; 3)零的任何正整数次方根为零，负数没有偶次方根. (2)指数幂的性质 ①零次幂：； ②负数指数幂： ； ③正分数指数幂： ； ④负分数指数幂： ； (3)实数指数幂的运算法则 ① ② ③ ④（） 特别提醒：1.进行幂运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数； 2.一般将每个数都化为最小的一个数的次方 2.指数函数的图像与性质 函数 指数函数 底数a的范围 图像 左右无限上冲天， 永与横轴不沾边. 大一增，小一减， 图像恒过点 定义域 R 值域 定点 性质 (1) 在R上是增函数 (2) 当时，， 当时，. (1) 在R上是减函数 (2) 当时，， 当时，. (1) 底数互为倒数的两个指数函数，图像关于y轴对称； (2) 底数的大小关系：“大大近，小小近”（y轴右侧第一象限内图像从上到下底数越来越小）. 【考点分类剖析】 考点一：根式与分数指数幂的互化 例1．化简： ． 【变式探究】用有理数指数幂的形式表示： ． 考点二：指数幂的运算 例2．对于任意实数a，下列等式中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式探究】计算 . 例3．若，，则 ． 【变式探究】若满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点三：指数函数 例4.下列函数中， 是指数函数． ①；②；③；④；⑤（是常数）；⑥． 【变式探究】若函数为指数函数，则 ． 例5.已知函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知指数函数的图像过点，则 . 例6.已知函数的图象经过第一、二、三象限. (1)求的取值范围； (2)求的取值范围. 【变式探究】已知指数函数且，经过点． (1)求的解析式及的值； (2)若，求的取值范围． 考点四：指数函数的应用 例7. Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：（其中，为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现.若表示该新产品今年的年产量，估计明年的产量将是今年的倍，那么的值为（为自然数对数的底数）（    ） A． B． C． D． 【变式探究】某种化学物质的衰变满足指数函数模型，每周该化学物质衰减，则经过周后，该化学物质的存量低于该化学物质的，则的最小值为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 指数与指数函数 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：根式与分数指数幂的互化 3 考点二：指数幂的运算 4 考点三：指数函数 5 考点四：指数函数的应用 7 【考纲要求】 1. 理解根式的概念，掌握根式的性质，进行根式与分数指数幂的互化； 2.掌握实数指数幂的运算法则，能利用计算器求实数指数幂的值； 3. 理解指数函数的概念，掌握其图像与性质； 4. 能运用指数函数的知识解决有关问题. 【考向预测】 1.根式与分数指数幂的互化 2.指数幂及其运算 3.指数函数的图像与性质 4.指数函数的应用 【知识导图】 【知识清单】 1.指数幂的性质与运算 (1)根式 ①定义：如果，那么.式子叫作根式，n叫作根指数，a叫作被开方数. ②根式的性质 1)为任意正整数，; 2)当为奇数时，，当为偶数时，; 3)零的任何正整数次方根为零，负数没有偶次方根. (2)指数幂的性质 ①零次幂：； ②负数指数幂： ； ③正分数指数幂： ； ④负分数指数幂： ； (3)实数指数幂的运算法则 ① ② ③ ④（） 特别提醒：1.进行幂运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数； 2.一般将每个数都化为最小的一个数的次方 2.指数函数的图像与性质 函数 指数函数 底数a的范围 图像 左右无限上冲天， 永与横轴不沾边. 大一增，小一减， 图像恒过点 定义域 R 值域 定点 性质 (1) 在R上是增函数 (2) 当时，， 当时，. (1) 在R上是减函数 (2) 当时，， 当时，. (1) 底数互为倒数的两个指数函数，图像关于y轴对称； (2) 底数的大小关系：“大大近，小小近”（y轴右侧第一象限内图像从上到下底数越来越小）. 【考点分类剖析】 考点一：根式与分数指数幂的互化 例1．化简： ． 【答案】 【分析】根据根式与指数幂的互化与指数幂的运算公式化简可得解. 【详解】， 故答案为：. 【变式探究】用有理数指数幂的形式表示： ． 【答案】 【分析】根据根式与分数指数幂转化，后用指数幂性质即可. 【详解】原式 故答案为：． 考点二：指数幂的运算 例2．对于任意实数a，下列等式中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数的运算的条件计算即可. 【详解】选项A、B中a的条件限制为C中的a的条件限制为 故选：D. 【变式探究】计算 . 【答案】/ 【分析】由分数指数幂以及根式的运算即可求解. 【详解】. 故答案为：. 例3．若，，则 ． 【答案】180 【分析】由指数的运算求解即可. 【详解】. 故答案为：180 【变式探究】若满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两边底数化为同样，得到，对应相等，得出方程，解方程即可. 【详解】，得，得，得，解得. 故选：C. 考点三：指数函数 例4.下列函数中， 是指数函数． ①；②；③；④；⑤（是常数）；⑥． 【答案】① 【分析】由题意利用指数函数的定义，得出结论 【详解】根据指数函数的定义形如：(其中为常数，且)，则①为指数函数， 中正负不确定，故其余的都不是指数函数. 故答案为：① 【变式探究】若函数为指数函数，则 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的定义得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为函数为指数函数， 所以且且，解得. 故答案为： 例5.已知函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的图象过点，求出a的值，即可求得答案. 【详解】由题意可知， 所以， 故选：C. 【变式探究】已知指数函数的图像过点，则 . 【答案】 【分析】设指数函数，代入点的坐标待定，再代入解析式求值. 【详解】设，且， 由函数的图像过点， 则，又，解得， 所以， 则. 故答案为：. 例6.已知函数的图象经过第一、二、三象限. (1)求的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合指数函数性质分析求解即可； （2）可知在上单调递增，结合单调性求值域. 【详解】（1）因为的图象经过第一、二、三象限， 则，解得， 所以的取值范围为. （2）由题意可知：在上单调递增，且， 可得，即. 所以. 【变式探究】已知指数函数且，经过点． (1)求的解析式及的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由指数函数所过点求解析式，再求对应函数值即可； （2）根据指数函数的单调性求解集. 【详解】（1）指数函数经过点，则且，得， 故，则. （2）因为，即， 又函数在R上是增函数，有，解得， 所以x取值范围为. 考点四：指数函数的应用 例7. Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：（其中，为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现.若表示该新产品今年的年产量，估计明年的产量将是今年的倍，那么的值为（为自然数对数的底数）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得到，分别代入、，得到和的值，进而得到，求解即可. 【详解】由，得到， 当时，； 当时，. 依题意，明年的产量将是今年的倍，得：， ，即，解得. ，. 故选：A. 【变式探究】某种化学物质的衰变满足指数函数模型，每周该化学物质衰减，则经过周后，该化学物质的存量低于该化学物质的，则的最小值为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该化学物质最初的质量为，经过周后，该化学物质的存量为，根据题意可得出，结合指数函数的单调性、换底公式可求得的最小值. 【详解】设该化学物质最初的质量为，经过周后，该化学物质的存量为， 由题意可得，即，可得， 所以，， 故正整数的最小值为. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$