第四章 指数函数与对数函数（测）-【中职专用】2025年春季高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

第四章 指数函数与对数函数 一、选择题（本大题共20小题，每题3分，共60分.在每小题所列的四个选项中，只有一项符号题目要求.） 1．给定函数①；②；④，其中在区间上单调递减的函数序号是 A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 2.下列说法中错误的是（    ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可化为对数式 C．以10为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数 3.下列运算结果中正确的为 A． B． C． D． 4．已知集合，则 A． B． C． D． 5.计算的值为（    ） A． B． C． D．1 6.已知，则（ ） A． B． C． D． 7.下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 8.下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 9.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 11．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 12．若函数的图象不经过第二象限，则有 A． B． C． D． 13．函数的图象是（ ） A． B． C． D． 14． （ ） A．2 B． C． D． 15．随着社会的发展，城市环境污染问题日益严重，某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量 W(mg/L)与时间t(h)的关系为 其中 W₀为初始污染物的数量，r为常数. 若在某次过滤过程中，前3个小时过滤掉了污染物的20%，则经过9小时后剩余的污染物是初始状态的（    ） A．24% B．76% C．48.8% D．51.2% 16．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 17.若 ，则的取值范围是 A． B． C． D． 18．已知函数=满足则的解集是 A． B． C． D． 19．已知函数＝的值域为R，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 20．为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2000万元，在此基础上，以后每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是（参考数据：，）（    ） A．2030年 B．2029年 C．2028年 D．2027年 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 21．的值为 . 22.求值： 23．已知用a,b表示= 24．函数，的最小值为 . 25.已知是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则= . 3、 解答题（本大题共5小题，每题8分，共40分） 26.计算：（1） （2） 27.已知函数，求的取值范围． 28．已知函数.若函数的定义域为，求的取值范围； 29．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，求a的取值范围． 30.设且，函数的图象过点. (1)求的值及函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性并给出证明； (3)解不等式：. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 指数函数与对数函数 一、选择题（本大题共20小题，每题3分，共60分.在每小题所列的四个选项中，只有一项符号题目要求.） 1．给定函数①；②；④，其中在区间上单调递减的函数序号是 A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】C 【详解】试题分析：①函数在定义域内单调递增；②在区间上单调递减；③在上单调递减；④在单调递增. 故选：C. 2.下列说法中错误的是（    ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可化为对数式 C．以10为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数 【答案】B 【分析】根据对数的性质、定义、常用对数的定义、自然对数的定义进行判断即可. 【详解】由对数的概念知，指数式中，只有，且的指数式才可以化为对数式，因此零和负数没有对数，把以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数， 故选：B 3.下列运算结果中正确的为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质和法则逐个分析判断即可. 【详解】对于A，，所以A错误， 对于B，，而，所以B错误， 对于C，0的0次幂没有意义，当时,无意义，所以C错误， 对于D，由幂的乘方可得，所以D正确， 故选D. 4．已知集合，则 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以.故选D. 5.计算的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】利用指数对数运算法则直接计算得到答案. 【详解】 故选： 6.已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：由指数函数与对数函数的图象与性质，可知， ，所以，故选B 7.下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意利用基本初等函数的定义域和值域，得出结论. 【详解】解：由于的定义域为R，值域为，故A不满足条件； 由于，它的定义域为，值域为，故B满足条件； 由于的定义域为，值域为R，故C不满足条件； 由于的定义域为R，值域为R，故D不满足条件， 故选：B. 8.下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合对数函数，指数函数，三角函数的图象及性质，分别对各个选项进行判断，从而得出答案. 【详解】解：对于A：定义域是，∴在上单调递增，故A错误； 对于B：在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对于C：在上单调递减，故C错误； 对于D：，所以在区间上为增函数，故D正确. 故选：D. 9.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】根据指数式与对数式互化公式直接得到答案. 【详解】由可得 ,C不正确 故选：C 10．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义和常见函数的单调性逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，因为，所以为奇函数且非零，故A不符合， 对于B，根据二次函数的性质可得在上单调递增，故B不符合， 对于C，的定义域为，不关于原点对称，故C不符合， 对于D，因为函数的定义域为且，故为偶函数， 在上，，故在上单调递减，所以D符合， 故选：D 11．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件，以及对数的真数大于0，得到关于x的不等式组，解不等式即可求解. 【详解】根据题意，得 ， 即 ，解得 . 故选C 12．若函数的图象不经过第二象限，则有 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：指数函数过定点， 函数过定点如图所示， 图象不过第二象限则，， 故选B. 13．函数的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的性质：定义域及对称性即可作出判断. 【详解】解：y＝lg|x﹣1|可知函数的定义域为：，函数的图象关于x＝1对称． 由函数的图象可知，B、C、D不满足题意． 故选：A． 14． （ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ∵ = 故选C 15．随着社会的发展，城市环境污染问题日益严重，某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量 W(mg/L)与时间t(h)的关系为 其中 W₀为初始污染物的数量，r为常数. 若在某次过滤过程中，前3个小时过滤掉了污染物的20%，则经过9小时后剩余的污染物是初始状态的（    ） A．24% B．76% C．48.8% D．51.2% 【答案】D 【分析】根据已知函数模型结合指数幂的运算计算即可. 【详解】依题意，前3个小时过滤后剩余污染物数量为%， 于是，解得， 因此前9小时过滤后剩余污染物数量为. 故选:D． 16．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知等式平方后可得结论． 【详解】因为，所以，所以， 故选：B． 17.若 ，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据对数函数的单调性，分类讨论即可求出． 【详解】loga（4a﹣1）＜1＝logaa， 当a＞1时，0＜4a﹣1＜a，解得a，此时无解， 当0＜a＜1时，4a﹣1＞a且4a﹣1＞0，解得a，即a＜1， 综上所述a的范围为（，1）． 故选C． 18．已知函数=满足则的解集是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数满足,所以 ,则函数是减函数,所以可化为,求解可得或 ,故选C. 19．已知函数＝的值域为R，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：当时符合条件，故可取； 当时，，解得，故， 当时，不满足题意． 综上知，实数的取值范围是. 故选D． 20．为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2000万元，在此基础上，以后每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是（参考数据：，）（    ） A．2030年 B．2029年 C．2028年 D．2027年 【答案】B 【分析】设经过年之后，投入资金为万元，根据题意列出与的关系式；令，结合参考数据即可求出的范围，从而判断出选项. 【详解】设经过年之后，投入资金为万元，则， 由题意可得：，即， 所以，即， 又因为，∴，即从2029年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1亿元. 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 21．的值为 . 【答案】 【解析】利用对数的运算性质即可求解. 【详解】. 故答案为： 22.求值： 【答案】6 【分析】直接利用对数的运算法则化简即可. 【详解】因为， 故答案为：6. 23．已知用a,b表示= 【答案】 【详解】， 故答案为 24．函数，的最小值为 . 【答案】 【分析】根据函数的解析式和定义域，求得值域即可. 【详解】因为函数，， 故， 所以的最小值为 故答案为： 25.已知是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则= . 【答案】 【分析】利用求出参数m，根据奇函数的性质及已知区间上的解析式求即可. 【详解】由题设，，则，故时， 又，而， 所以. 故答案为： 3、 解答题（本大题共5小题，每题8分，共40分） 26.计算：（1） （2） 【答案】（1）（2） 【详解】（1）原式= （2）原式= 27.已知函数，求的取值范围． 【答案】 【分析】由对数函数的性质有 ，再由， 利用对数函数单调性可得，解出即可得结果. 【详解】由得： 即 所以的的取值范围为： 28．已知函数.若函数的定义域为，求的取值范围； 【答案】 【详解】函数的定义域为，即在上恒成立. 当时，恒成立，符合题意； 当时，必有. 综上，的取值范围是. 29．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）先求定义域，结合复合函数单调性进行求解；（2）先得到的图象关于直线对称，结合第一问函数的单调性列出不等关系，求出a的取值范围. 【详解】（1）由，得，所以的定义域为． 当x时，是增函数，也是增函数，故是增函数； 当时，是减函数． 故的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）因为，所以的图象关于直线对称． 由，得， 解得：0且，故a的取值范围为. 30.设且，函数的图象过点. (1)求的值及函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性并给出证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)，定义域为； (2)奇函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）由函数的图象过点，即，计算得出的值；根据对数函数的定义域求法，即可求出函数的定义域； （2）由（1）得，，定义域为，再利用定义法判断函数的奇偶性； （3）由，结合条件并根据对数的运算性质得出，再由对数函数的单调性即可解不等式，从而得出结果. 【详解】（1）解：依题意，，所以，解得：， 由，得， 所以，函数的定义域为. （2）解：由（1）得，，定义域为， ∴， ∴为奇函数. （3）解：， ∴， 由函数是单调递增函数， 可得，解得：， 又，∴， 所以不等式的解集为. 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$