第1章 特殊的平行四边形 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（北师大版）

第一章 特殊的平行四边形 小结与复习 九年级上册数学（北师版） 对边 角 对角线 平行且相等 平行 且四边相等 平行 且四边相等 四个角 都是直角 对角相等 邻角互补 四个角 都是直角 互相平分且相等 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角 一、菱形、矩形、正方形的性质 要点梳理 条件 ①定义：有一个角是直角的平行四边形. ②定理1：对角线相等的平行四边形. ③定理2：三个角是直角的四边形. ①定义：一组邻边相等的平行四边形. ②定理1：四条边都相等的四边形. ③定理2：对角线互相垂直的平行四边形. ①定义：有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形. ②有一组邻边相等的矩形. ③有一个角是直角的菱形. 二、菱形、矩形、正方形的判定方法 例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠BAD = 60°，BD = 6，求 AB 和 AC 的长. 解：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = AD (菱形的边长相等)，AC⊥BD，OB = OD = BD = ×6 = 3 (菱形的对角线互相垂直平分). 又∵∠BAD = 60°， ∴△ABD是等边三角形. ∴ AB = BD = 6， A B C O D 考点一 菱形的性质和判定 考点讲练 证明：在 △AOB 中， ∵ AB = ，OA = 2，OB = 1. ∴ AB2 = AO2 + OB2. ∴ △AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角. ∴ AC⊥BD. ∴ □ABCD 是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形). 1. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB = ，OA = 2，OB = 1. 求证：□ABCD 是菱形. A B C O D 针对训练 2. 如图，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形 ABCD 是什么形状？说说你的理由. A B C D E F 解：四边形 ABCD 是菱形. 理由如下： 过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F. 由 AB∥CD，AD∥BC 知四边形 ABCD 是平行四边形. 则 S□ABCD = AD · CF = AB · CE. 由题意知 CF = CE，∴ AD = AB. ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 例2 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O， ∠AOD = 120°，AB = 2.5，求矩形对角线的长. 解：∵ 四边形 ABCD 是矩形. ∴ AC = BD (矩形的对角线相等)， OA = OC = AC，OB = OD = BD (矩形对角线相互平分). ∴ OA = OD. A B C D O 考点二 矩形的性质和判定 ∵∠AOD = 120°， ∴∠ODA =∠OAD = (180° - 120°) = 30°. 又∵∠DAB = 90° (矩形的四个角都是直角)， ∴ BD = 2AB = 2×2.5 = 5. A B C D O 例3 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 A 作 AE∥BD，过点 D 作 ED∥AC，两线相交于点 E． 求证：四边形 AODE 是菱形. 证明：∵ AE∥BD，ED∥AC， ∴四边形 AODE 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD，OA = OC = AC，OB = OD = BD. ∴ OA = OC = OD. ∴四边形 AODE 是菱形. 【变式题】如图，O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作 BE∥AC，CE∥BD，BE、CE 交于点 E，四边形 CEBO 是矩形吗？说出你的理由. 解：四边形 CEBO 是矩形. 理由如下：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. ∴∠BOC = 90°. ∵ BE∥AC，CE∥BD， ∴四边形 CEBO 是平行四边形. ∴四边形 CEBO 是矩形. D A B C E O 3. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， △ABO 是等边三角形，AB = 4，求□ABCD 的面积. 解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC，OB = OD. 又∵△ABO 是等边三角形， ∴ OA = OB = AB = 4，∠BAC = 60°. ∴ AC = BD = 2OA = 2×4 = 8. A B C D O 针对训练 ∴□ABCD 是矩形 (对角线相等的平行四边形是矩形). ∴∠ABC = 90° (矩形的四个角都是直角). 在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AB2 + BC2 = AC2， ∴ BC = . ∴ S□ABCD = AB·BC = 4× = . A B C D O 4. 如图，O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作 BE∥AC，CE∥BD，BE，CE 交于点 E，四边形 CEBO 是矩形吗？说出你的理由. 解：四边形 CEBO 是矩形. 理由如下： ∵ BE∥AC，CE∥BD， ∴ 四边形 CEBO 是平行四边形. 在菱形 ABCD 中，AC⊥BD，∴∠BOC = 90°. ∴ 四边形 CEBO 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）. D A B C E O 例4 如图，在四边形 ABFC 中，∠ACB = 90°，BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，且 CF = AE. (1) 试判断四边形 BECF 是什么四边形？并说明理由； 解：四边形 BECF 是菱形． 理由如下：∵ EF 垂直平分 BC， ∴ BF＝CF，BE＝CE. ∴∠3＝∠1. ∵∠ACB＝90°， ∴∠3＋∠A＝90°，∠1＋∠2＝90°. ∴∠2＝∠A. 考点三 正方形的性质和判定 ∴ CE＝AE，∴ BE＝AE. ∵ CF＝AE， ∴ BE＝CE＝CF＝BF. ∴ 四边形 BECF 是菱形. (2) 当∠A 的大小满足什么条件时，四边形 BECF 是正方形？请回答并证明你的结论． 解：当∠A＝45° 时，菱形 BECF 是正方形． 证明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠CBA＝45°. ∴∠EBF＝2∠CBA＝90°. ∴ 菱形 BECF 是正方形(有一角是直角的菱形是正方形). 正方形的判定方法： ① 先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ② 先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角； ③ 先判定四边形是平行四边形，再证明邻边相等且有一角为直角，或对角线互相垂直且相等． 方法总结 例5 如图，△ABC 中，点 O 是 AC 上的一动点，过点 O 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E，交∠BCA 的外角∠ACG 的平分线于点 F，连接 AE、AF. (1) 求证：∠ECF＝90°； (2) 当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？请 说明理由； (1) 证明：∵ CE 平分∠BCO，CF 平分∠GCO， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF， ∴∠ECF＝ ×180°＝90°. (2)解：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形. 理由如下： ∵ MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF. 又∵ CE 平分∠BCO，CF 平分∠GCO， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF. ∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC. ∴ OE＝OC，OF＝OC. ∴ OE＝OF. 当点 O 运动到 AC 的中点时，OA＝OC， ∴ 四边形 AECF 是平行四边形. ∵∠ECF＝90°，∴ 四边形 AECF 是矩形. 解：当点 O 运动到 AC 的中点，且满足∠ACB 为直角时，四边形 AECF 是正方形． 由 (2) 知四边形 AECF 是矩形， 而 MN∥BC，当∠ACB＝90° 时， ∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°， 即AC⊥EF， ∴ 四边形AECF是正方形． (3) 在 (2) 的条件下，△ABC 满足什么条件时， 四边形 AECF 为正方形？ 5. 如图，两个含有 30° 角的完全相同的三角板 ABC 和 DEF 沿直线 FC 滑动， 下列说法错误的是 ( ) A. 四边形 ACDF 是平行四边形 B. 当点 E 为 BC 中点时，四边形 ACDF 是矩形 C. 当点 B 与点 E 重合时，四边形 ACDF 是菱形 D. 四边形 ACDF 不可能是正方形 B 6. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = 10，BD = 6，则菱形 ABCD 的面积为_____． 30 A B C O D 针对训练 7. 如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 G 是 BC 延长线上一点，连接 AG，点 E、F 分别在 AG 上，连接 BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4. (1) 求证：△ABE≌△DAF； (2) 若∠G＝30°，求EF的长. (1) 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = AD. 在△ABE 和△DAF 中， ∴△ABE≌△DAF (ASA). (2) 解：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAD＝∠1＋∠4＝90°. ∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°， ∴∠AFD＝90°. 在正方形 ABCD 中，AD∥BC， ∴∠1＝∠G＝30°. 在 Rt△ADF 中，AD＝2， ∴ DF＝1，AF＝ . 由 (1) 得△ABE≌△DAF， ∴ AE＝DF＝1. ∴ EF＝AF－AE＝ －1. 两组对边平行 一个角是直角 一组邻边相等 一组邻边相等 一个角是直角 一个角是直角且一组邻边相等 当堂小结 见教材章末练习 课后练习 $$