2.3 第2课时 利用一元二次方程解决面积问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（北师大版）

null2.3 用公式法求解一元二次方程 第二章 一元二次方程 第2课时 利用一元二次方程解决面积问题 九年级上册数学（北师版） 情境导入 在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 问题：在一块长 16 m、宽 12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半. 你能给出设计方案吗？ 16 m 12 m 看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？ 探究新知 利用一元二次方程解决面积问题 1 解：设小路的宽为 x m，根据题意得： 即 x2 - 14x + 24 = 0. 解方程得 x1 = 2， x2 = 12. 将 x = 12 代入方程中不符合题意舍去. 答：小路的宽为 2 m. 小明设计：如右图所示，其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程，得到小路的宽为 2 m 或 12 m. 16 m 12 m （1）你认为小明的结果对吗？为什么？ x x 解：由图片信息得，四个扇形组成一 个圆设扇形半径为 x m，根据题意得： 即 πx2 = 96. 解方程得 x1 = (舍去)，x2 = . 答：扇形半径约为 5.5 m. 小亮设计： 如右图所示，其中花园每个角上的扇形都相同. （2）你能帮小亮求出图中的 x 吗？ 16 m 12 m x m 解：设花园的宽为 x m，根据题意得： 小颖设计：如右图所示，其中花园是两条互相垂直的矩形，且它的宽都相等. （3）你还有其他设计方案吗？与同伴交流. 16 m 12 m x m x m 即 x2 - 28x + 96 = 0. 解方程得 x1 = 4，x2 = 24. 将 x = 24 代入方程中不符合题意舍去. 答：花园的宽为 4 m. 在几何图形的面积问题中，面积公式往往就是建立等量关系的关键. 如果图形不规则，就割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程. 方法点拨 20 32 x x 解：设道路的宽为 x 米，则 例1 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？ 还有其他方法吗？ 方法一： 典例精析 20 32 x x 解：设道路的宽为 x 米，可列方程 20 − x 32 − x (32 − x)(20 − x) = 540. 整理，得 x2 − 52x + 100 = 0. 解得 x1 = 2，x2 = 50. 当 x = 50 时，32 − x = −18，不合题意，舍去. ∴取 x = 2. 答：道路的宽为 2 米. 方法二： 在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米，且 x＜20. (32 − x)(20 − x) = 540 可列方程为 x 20 - x 32 - x 答：道路的宽为 2 米. 解得 x1 = 50(舍)，x2 = 2. 回顾导入 我们利用“图形经过平移，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路平移，使列方程容易些（目的是求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）. 归纳总结 例2 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1 cm)？ 27 cm 21 cm 典例精析 分析：这本书的长宽之比为 : ，正中央的长方形的长宽之比为 : ，上下边衬与左右 边衬的宽度之比 : . 9 9 解析：设中央长方形的长和宽分别为 9a 和 7a，由此得到上下边衬宽度之比为 9 7 7 7 27 cm 21 cm 解：设上下边衬的宽均为 9x cm，则左右边衬宽为 7x cm，中央的矩形的长为 (27 − 18x) cm，宽为 (21 − 14x) cm. 由题意，得 27cm 21cm 解得 故上下边衬的宽为 故左右边衬的宽为 方程的哪个根符合实际意义?为什么? 整理，得 16x2 − 48x + 9 = 0. 解法2：设正中央的长方形的两边别为 9x cm，7x cm. 依题意得 解得 故上下边衬的宽度为 左右边衬的宽度为 27cm 21cm 几何图形与一元二次方程问题 几何图形 常见几何图形面积是等量关系 类 型 课本封面问题 彩条/小路宽度问题 常采用图形平移，聚零为整，方便列方程 动点面积问题 当堂小结 1. 在一幅长 80 cm，宽 50 cm 的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400 cm2，设金色纸边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是（ ） A．x2 + 130x - 1400 = 0 B．x2 + 65x - 350 = 0 C．x2 - 130x - 1400 = 0 D．x2 - 65x - 350 = 0 80 cm x x x x 50 cm B 课堂练习 2.如图，要设计一个宽 20 cm，长为 30 cm 的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为 2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 解：设横向彩条的宽度 2x cm，则竖向彩条的宽度 3x cm. 则 答：横竖条的宽度分别是 解得 ∵20 - 6x＞0，30 - 4x＞0， ∴ x＜ $$