2.3 第1课时 用公式法求解一元二次方程（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（北师大版）

null2.3 用公式法求解一元二次方程 第二章 一元二次方程 第1课时 用公式法求解一元二次方程 九年级上册数学（北师版） 1. 用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？ 2.如何用配方法解方程 2x2 + 4x + 1 = 0 ? 一、移常数项； 二、配方[配上 ]； 三、写成 (x + m)2 = n ( n≥0 )； 四、直接开平方法解方程. 解：x2 + 2x = ，即 (x + 1)2 = . 复习导入 你能用配方法解 ax2 + bx + c = 0.(a ≠ 0) 吗？ 探究新知 求根公式的推导 1 合作探究 我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的. 因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0. (a ≠ 0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多. 方程两边都除以 a，得 解： 移项，得 配方，得 问题：接下来能用直接开平方解吗？ 你能用配方法解 ax2 + bx + c = 0.(a ≠ 0) 吗？ ∵ a ≠ 0，4a2 ＞ 0， ∴ 当 b2 - 4ac≥0 时， 当 b2 - 4ac＜0 时， 而 x 取任何实数都不能使上式成立， ∴ 此时方程无实数根. 求根公式： 归纳总结 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 用公式法解一元二次方程的前提是： 注意 1. 必须是一般形式的一元二次方程： ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)； 2. 必须满足 b2 - 4ac≥0 才能代公式计算. 例1 解方程. （1）x2 - 7x - 18 = 0 解：这里 a = 1，b = -7，c = -18， ∵ b2 - 4ac = (-7)2 - 4×1×(-18) = 121 ＞ 0. 公式法解方程 2 典例精析 ∴ x1 = 9，x2 = -2. 解：将原方程化为一般式： 4x2 - 4x + 1 = 0. 即 这里 a、b、c 的值分别是什么？ （2）4x2 + 1 = 4x. 这里 a = 4，b = -4，c = 1， ∵ b2 - 4ac = (-4)2 - 4×4×1 = 0. 公式法解方程的一般步骤 1. 变形：化已知方程为一般形式； 2. 确定系数：用 a，b，c 写出各项系数； 3. 计算：b2 - 4ac 的值； 4. 判断：若 b2 - 4ac≥0，则利用求根公式得解； 若 b2 - 4ac＜ 0，则方程没有实数根. 要点归纳 9 议一议 (1) 你能解一元二次方程 x2 - 2x + 3 = 0 吗？你是怎么想的？ (2) 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，当 b2 − 4ac＜0 时？它的根的情况是怎样的？与同伴交流. 原方程无实数根. (x - 1)2 = -2 当 b2 - 4ac＜0 时， ∴ 此时方程无实数根. 一元二次方程根的判别式 3 两个不等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的情况可由 b2 − 4ac 来判定，我们把 b2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的判别式. 通常用希腊字母“Δ”表示. b2 − 4ac ＞ 0 b2 − 4ac = 0 b2 − 4ac ＜ 0 Δ ≥ 0 归纳总结 判别式的情况 Δ ＞ 0 Δ = 0 Δ ＞ 0 Δ ＜ 0 Δ = 0 Δ ＞ 0 根的情况 11 根的情况 0 5 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不等的实数根 Δ 填一填 根的判别式使用方法 3.判别根的情况，得出结论. 1.化为一般式，确定 a，b，c 的值. 2.计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号. 12 例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( ) A. k＞-1 B. k＞-1且 k ≠ 0 C. k＜1 D. k＜1且 k ≠ 0 解析：由题知，方程有两个不相等的实数根， 则 b2 - 4ac＞0，同时要求二次项系数不为 0，即 ，k ≠ 0.解得 k＞-1且 k ≠ 0，故选 B. B 典例精析 13 例3 不解方程，判断下列方程根的情况． (1)3x2 + 4x－3 = 0； (2)4x2 = 12x－9； (3) 7y = 5(y2 + 1). 解：(1) 3x2 + 4x - 3 = 0，a = 3，b = 4，c = -3， (2) 方程化为： 4x2 - 12x+9 = 0， (3) 方程化为： 5y2 - 7y + 5 = 0， ∴b2 - 4ac = 32 - 4×3×(-3) = 52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根． ∴b2 - 4ac = (-12)2 - 4×4×9 = 0. ∴方程有两个相等的实数根． ∴b2 - 4ac = (-7)2 - 4×5×5 = -51＜0. ∴方程无实数根． 14 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（求 b2 - 4ac 的值）； 四判（方程根的情况）； 五代（代求根公式计算） 务必将方程化为一般形式 根的判别式 b2 - 4ac 当堂小结 1. 解方程：x2 + 7x – 18 = 0. 解：这里 a = 1，b = 7， c = -18. ∵ b2 - 4ac = 72 – 4 × 1× (-18 ) = 121 ＞ 0， ∴ 即 x1 = -9，x2 = 2 . 课堂练习 2. 解方程 (x - 2) (1 - 3x) = 6. 解：去括号，得 x - 2 - 3x2 + 6x = 6. 化为一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0. 这里 a = 3，b = - 7，c = 8， ∴ b2 - 4ac = ( - 7 )2 - 4×3×8 = 49 - 96 = - 47 ＜ 0. ∴ 原方程没有实数根. 3.关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则 m 的取值范围是 . 注意：一元二次方程有两个实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况. 解： ∴m≤1. ∵ b2 - 4ac = ( - 2)2 - 4×1×m = 4 - 4m≥0. 18 4. 不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）2x2 + 3x − 4 = 0； （2）x2 − x + = 0. 解：（1）2x2 + 3x − 4 = 0，a = 2，b = 3，c = −4， ∴ Δ = b2 − 4ac = 32 − 4×2×(−4) = 41＞0. ∴方程有两个不等的实数根． （2）x2 − x + = 0，a = 1，b = −1，c = ， ∴ Δ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4×1× = 0. ∴方程有两个相等的实数根． 19 $$